2023届高考数学二轮总复习（新高考新教材）考点突破练3三角函数与解三角形（Word版附解析）

考点突破练3　三角函数与解三角形1.(2022·河北石家庄二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,csinB+C2=asinC.(1)求角A的大小;(2)请在①sinB=217;②a+c=7两个条件中任选一个,求△ABC的面积.2.(2022·全国乙·理17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cosA=2531,求△ABC的周长. 3.(2021·新高考Ⅱ,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积.(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.4.(2022·广东梅州一模)已知函数f(x)=2sinxcosx-3cos2x(x∈R).(1)若f(α)=12且α∈5π12,2π3,求cos2α的值;(2)记函数f(x)在π4,π2上的最大值为b,且函数f(x)在[aπ,bπ](a<b)上单调递增,求实数a的最小值.5.(2022·辽宁沈阳二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=c(cosB-cosA).(1)判断△ABC的形状并给出证明;(2)若a≠b,求sinA+sinB+sinC的取值范围. 6.(2022·山东聊城一模)如图,在四边形ABCD中,BD<AD,sinπ3-Acosπ6+A=14.(1)求A;(2)若AB=3,AD=3,CD=1,C=2∠CBD,求四边形ABCD的面积. 考点突破练3　三角函数与解三角形1.解(1)由csinB+C2=asinC可得:sinCsinB+C2=sinAsinC,即sinCsinπ-A2=sinAsinC,即sinCcosA2=2sinA2cosA2sinC,因为0<C<π,0<A<π,所以sinC>0,0<A2<π2,cosA2>0,所以sinA2=12,即A2=π6,A=π3.(2)选①:sinB=217,由正弦定理可得asinA=bsinB,即a32=2217,解得a=7,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即7=4+c2-2c,解得c=3(负值舍),所以S△ABC=12bcsinA=12×2×3×32=332.选②:a+c=7,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即(7-c)2=4+c2-2c,解得c=154,所以S△ABC=12bcsinA=12×2×154×32=1538.2.(1)证明∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC,由正弦定理及余弦定理,得ca·a2+c2-b22ac-cb·b2+c2-a22bc=bc·b2+c2-a22bc-ba·a2+b2-c22ab,化简整理,得2a2=b2+c2.(2)解∵a=5,∴b2+c2=2a2=50.由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=252bc=2531,∴bc=312.∴b+c=b2+c2+2bc=9,∴a+b+c=14.故△ABC的周长为14.3.解(1)因为2sinC=3sinA,所以由正弦定理得2c=3a,解b=a+1,c=a+2,2c=3a,得a=4,b=5,c=6,在△ABC中,由余弦定理得,cosC=a2+b2-c22ab=18,所以sinC=1-cos2C=378,所以S△ABC=12absinC=12×4×5×378=1574.(2)假设存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形.因为b=a+1,c=a+2,所以可知c>b>a,所以角C为钝角,则cosC=a2+b2-c22ab<0,即a2+b2-c2<0,则a2+(a+1)2-(a+2)2<0,整理得a2-2a-3<0,即(a-3)(a+1)<0,所以-1<a<3,又因为a为正整数,所以a=1或a=2. 当a=1时,b=2,c=3,不能构成三角形,舍去;当a=2时,b=3,c=4,满足条件.故当a=2时,△ABC为钝角三角形.4.解(1)f(x)=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,∵f(α)=12,∴sin2α-π3=14,∵α∈5π12,2π3,∴2α-π3∈π2,π,∴cos2α-π3=-154,∴cos2α=cos2α-π3+π3=-154×12-14×32=-3+158.(2)当x∈π4,π2时,2x-π3∈π6,2π3,f(x)∈[1,2],∴b=2,由-π2+2kπ≤2π-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,又∵函数f(x)在[aπ,2π](a<2)上单调递增,∴[aπ,2π]⊆-π12+2π,5π12+2π,∴-π12+2π≤aπ<2π,∴2312≤a<2,∴实数a的最小值是2312.5.解(1)△ABC为等腰三角形或直角三角形,证明如下:由a-b=c(cosB-cosA)及正弦定理得,sinA-sinB=sinC(cosB-cosA),即sin(B+C)-sin(A+C)=sinC(cosB-cosA),即sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA,整理得sinBcosC-sinAcosC=0,所以cosC(sinB-sinA)=0,故sinA=sinB或cosC=0,又A,B,C为△ABC的内角,所以a=b或C=π2,因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.(2)由(1)及a≠b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形,且A+B=π2,C=π2,故B=π2-A,且A≠π4,所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+1=sinA+cosA+1=2sinA+π4+1,因为A∈0,π4∪π4,π2,故A+π4∈π4,π2∪π2,3π4,得sinA+π4∈22,1,所以2sinA+π4+1∈(2,2+1),因此sinA+sinB+sinC的取值范围为(2,2+1).6.解(1)因为π3-A+π6+A=π2, 所以sinπ3-A=cosπ6+A,所以sinπ3-Acosπ6+A=14可化为sin2π3-A=14,由二倍角公式可得cos2π3-2A=12.因为BD<AD,所以A∈0,π2,所以2π3-2A∈-π3,2π3,所以2π3-2A=π3,解得A=π6.(2)在△ABD中,AB=3,AD=3,A=π6,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA,即BD2=3+9-2×3×3×32=3,所以BD=3.在△BCD中,由正弦定理得sinCsin∠CBD=BDCD=3,所以sinC=3sin∠CBD.又因为C=2∠CBD,所以cos∠CBD=32.又因为∠CBD∈(0,π),所以∠CBD=π6,从而C=2∠CBD=π3,所以∠BDC=π2.