新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点12数列的证明与通项大题突破（附解析）

命题点12　数列的证明与通项1．[2021·全国甲卷]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解：2．[2022·全国甲卷]记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．解：3．[2021·全国乙卷]记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．解： 4．[2023·河北衡水模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an－2n－1.(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前n项积．解：5．[2023·广东六校联考]记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn，2n的等差中项为an.(1)求证{an＋2}为等比数列；(2)数列的前n项和为Tn，是否存在整数k满足Tn∈(k，k＋1)？若存在求k，否则说明理由．解： 6．[2023·山东日照模拟]已知数列{an}满足：a1＝λ>0，an·an＋1＝27－2n.(1)当λ＝时，求数列{a2n}中的第10项；(2)是否存在正数λ，使得数列{an}是等比数列，若存在求出λ值并证明；若不存在，请说明理由．解： 命题点12　数列的证明与通项(大题突破)1．解析：①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．①②⇒③.已知{an}是等差数列，{}是等差数列．设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{}的公差为d，d>0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列．2．解析：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－＋.当n＝1时，a1＝S1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－＋－[(n－1)an－1－＋]，∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1.等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1，∴an－an－1＝1.∴{an}是公差为1的等差数列．(2)由(1)可得an＝a1＋(n－1).∴a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8.∵a4，a7，a9成等比数列，∴a＝a4·a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，∴a1＝－12，∴Sn＝na1＋×1＝－12n＋＝n2－n.当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，为×122－×12＝－78.3．解析：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，所以n≥2时，Sn＝，代入＋＝2，可得＋＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2).又＋＝＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．(2)由(1)可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，当n＝1时不满足此式，故an＝.4．解析：(1)证明：由Sn＝an－2n－1，得Sn＋1＝an＋1－2n.所以(Sn＋1－Sn)＝an＋1－an－2n－1，即an＋1＝an＋1－an－2n－1，整理得an＋1－2an＝2n，上式两边同时除以2n，得－＝1.又Sn＝an－2n－1，所以a1＝a1－1，即a1＝2，所以是首项为2，公差为1的等差数列．(2)由(1)知，＝2＋(n－1)×1＝n＋1.所以an＝(n＋1)×2n－1.所以×××…×××＝＝＝(n＋2)×2n－1.5．解析：(1)证明：因为Sn，2n的等差中项为an，所以Sn＋2n＝2an，因为n＝1时，S1＝a1，则S1＋2＝2a1，所以a1＝2，由Sn＋2n＝2an得Sn＋1＋2n＋2＝2an＋1，又an＋1＝Sn＋1－Sn，两式相减得an＋1＋2＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an＋2，所以有an＋1＋2＝2(an＋2)，所以＝2，所以{an＋2}是等比数列，其首项为a1＋2＝4，公比为2.(2)由(1)知an＋2＝4·2n－1，所以an＝2n＋1－2，所以＝，因为0<<，所以Tn＝＋＋…＋>0，又Tn＝＋＋…＋<＋＋…＋＝－<1，所以Tn∈(0，1)，所以k＝0.6．解析：(1)由已知an·an＋1＝27－2n，所以an·an－1＝29－2n，相除得＝； 又a1＝，a2·a1＝25，所以a2＝210，所以a20＝210×＝＝.(2)假设存在正数λ，使得数列{an}是等比数列，由a2·a1＝25得a2＝，由a2·a3＝8，得a3＝，因为{an}是等比数列，a1·a3＝a，λ2＝64，即λ＝8，下面证明λ＝8时数列{an}是等比数列，由(1)知数列{a2n－1}和{a2n}都是公比是的等比数列，所以a2n－1＝8·，a2n＝4·；所以n为奇数时，an＝24－n，n为偶数时，an＝24－n，所以对一切正整数n，都有an＝24－n，所以＝，所以存在正数λ＝8使得数列{an}是等比数列．