适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练3三角函数与解三角形理（附解析）

考点突破练3　三角函数与解三角形1.(2023北京东城一模)已知函数f(x)=sinx+sin(x+π3).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若π6是函数y=f(x)-f(x+φ)(φ>0)的一个零点,求φ的最小值.2.(2023辽宁辽阳一模)已知函数f(x)=4sin(ωx+π3)(ω>0)在[π6,π]上单调递减.(1)求ω的最大值;(2)若f(x)的图象关于点(3π2,0)中心对称,且f(x)在[-9π20,m]上的值域为[-2,4],求m的取值范围.3.(2023陕西西安八校联考二)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=277,cosB=5714.(1)求C的值;(2)若a+b=12,求△ABC的面积.4.(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值. 5.如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(303-30)海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离;(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.6.(2023新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为3,D为BC的中点,且AD=1.(1)若∠ADC=π3,求tanB;(2)若b2+c2=8,求b,c.7.(2023四川乐山一模)设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积.若f(B2)=-14,且b=3,求3cosAcosC+S的最大值.8.(2023四川内江一模)已知函数f(x)=3sinx·cosx-cos2x+12,x∈R.(1)已知f(x)=-12,求cos(4x-π3)的值;(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=1,c=3,若向量m=(-1,sinA)与n=(sinB,2)垂直,求△ABC的周长. 考点突破练3　三角函数与解三角形1.解(1)∵f(x)=sinx+sin(x+π3)=sinx+12sinx+32cosx=32sinx+32cosx=3sin(x+π6),∴f(x)的最小正周期为2π.(2)由题设y=f(x)-f(x+φ)=3sin(x+π6)-3sin(x+π6+φ),由π6是该函数零点可知,3sin(π6+π6)-3sin(π6+π6+φ)=0,即sin(π3+φ)=32.故π3+φ=π3+2kπ,k∈Z或π3+φ=2π3+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ,k∈Z或φ=π3+2kπ,k∈Z.∵φ>0,∴φ的最小值为π3.2.解(1)由条件知x∈[π6,π],则ωx+π3∈[πω6+π3,πω+π3],由正弦函数的性质可知[πω6+π3,πω+π3]⊆[π2+2kπ,3π2+2kπ],∴π6ω+π3≥π2+2kπ,πω+π3≤3π2+2kπ,k∈Z,∴ω∈[1+12k,76+12k],k∈Z.又有π-π6=5π6≤T2=πω,∴0<ω≤65,当k=0时,1≤ω≤76符合题意;当k≥1时,ω>65,不符合题意,∴ω的最大值为76.(2)∵f(x)的图象关于点(3π2,0)中心对称,∴3π2ω+π3=kπ(k∈Z),即ω=2k3-29(k∈Z).由(1)得1≤ω≤76,∴ω=109,则f(x)=4sin(109x+π3),当x∈[-9π20,m]时,109x+π3∈[-π6,109m+π3].∵f(x)在[-9π20,m]上的值域为[-2,4],∴sin(109x+π3)∈[-12,1],则π2≤109m+π3≤7π6,解得3π20≤m≤3π4,∴m的取值范围是[3π20,3π4].3.解(1)由题意得A,B,C∈(0,π),又cosA=277,cosB=5714,∴sinA=217,sinB=2114,∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-277×5714+217×2114=-12,∴C=2π3.(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得a+bsinA+sinB=csinC,即1232114=c32,解得c=47,∴由正弦定理asinA=csinC=4732,得a=8.∴△ABC的面积为S△ABC=12acsinB=12×8×47×2114=83.4.解(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.①由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA.②由①②得cosA=-12.因为0<A<π,所以A=2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sinB,AB=23sin(π-A-B)=3cosB-3sinB.故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sin(B+π3).又0<B<π3,所以当B=π6时,△ABC周长取得最大值3+23.5.解(1)在△ABC中,AB=60,BC=303-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(303-30)2-2×60×(303-30)·cos120°=5400.AC=306,∴小岛A到小岛C的最短距离是306海里.(2)由正弦定理,得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,∴306sin120°=60sin∠ACB,解得sin∠ACB=22.在△ABC中,∵BC<AC,∴∠ACB为锐角,∴∠ACB=45°,∴∠CAB=180°-120°-45°=15°,由75°-15°=60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行.答:小岛A到小岛C的最短距离是306海里;游船应该沿北偏东60°的方向航行.6.解(1)(方法一　正弦定理+余弦定理)由题意可知S△ABC=12acsinB=3,故acsinB=23.①在△ABD中,有ADsinB=ABsin∠ADB,由∠ADC=π3,得∠ADB=2π3,所以1sinB=csin2π3,故csinB=32.②将②式代入①式,得a=4.在△ADB中,由余弦定理得AB2=c2=AD2+BD2-2AD·BDcos2π3,即c2=12+22-2×1×2×-12=7,得c=7.在△ABD中,cosB=AB2+BD2-AD22AB·BD=7+4-127×2=527>0,故B∈0,π2,则sinB=327,tanB=35.(方法二　余弦定理) 因为AD为△ABC的中线,所以S△ABC=2S△ADC=2×12×a2×1×sinπ3=34a=3,故a=4.在△ADC中,由余弦定理知b2=12+22-2×1×2×cosπ3=3.在△ABD中,c2=AB2=12+22-2×1×2×cos2π3=7.在△ABC中,cosB=c2+a2-b22ca=7+16-327×4=527>0,故B∈0,π2,有sinB=327,tanB=35.(2)(方法一)在△ABC中,由AD=12AB+12AC,得|AD|2=14|AB+AC|2=14(|AB|2+|AC|2+2AB·AC).由余弦定理得2AB·AC=|AB|2+|AC|2-|BC|2.故|AD|2=14(2|AB|2+2|AC|2-|BC|2),即AD2=12(b2+c2)-14a2,得a=23.由S△ABC=12bcsinA和b2+c2-a2=2bccosA,得S△ABC=14(b2+c2-a2)tanA,得tanA=-3<0,故A∈π2,π,有A=2π3.又因为S△ABC=12bcsinA,所以bc=4.由b2+c2=8和bc=4,得b=c=2.(方法二　几何法)过点A作AH⊥BC交BC于点H(图略).在△ABC,△ABD中,由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=a22+c2-12ac,解得a2=2(b2+c2)-4.将b2+c2=8代入a2=2(b2+c2)-4中得a=23.S△ABC=12BC·AH=12×23AH=3,则AH=1.又因为AD=1,所以点H与点D重合,即AD为边BC的中垂线,所以b=c=AD2+a22=1+3=2.7.解(1)f(x)=cos(2x+π3)+sin2x=12cos2x-32sin2x+1-cos2x2=12-32sin2x,∴函数f(x)的最大值为1+32,最小正周期为π.(2)由(1)得f(x)=12-32sin2x,∵fB2=12-32sinB=-14,∴sinB=32.∵B为锐角,∴B=π3.∵asinA=csinC=bsinB,∴a=2sinA,c=2sinC.∴S=12acsinB=34ac=3sinAsinC.∴3cosAcosC+S=3(cosAcosC+sinAsinC)=3cos(A-C).当A=C=π3时,原式有最大值3.∴3cosAcosC+S的最大值为3.8.解(1)∵f(x)=3sinxcosx-cos2x+12=32sin2x-1+cos2x2+12=sin(2x-π6),又f(x)=-12,∴sin(2x-π6)=-12,∴cos(4x-π3)=1-2sin2(2x-π6)=1-2×14=12.(2)由(1)得f(C)=sin(2C-π6)=1,则2C-π6=π2+2kπ,k∈Z,∴C=π3+kπ,k∈Z,又0<C<π,∴C=π3,又向量m=(-1,sinA)与n=(sinB,2)垂直,∴m·n=-sinB+2sinA=0,∴-sinB+2sin(B+π3)=-sinB+2(12sinB+32cosB)=3cosB=0,即cosB=0,又0<B<π,∴B=π2,则A=π-B-C=π6.由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=332=23,则a=23sinA=3,b=23sinB=23,∴△ABC的周长为3+3+23=3+33.