新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点27直线与圆锥曲线的位置关系大题突破（附解析）

命题点27　直线与圆锥曲线的位置关系1．已知点F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，|DE|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)过(－1，0)作直线l与抛物线C交于A，B，求kNA＋kNB的值．解：2．[2023·安徽亳州模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F1与圆x2＋y2＋2x＝0的圆心重合，过右焦点F2的直线与C交于A，B两点，△ABF1的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)若C上存在M，N两点关于直线l：2kx－2y＋3＝0对称，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求k的值．解：3．[2023·山东济南二模]已知椭圆C的焦点坐标为F1(－1，0)和F2(1，0)，且椭圆经过点G.(1)求椭圆C的方程；(2)若T(1，1)，椭圆C上四点M，N，P，Q满足＝3，＝3，求直线MN 的斜率．4．[2023·河北石家庄模拟]设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点T(1，0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，点A在第二象限，当F在l上时，A与B的横坐标和为－4.(1)求抛物线C的方程；(2)过A作斜率为的直线与x轴交于点M，与直线OB交于点N(O为坐标原点)，求.解： 5．[2021·新高考Ⅰ卷]在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．解：6．[2022·新高考Ⅰ卷]已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．解： 命题点27　直线与圆锥曲线的位置关系(大题突破)1．解析：(1)由题知，N点的横坐标为，∴＝＋，＝，∴2＝2＝2＋2，∴2＋()2＝(＋)2，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由(1)知N(1，2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my－1，代入y2＝4x，整理得y2－4my＋4＝0，∴Δ＝(4m)2－4×4>0，即m2>1，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4，∴kNA＋kNB＝＋＝＋＝＝＝2.2．解析：(1)由x2＋y2＋2x＝0，得F1(－，0)，∴c＝，根据椭圆定义，又因△ABF1的周长为8，∴4a＝8，a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1；(2)设线段MN的中点Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由直线l：kx－y＋＝0，且l⊥MN，设lMN：x＝－ky＋m，则联立得(k2＋4)y2－2kmy＋m2－4＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋4)(m2－4)＝16(k2＋4－m2) y1＋y2＝，y1y2＝，x1x2＝m2－km(y1＋y2)＋k2y1y2，∵OM⊥ON，∴·＝0，x1x2＋y1y2＝0，即m2－km(y1＋y2)＋(k2＋1)y1y2＝0，∴5m2＝4(k2＋1)　①得＋y－y＝0，即＋·＝0，∴·＝，∵＝，＝，∴＝，得2y0＝－1，∴＝－1　②联立①②，消去m得，11k4－24k2－80＝0，∴k2＝4，k＝±2，∴或经验证，满足Δ>0，∴k＝±2.3．解析：(1)由题意可知，c＝1，设椭圆方程为＋＝1，将点代入椭圆方程，得(a2－4)(4a2－1)＝0，解得a2＝(舍)，a2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x3，y3)，P(x4，y4)，T(1，1)，因为＝3，所以，即，又M(x1，y1)，Q(x2，y2)都在椭圆上，所以＋＝1，2＋2＝1，即②－①得(4－2x1)·4＋(4－2y1)·4＝8，即(2－x1)＋(2－y1)＝1　③，又＝3，同理得(2－x3)＋(2－y3)＝1　④ ④－③得(x1－x3)＋(y1－y3)＝0，所以kMN＝＝＝－.4．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题x＝2py1，x＝2py2，由x1＋x2＝－4，则直线l斜率为k＝＝＝＝－，又F，T(1，0)，则k＝－，从而有－＝－，所以p＝2，从而抛物线C的方程为x2＝4y.(2)由题意直线l斜率存在，设l：y＝k(x－1)，由得x2－4kx＋4k＝0，则Δ＝16k2－16k>0，解得k<0或k>1，又点A在第二象限，所以k<0，x1＋x2＝4k，x1x2＝4k.设N(x3，y3)，由题AM：y－y1＝(x－x1)，OB：y＝x.联立解得y3＝，＝＝1－＝1－，将x1＋x2＝4k，x1x2＝4k代入上式得1－＝1－＝1－＝2，即＝2.5．解析：(1)因为－＝2<＝2，所以，轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为－＝1，则2a＝2，可得a＝1，b＝＝4，所以，轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1).(2)设点T，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨设直线AB的方程为y－t＝k1，即y＝k1x＋t－k1，联立，消去y并整理可得(k－16)x2＋k1(2t－k1)x＋2＋16＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>且x2>.由韦达定理可得x1＋x2＝，x1x2＝， 所以，·＝(1＋k)··＝(1＋k)·＝，设直线PQ的斜率为k2，同理可得·＝，因为·＝·，即＝，整理可得k＝k，即(k1－k2)(k1＋k2)＝0，显然k1－k2≠0，故k1＋k2＝0.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.6．解析：(1)∵点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，∴－＝1，解得a2＝2.∴双曲线C的方程为－y2＝1.显然直线l的斜率存在，可设其方程为y＝kx＋m.联立得方程组消去y并整理，得(1－2k2)x2－4kmx－2m2－2＝0.Δ＝16k2m2＋4(1－2k2)(2m2＋2)＝8m2＋8－16k2>0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.由kAP＋kAQ＝0，得＋＝0，即(x2－2)(kx1＋m－1)＋(x1－2)(kx2＋m－1)＝0.整理，得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，即2k·＋(m－1－2k)·－4(m－1)＝0，即(k＋1)(m＋2k－1)＝0.∵直线l不过点A，∴k＝－1.(2)设∠PAQ＝2α，0<α<，则tan2α＝2，∴＝2，解得tanα＝(负值已舍去).由(1)得k＝－1，则x1x2＝2m2＋2>0，∴P，Q只能同在双曲线左支或同在右支．当P，Q同在左支时，tanα即为直线AP或AQ的斜率．设kAP＝.∵为双曲线一条渐近线的斜率，∴直线AP与双曲线只有一个交点，不成立． 当P，Q同在右支时，tan(－α)＝即为直线AP或AQ的斜率．设kAP＝＝，则kAQ＝－，∴直线AP的方程为y－1＝(x－2)，即y＝x－2＋1.联立得方程组消去y并整理，得3x2－(16－4)x＋20－8＝0，则xP·2＝，解得xP＝.∴|xA－xP|＝|2－|＝.同理可得|xA－xQ|＝，|AP|＝|xA－xP|，|AQ|＝|xA－xQ|.∵tan2α＝2，0<2α<π，∴sin2α＝，∴S△PAQ＝|AP|·|AQ|·sin2α＝××|xA－xP|××|xA－xQ|×sin2α＝×3××＝.