新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点23直线与圆小题突破（附解析）

命题点23　直线与圆一、单项选择题1．[2023·辽宁沈阳模拟]已知圆O：x2＋y2＝r2，直线l：3x＋4y＝r2，若l与圆O相交，则(　　)A.点P(3，4)在l上B．点P(3，4)在圆O上C.点P(3，4)在圆O内D．点P(3，4)在圆O外2．[2023·广东茂名模拟]已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“0<k<”是“直线l与圆C相交”的(　　)A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　)A.B．－C．1D．－14．[2023·河北衡水模拟]已知直线l：y＝3x与圆C：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，则△ABC的面积为(　　)A.B．C．D．55．[2023·安徽滁州模拟]已知圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－2x＋2y＋F＝0(F<1)相交所得的公共弦长为，则圆O2的半径r＝(　　)A.1B．C．或1D．6．[2023·山东济宁模拟]若过点P(0，－1)的直线l与圆(x－)2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的最大值为(　　)A.B．C．D．7．[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝(　　)A.1B．C．D．8．[2023·河北石家庄模拟]已知点P为直线l：x－y＋1＝0上的动点，若在圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1上存在两点M，N，使得∠MPN＝60°，则点P的横坐标的取值范围为(　　)A.B．C.D．二、多项选择题9．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切10．[2023·辽宁葫芦岛模拟]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为(　　)A.(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－2)2＋(y－3)2＝13C.＋＝22D．＋(y－1)2＝11．[2021·新高考Ⅰ卷]已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)A.点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．[2023·河北沧州模拟]已知直线l经过点A(－4，－2)，曲线Ω：(x2＋y2－2)2＝4 ＋8xy.下列说法正确的是(　　)A.当直线l与曲线Ω有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为∪{1}B.当直线l与曲线Ω有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个C.当直线l与曲线Ω有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为∪D.存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线Ω的公共点的个数都不可能为2[答题区]题号123456789101112答案三、填空题13．[2023·河南商丘模拟]已知圆C1：x2＋(y－2)2＝5，圆C2过点(2，－1)且与圆C1相切于点(2，1)，则圆C2的方程为__________．14．[2023·山东烟台模拟]已知实数a，b满足a2＋b2－4a＋3＝0，则a2＋(b＋2)2的最大值为________．15．[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．16．[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 命题点23　直线与圆(小题突破)1．解析：由已知l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，则有＝<r，故r<5，把P(3，4)代入3x＋4y＝9＋16＝25>r2，所以点P不在直线l上，故A错误；又＝5>r，则点P(3，4)在圆O外，故D正确．故选D.答案：D2．解析：由圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1可得圆心(2，1)，半径为1，所以直线l与圆C相交⇔圆心(2，1)到直线l：kx－y＝0的距离d＝<1，解得0<k<，所以“0<k<”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．解析：因为直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，所以直线2x＋y－1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a，0)，所以2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A.答案：A4．解析：圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，故圆心坐标为C(0，2)，半径r＝2，点C到线段AB的距离为d＝＝，故|AB|＝2＝，∴△ABC的面积S＝|AB|·d＝.故选B.答案：B5．解析：x2＋y2＝1与O2：x2＋y2－2x＋2y＋F＝0(F<1)两式相减得l：2x－2y－1－F＝0，即公共弦所在直线方程．圆O2方程可化为O2：(x－1)2＋(y＋1)2＝2－F，可得圆心O2(1，－1)，O2半径r＝.则圆心O2到l的距离为d＝＝，半弦长为，则有2＋2＝r2＝2－F，解得F＝－3或F＝1(舍)，此时r＝.故选D.答案：D6．解析：直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在，圆(x－)2＋y2＝1的圆心为C(，0)，半径r＝1，设直线方程y＝kx－1，即kx－y－1＝0，圆心到直线的距离为d＝＝1， 解得k＝或k＝0，当k＝时，倾斜角最大为.故选C.答案：C7.解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin＝＝＝，所以cos＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝.故选B.答案：B8．解析：圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(2，1)，半径r＝1，当PM，PN与圆C相切且∠MPN＝60°时，＝2r＝2，以C(2，1)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，由消去y并化简得x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，所以点P的横坐标的取值范围为.故选C.答案：C9．解析：圆心C到直线l的距离d＝，若点A在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.答案：ABD10．解析：对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；对于C，点(0，0)，(－1，1)都不在圆＋＝22上，故C错误；对于D，点(4，0)，(－1，1)都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB.答案：AB11．解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4， 直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为＝＝>4，所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误；如图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP，BM，可知PM⊥PB，＝＝，＝4，由勾股定理可得＝＝3，CD选项正确．故选ACD.答案：ACD12．解析：由(x2＋y2－2)2＝4＋8xy，得(x2＋y2)2－4(x2＋y2)＋4＝4＋8xy，即(x2＋y2)2＝4(x＋y)2，即(x2＋y2＋2x＋2y)(x2＋y2－2x－2y)＝0，所以曲线Ω表示以M(－1，－1)，N(1，1)为圆心，为半径的两个圆，如图所示．设过点A且与圆N相切的直线方程为y＝k(x＋4)－2，则点N到该直线的距离d1＝＝，解得k1＝1，k2＝，即图中直线AC的斜率为1，直线AD的斜率为.直线AO的斜率为.直线AC的方程为y＝x＋2，点M到直线AC的距离d2＝，则直线AC与圆M相切于点B.在直线l绕着点A(－4，－2)从直线AC顺时针旋转到直线AO的过程中，直线l与曲线Ω的公共点个数都为4(不包括直线AC与直线AO的位置)；在直线l绕着点A(－4，－2)从直线AO顺时针旋转到直线AD的过程中，直线l与曲线Ω的公共点个数也都为4(不包括直线AO与直线AD的位置).所以当直线l与曲线Ω的公共点个数为4时，直线l斜率的取值范围为∪.故选项C正确；设过点A且与圆M相切的直线方程为y＝k′(x＋4)－2，则点M到该直线的距离d2＝ ＝，解得k′1＝1，k′2＝－，由图可知，当直线l与曲线Ω有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为∪.故选项A正确；由图可知，直线AO与曲线Ω的公共点个数为3，直线AD与曲线Ω的公共点个数也为3，直线y＝－(x＋4)－2与曲线Ω的公共点个数为1，所以当直线l与曲线Ω有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有3个，故选项B错误；因为过原点O的任意直线与曲线Ω的公共点的个数为1或3，所以存在定点Q(Q与O重合)，使得过Q的任意直线与曲线Ω的公共点的个数都不可能为2，故选项D正确．故选ACD.答案：ACD13．解析：如图所示：过点(0，2)和(2，1)的直线方程为x＋2y－4＝0，以点(2，－1)和点(2，1)为端点的线段的垂直平分线为y＝0.由得C2(4，0)，则圆C2的半径r＝＝，所以圆C2的方程为(x－4)2＋y2＝5.答案：(x－4)2＋y2＝514．解析：方程a2＋b2－4a＋3＝0整理得(a－2)2＋b2＝1，设点A(a，b)，即点A是圆C：(x－2)2＋y2＝1上一点，又点B(0，－2)在圆C：(x－2)2＋y2＝1外，所以＝，则max＝＋r＝＋1＝2＋1，所以a2＋(b＋2)2的最大值为(2＋1)2＝9＋4.答案：9＋415．解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y).由＝，得A(，).因为kO1O2＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直线l与l2的交点为P(－1，－).由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋＝k(x＋1).由点到直线的距离公式，得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0. 答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)16．解析：因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以≤1，整理，得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.答案：[，]