适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练3三角函数与解三角形文（附解析）

考点突破练3　三角函数与解三角形1.(2023北京东城一模)已知函数f(x)=sinx+sinx+.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若是函数y=f(x)-f(x+φ)(φ>0)的一个零点,求φ的最小值.2.(2023辽宁辽阳一模)已知函数f(x)=4sinωx+(ω>0)在,π上单调递减.(1)求ω的最大值;(2)若f(x)的图象关于点,0中心对称,且f(x)在-,m上的值域为[-2,4],求m的取值范围. 3.(2023陕西西安八校联考二)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,cosB=.(1)求C的值;(2)若a+b=12,求△ABC的面积.4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知bsin+A=asinB.(1)求角A的大小;(2)若b,a,c成等比数列,判断△ABC的形状. 5.如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(30-30)海里处有一个小岛C. (1)求小岛A到小岛C的距离;(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.6.(2023新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.(1)若∠ADC=,求tanB;(2)若b2+c2=8,求b,c. 7.(2023四川乐山一模)设函数f(x)=cos2x++sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积.若f=-,且b=,求cosAcosC+S的最大值. 8.(2023四川内江一模)已知函数f(x)=sinx·cosx-cos2x+,x∈R.(1)已知f(x)=-,求cos4x-的值;(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=1,c=3,若向量m=(-1,sinA)与n=(sinB,2)垂直,求△ABC的周长.考点突破练3　三角函数与解三角形1.解(1)∵f(x)=sinx+sinx+=sinx+sinx+cosx=sinx+cosx=sinx+,∴f(x)的最小正周期为2π.(2)由题设y=f(x)-f(x+φ)=sinx+-sinx++φ,由是该函数零点可知,sin-sin+φ=0,即sin+φ=.故+φ=+2kπ,k∈Z或+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ,k∈Z或φ=+2kπ,k∈Z.∵φ>0,∴φ的最小值为.2.解(1)由条件知x∈,π,则ωx+∈,πω+,由正弦函数的性质可知,πω+⊆+2kπ,+2kπ,∴k∈Z,∴ω∈1+12k,+2k,k∈Z.又有π-,∴0<ω≤,当k=0时,1≤ω≤符合题意;当k≥1时,ω>,不符合题意,∴ω的最大值为.(2)∵f(x)的图象关于点,0中心对称,∴ω+=kπ(k∈Z),即ω=(k∈Z).由(1)得1≤ω≤,∴ω=,则f(x)=4sinx+,当x∈-,m时,x+∈-m+.∵f(x)在-,m上的值域为[-2,4],∴sinx+∈-,1,则m+,解得≤m≤,∴m的取值范围是.3.解(1)由题意得A,B,C∈(0,π),又cosA=,cosB=,∴sinA=,sinB=, ∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-=-,∴C=.(2)由正弦定理,得,即,解得c=4,∴由正弦定理,得a=8.∴△ABC的面积为S△ABC=acsinB=×8×4=8.4.解(1)∵bsin+A=asinB,由正弦定理得sinBcosA=sinAsinB,∵sinB≠0,∴cosA=sinA,∴tanA=,∵A∈(0,π),∴A=.(2)∵b,a,c成等比数列,∴a2=bc,又∵cosA=,∴b2+c2-bc=bc,∴(b-c)2=0,∴b=c,又∵A=,∴△ABC为等边三角形.5.解(1)在△ABC中,AB=60,BC=30-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(30-30)2-2×60×(30-30)·cos120°=5400.AC=30,∴小岛A到小岛C的最短距离是30海里.(2)由正弦定理,得,∴,解得sin∠ACB=,在△ABC中,∵BC<AC,∴∠ACB为锐角,∴∠ACB=45°,∴∠CAB=180°-120°-45°=15°,由75°-15°=60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行.答:小岛A到小岛C的最短距离是30海里;游船应该沿北偏东60°的方向航行.6.解(1)(方法一　正弦定理+余弦定理)由题意可知S△ABC=acsinB=,故acsinB=2.①在△ABD中,有,由∠ADC=,得∠ADB=,所以,故csinB=.②将②式代入①式,得a=4.在△ADB中,由余弦定理得AB2=c2=AD2+BD2-2AD·BDcos,即c2=12+22-2×1×2×=7,得c=.在△ABD中,cosB=>0,故B∈,则sinB=,tanB=.(方法二　余弦定理) 因为AD为△ABC的中线,所以S△ABC=2S△ADC=2××1×sina=,故a=4.在△ADC中,由余弦定理知b2=12+22-2×1×2×cos=3.在△ABD中,c2=AB2=12+22-2×1×2×cos=7.在△ABC中,cosB=>0,故B∈,有sinB=,tanB=.(2)(方法一)在△ABC中,由,得||2=|2=(||2+||2+2).由余弦定理得2=||2+||2-||2.故||2=(2||2+2||2-||2),即AD2=(b2+c2)-a2,得a=2.由S△ABC=bcsinA和b2+c2-a2=2bccosA,得S△ABC=(b2+c2-a2)tanA,得tanA=-<0,故A∈,有A=.又因为S△ABC=bcsinA,所以bc=4.由b2+c2=8和bc=4,得b=c=2.(方法二　几何法)过点A作AH⊥BC交BC于点H(图略).在△ABC,△ABD中,由余弦定理得cosB=,解得a2=2(b2+c2)-4.将b2+c2=8代入a2=2(b2+c2)-4中得a=2.S△ABC=BC·AH=×2AH=,则AH=1.又因为AD=1,所以点H与点D重合,即AD为边BC的中垂线,所以b=c==2.7.解(1)f(x)=cos2x++sin2x=cos2x-sin2x+sin2x,∴函数f(x)的最大值为,最小正周期为π.(2)由(1)得f(x)=sin2x,∵f=sinB=-,∴sinB=.∵B为锐角,∴B=.∵,∴a=2sinA,c=2sinC.∴S=acsinB=ac=sinAsinC.∴cosAcosC+S=(cosAcosC+sinAsinC)=cos(A-C).当A=C=时,原式有最大值. ∴cosAcosC+S的最大值为.8.解(1)∵f(x)=sinxcosx-cos2x+sin2x-=sin2x-,又f(x)=-,∴sin2x-=-,∴cos4x-=1-2sin22x-=1-2×.(2)由(1)得f(C)=sin2C-=1,则2C-+2kπ,k∈Z,∴C=+kπ,k∈Z,又0<C<π,∴C=,又向量m=(-1,sinA)与n=(sinB,2)垂直,∴m·n=-sinB+2sinA=0,∴-sinB+2sinB+=-sinB+2sinB+cosB=cosB=0,即cosB=0,又0<B<π,∴B=,则A=π-B-C=.由正弦定理得=2,则a=2sinA=,b=2sinB=2,∴△ABC的周长为3++2=3+3.