适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练2三角变换与解三角形文（附解析）

考点突破练2　三角变换与解三角形一、选择题1.(2023山东潍坊一模)已知角α在第四象限内,sin2α+=,则sinα=(　　)A.-B.C.D.-2.(2023江西赣州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,且C=2(A+B),则=(　　)A.B.C.D.3.(2022北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是(　　)A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]4.(2023四川南充南部中学模拟)已知sinθ+sinθ+=1,则cos+2θ=(　　)A.B.-C.D.-5.(2023四川内江一模)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B=,bcsinA=8sinB,a=4,则b=(　　)A.4B.2C.2D.26.已知0<β<<α<,且sinα-cosα=,sinβ+=,则sin(α+β)=(　　) A.-B.-C.D.7.(2023四川南充二模)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若b2+c2=2023a2,则的值为(　　)A.2021B.2022C.2023D.20248.魏晋南北朝时期,中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术,应用中国传统的出入相补原理.因其第一题为测量海岛的高度和距离,故题为《海岛算经》.受此题启发,某同学测量某塔的高度.如图,点D,G,F在水平线DH上,CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,测得以下数据(单位:米):前表却行DG=1,表高CD=EF=2,后表却行FH=3,表距DF=61.则塔高AB为(　　)A.60米B.61米C.62米D.63米9.(2023四川凉山二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.命题p:=0,命题q:△ABC为等腰三角形,则p是q的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.(2023广东茂名一模)在下列四个函数中,最小正周期与其余三个函数不同的是(　　)A.f(x)=cos2x+sinxcosxB.f(x)=C.f(x)=cosx++cosx-D.f(x)=sinx+cosx+ 11.(2023山西名校联考改编)将函数f(x)=sinx(sinx+cosx)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到g(x)的图象,则下列说法不正确的是(　　)A.g(x)的图象关于直线x=对称B.g(x)的图象关于点对称C.g(x)在[0,π]上的值域为[0,1]D.g(x)的图象可由y=cosx的图象向右平移个单位长度,再向上平移个单位长度得到12.(2023辽宁本溪名校联考)若=2,则=(　　)A.5B.C.2D.413.(2023贵州铜仁二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=a(a+b),则sinA的取值范围是(　　)A.0,B.C.D.0,14.(2023四川成都二模)在△ABC中,已知=2,AC=3BC=3,sin∠BDC=3sin∠BAC,则△ABC的面积为(　　)A.B.C.D.二、填空题15.(2023广东湛江一模)=　　　　. 16.已知2sinα=5cosα,则sin2α+cos2α=　　　　　.  17.(2023陕西咸阳名校联考)已知函数f(x)=cos(x+θ)-sin(x+θ)-≤θ≤是奇函数,则θ=　　　　　. 18.(2023江西赣州一模)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对应边依次记为a,b,c,且满足c-b=2bcosA,则sin(C+B)+2cos2(A-B)的取值范围为　　　　　. 19.如图,某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛.已知小岛B与小岛C相距5海里,cos∠BAD=-,则小岛B与小岛D之间的距离为　　　　　海里;小岛B,C,D所形成的三角形海域BCD的面积为　　　　　平方海里. 20.(2023河南南阳二模改编)锐角三角形ABC是单位圆的内接三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2=4a2cosA-2accosB,则a=　　　　. 考点突破练2　三角变换与解三角形1.D　解析由sin2α+=-cos2α=,得cos2α=-,所以sin2α=.又因为角α在第四象限内,所以sinα=-.故选D.2.C　解析由C=2(A+B),A+B+C=π,得C=,由a,b,c成等差数列,得2b=a+c,由余弦定理,得cosC=,即-,整理得5ab-3b2=0,由b≠0得5a-3b=0,由a≠0得.故选C.3.D　解析 如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),∴=(3-cosθ,-sinθ)·(-cosθ,4-sinθ)=-3cosθ-4sinθ+sin2θ+cos2θ=1-5sin(θ+φ),其中tanφ=,∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴-4≤≤6.故选D.4.C　解析sinθ+sinθ+=sinθ+cosθ=sinθ+cosθ=sinθ+=1,∴sinθ+=,则cos+2θ=cos2+θ=1-2sin2θ+=1-.故选C.5.B　解析∵bcsinA=8sinB,由正弦定理得bca=8b,∴ca=8,又a=4,∴c=2.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=16+4-2×4×2×=12,得b=2,故选B.6.D　解析因为sinα-cosα=,所以sinα-=,因为<α<,所以cosα-=.因为0<β<,sinβ+=,所以cosβ+=,所以sin(α+β)=sinα-+β+=.7.B　解析因为b2+c2=2023a2,则根据正弦定理和余弦定理有·cosA==2022.故选B.8.D　解析∵EF为表高,∴EF⊥BH,同理CD⊥BH.根据三角形的性质可得,△EFH∽△ABH,△CDG∽△ABG,则.∵BH=BD+DF+FH=BD+64,BG=BD+1,∴,解得BD=30.5,BG=31.5.∴AB=2BG=63.9.D　解析由正弦定理,得=cosA-=0,∴sin2A=sin2B.∵0<A<π,0<B<π,∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,即A=B或C=,∴由p不能推出q;当△ABC为等腰三角形时,C不一定为,A,B也不一定相等,∴由q不能推出p,故p是q的既不充分也不必要条件.故选D. 10.C　解析对于选项A,f(x)=sin2x=sin2x++,∴T=π;对于选项B,要使函数有定义,则sinx≠0且cosx≠0,f(x)==tanx,∴T=π;对于选项C,f(x)=cosx-sinx+cosx+sinx=cosx,∴T=2π;对于选项D,f(x)=sin2x+=sin2x+,∴T=π,故选C.11.C　解析对于A,∵f(x)=sinx(sinx+cosx)=sin2x+sinxcosx=sin2x=sin2x-+,∴g(x)=sin×2x-+=sinx-+,将x=代入g(x)中,即g=sin+,则g(x)的图象关于直线x=对称,故A正确;对于B,∵g=sin+,故g(x)的图象关于点对称,故B正确;对于C,当x∈[0,π]时,x-∈-,sinx-∈-,1,sinx-+∈0,,故C错误;对于D,y=cosx的图象向右平移再向上平移后得y=sinx-+=sinx-+的图象,故D正确.故选C.12.A　解析=2,tan,则tanθ=,∴====5,故选A.13.B　解析由c2=a(a+b),得c2=a2+ab,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,∴a2+ab=a2+b2-2abcosC,即b=a+2acosC,由正弦定理得sinA+2sinAcosC=sinB,∵B=π-(A+C),∴sinA+2sinAcosC=sinB=sinAcosC+cosAsinC,即sinA=sin(C-A).∵c2=a2+ab,∴c>a,∴C-A>0,又三角形ABC为锐角三角形,∴0<A<,0<C-A<,∴A=C-A,解得C=2A,又0<A<,0<B=π-3A<,0<C=2A<,∴<A<,∴sinA∈.故选B. 14.D　解析如图,由=2,得DC=AC,因为AC=3BC=3,所以BC=DC=1,AD=2,又因为sin∠BDC=sin(π-∠BDA)=sin∠BDA=3sin∠BAC,所以在△BDA中,由正弦定理可得AB=3BD,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即1=9BD2+9-18BD·cos∠BAC,①在△ABD中,由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAC,即BD2=9BD2+4-12BD·cos∠BAC,②①②联立解得BD=,cos∠BAC=,所以AB=,sin∠BAC=,所以S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=,故选D.15.-　解析=-.16.　解析因为2sinα=5cosα,所以cosα≠0,tanα=,所以sin2α+cos2α=.17.　解析f(x)=cos(x+θ)-sin(x+θ)=2cosx+θ+,由f(x)是奇函数,得θ++kπ,k∈Z,解得θ=+kπ,k∈Z,∵-≤θ≤,∴θ=.18.2,　解析由正弦定理,c-b=2bcosA,即为sinC-sinB=2sinBcosA,即sin(A+B)-sinB=2sinBcosA,整理得sin(A-B)=sinB,因为在锐角三角形ABC中,A,B∈0,,A-B∈-,所以A-B=B,则A=2B,A+B>,又因为A+B+C=180°,A=2B,C=180°-3B<90°,B>,所以<B<.因为sin(C+B)+2cos2(A-B)=sinA+2cos2B=sin2B+cos2B+1=sin2B++1,因为<B<,所以<2B<,所以<2B+,所以<sin2B+<,所以2<sin2B++1<,即sin(C+B)+2cos2(A-B)的取值范围为2,.19.3　15　解析∵圆的内接四边形对角互补,∴cosC=cos(π-A)=-cosA=,sinC=,在△BCD中,由正弦定理得=5,BD=3.在△BCD中,由余弦定理得(3)2=CD2+52-2·CD·5·,整理得CD2-8CD-20=0,(CD+2)(CD-10)=0,CD=10或CD=-2(舍去).∴S△BCD=×10×5×=15. 20.　解析由a2+b2-c2=4a2cosA-2accosB,得b·=2acosA-ccosB,由余弦定理得bcosC=2acosA-ccosB,由正弦定理得sinBcosC=2sinAcosA-sinCcosB,∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,得cosA=,又A∈0,,∴A=,∴sinA=.又=2,∴a=.