新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点10等差与等比数列小题突破（附解析）

命题点10　等差与等比数列一、单项选择题1．[2023·福建福州模拟]已知{an}为等差数列，a2＝－2，a1＋a10＝a3＋4，则a5＝(　　)A．1B．2C．3D．42．[2023·全国甲卷]已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)A．7B．9C．15D．303．[2023·安徽宣城模拟]设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若3S3＝8a2＋5a1，则数列{an}的公比是(　　)A．2B．－或2C．D．或－24．在项数为m的等差数列{an}中，其前3项的和为12，最后3项的和为288，所有项的和为850，则m＝(　　)A．16B．17C．19D．215．[2023·河北沧州模拟]已知公比不为1的等比数列{an}满足an＋2＝4an＋1－3an，a1＝1，则S5＝(　　)A．40B．81C．121D．1566．[2023·山东济南模拟]在数列{an}中，若an＝2n＋2n－1×3＋2n－2×32＋2n－3×33＋…＋22×3n－2＋2×3n－1＋3n，则a2023＝(　　)A．32023－22023B．3×22023－32024C．32024－22024D．2×32023－220247．[2023·江苏镇江模拟]已知a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，且2和8为其中的两项，则a5的最小值为(　　)A．－64B．－16C．D．8．[2023·福建泉州模拟]已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，则(　　)A．a2023＝4045B．<C．＝D．＝2二、多项选择题9．下列说法错误的有(　　)A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列10．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a3，a5，a8成等比数列，则下列说法正确的是(　　)A．＝B．＝C．d＝2a1D．a1＝2d11．[2023·安徽滁州模拟]数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝－n2＋7n，则下列说法正确的是(　　)A．{an}是递增数列B．a10＝－12C．当n>4时，an<0D．当n＝3或4时，Sn取得最大值12．[2023·辽宁沈阳模拟]已知等比数列{an}首项a1>1，公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，函数f(x)＝x(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)，若f′(0)＝1，则下列结论正确的是(　　)A．{lgan}为单调递增的等差数列B．0<q<1 C．为单调递增的等比数列D．使得Tn>1成立的n的最大值为6[答题区]题号123456789101112答案三、填空题13．[2023·河南驻马店模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且S5＝15，则a8＝________．14．[2023·全国乙卷]已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．15．[2023·重庆南开中学模拟]{an}是公差不为零的等差数列，前n项和为Sn，若S5＝15，a3，a6，a12成等比数列，则＝________．16．[2023·北京卷]我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝________；数列{an}所有项的和为________．命题点10　等差与等比数列(小题突破)1．解析：设等差数列{an}的公差为d，则，故，故a5＝－3＋(5－1)×1＝1.故选A.答案：A2．解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.答案：C3．解析：依题知，因为3S3＝8a2＋5a1，所以3(a1＋a2＋a3)＝8a2＋5a1，所以3a3＝5a2＋2a1，代入通项公式得：3a1q2＝5a1q＋2a1，又因为an>0，所以3q2＝5q＋2，解得：q＝2或q＝－(舍)，故选A.答案：A4．解析：设等差数列{an}的前m项和为Sm，则，由等差数列的性质可得3(a1＋am)＝(a1＋a2＋a3)＋(am＋am－1＋am－2)＝12＋288＝300，所以，a1＋am＝100，所以，Sm＝＝＝50m＝850，解得m＝17.故选B.答案：B5．解析：设公比为q，由an＋2＝4an＋1－3an可得，anq2＝4anq－3an， 因为an≠0，所以q2－4q＋3＝0，因为q≠1，解得q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1，所以S5＝＝＝121.故选C.答案：C6．解析：因为an＝2n＋2n－1×3＋2n－2×32＋2n－3×33＋…＋22×3n－2＋2×3n－1＋3n＝2n＝2n·＝3n＋1－2n＋1，所以a2023＝32024－22024.故选C.答案：C7．解析：由题意，要使a5最小，则a1，a3，a5都是负数，则a2和a4选择2和8，设等比数列{an}的公比为q(q<0)，当a4＝8时，a2＝2，所以＝q2＝4，所以q＝－2，所以a5＝a4×q＝8×(－2)＝－16；当a4＝2时，a2＝8，所以＝q2＝，所以q＝－，所以a5＝a4×q＝2×＝－1；综上，a5的最小值为－16.故选B.答案：B8．解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0).因为a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，所以(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d).解得：d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.对于A：a2023＝2023，故A错误；对于B：因为－＝－＝>0，所以>，故B错误；对于C：因为Sn＋1＝＝所以＝＝≠，故C错误；对于D：因为＝＝2，故D正确．故选D.答案：D9．解析：A：1，2，3显然成等差数列，但是1，4，9显然不成等差数列，因此说法不正确；B：0，0，0显然成等差数列，但是log2a，log2b，log2c这三个式子没有意义，因此说法不正确；C：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，因为2(b＋2)－(a＋2＋c＋2)＝2b－a－c＝0，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，因此说法正确；D：1，2，3显然成等差数列，但是2a＝2，2b＝4，2c＝8，显然2a，2b，2c不成等差数列，因此说法不正确．故选ABD.答案：ABD10．解析：由题设，若{an}的公差和首项分别为d，a1，而a＝a3a8，∴(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，整理得a1d＝2d2，又公差和首项都不等于0，∴a1＝2d，故D正确，C错误；∵a2＋a10＝2a6， ∴＝＝＝＝，故A正确，B错误．故选AD.答案：AD11．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，又a1＝S1＝6＝－2×1＋8，所以an＝－2n＋8，则{an}是递减的等差数列，故A错误；a10＝－12，故B正确；当n>4时，an＝8－2n<0，故C正确；因为Sn＝－n2＋7n的对称轴为n＝，开口向下，而n是正整数，且n＝3或4时距离对称轴一样远，所以当n＝3或4时，Sn取得最大值，故D正确．故选BCD.答案：BCD12．解析：函数f(x)＝x(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)，则f′(x)＝(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)＋x[(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)]′，因为f′(0)＝1，所以a1a2…a7＝1，由等比数列的性质可得a1a7＝a2a6＝a3a5＝a，所以a1a2…a7＝a＝1，所以a4＝1，由a1>1，可得0<q<1，故B正确；因为等比数列{an}首项a1>1，公比为q，所以＝q，则lgan＋1－lgan＝lg＝lgq<0，故{lgan}为单调递减的等差数列，故A错误；设bn＝Sn－＝－＝qn，则＝＝q为常数，因为0<q<1，所以<0，qn单调递减，所以为单调递增的等比数列，故C正确；因为a1a2…a7＝1，且a1>a2>…>a7>0，所以a1a2…a6>1，0<a7<1，所以使得Tn>1成立的n的最大值为6，故D正确．故选BCD.答案：BCD13．解析：由题知：5a1＋d＝15，又a1＝1，解得：d＝1.a8＝1＋7×1＝8.答案：814．解析：方法一　设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1　①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝aq17＝－8　②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.方法二　设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.答案：－215．解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为S5＝15，则＝5a3＝15，所以a3＝3， 因为a3，a6，a12成等比数列，所以a＝a3×a12，即(3＋3d)2＝3×(3＋9d)，解得d＝1或d＝0(不合题意，舍去)，所以a3＝a1＋2d＝3，解得a1＝1，所以a2023＝1＋(2023－1)×1＝2023，所以＝＝1012.答案：101216．解析：方法一　设前3项的公差为d，后7项公比为q>0，则q4＝＝＝16，且q>0，可得q＝2，则a3＝1＋2d＝，即1＋2d＝3，可得d＝1，空1：可得a3＝3，a7＝a3q4＝48；空2：a1＋a2＋…＋a9＝1＋2＋3＋3×2＋…＋3×26＝3＋＝384.方法二　空1：因为{an}，3≤n≤7为等比数列，则a＝a5a9＝12×192＝482，且an>0，所以a7＝48；空2：因为a＝a3a7，则a3＝＝3；设后7项公比为q>0，则q2＝＝4，解得q＝2，可得a1＋a2＋a3＝＝6，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝＝＝381，所以a1＋a2＋…＋a9＝6＋381－a3＝384.答案：48　384