新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点24椭圆小题突破（附解析）

命题点24　椭圆一、单项选择题1．[2023·安徽蚌埠模拟]若椭圆C：＋＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　　)A．6B．或2C．2D．2或22．[2022·全国甲卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1·BA2＝－1，则C的方程为(　　)A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋y2＝13.[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　)A．B．C．D．4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)A．13B．12C．9D．65．[2023·河北沧州模拟]某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3|F1F2|.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为(　　)A．米B．米C．米D．米6.[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　)A．B．C．－D．－7．[2023·河北唐山模拟]椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2与E交于A，B两点，△ABF1为直角三角形，且|AF1|，|AB|，|BF1|成等差数列，则E的离心率为(　　)A．B．C．D．8．[2023·山西临汾模拟]已知倾斜角为60°的直线l与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点．若AC＝CD＝DB，则椭圆C的离心率为(　　) A．B．C．D．二、多项选择题9．已知方程＋＝1表示椭圆，下列说法正确的是(　　)A．m的取值范围为(4，12)B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(8，12)C．若m＝6，则该椭圆的焦距为4D．若m＝10，则该椭圆经过点(1，)10．[2023·黑龙江齐齐哈尔模拟]椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则(　　)A．椭圆C的离心率为B．的最大值为3C．∠F1PF2的最大值为D．F1到直线PF2的距离最大值为211．[2023·湖南长沙模拟]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则(　　)A．直线AB的方程为y＝(x－3)B．a2＝2b2C．椭圆的标准方程为＋＝1D．椭圆的离心率为12．[2023·云南昆明模拟]已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝m与C交于A，B两点(A在y轴右侧)，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　)A．|AF1|＋|BF1|＝2B．当m＝时，四边形ABF1F2为矩形C．若AF1⊥BF1，则m＝D．存在实数m使得四边形ABF1O为平行四边形[答题区]题号123456789101112答案三、填空题13．[2023·安徽亳州模拟]椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点P作∠F1PF2的角平分线交椭圆C的长轴于点M，则点M的坐标为__________．14．[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________．15．[2022·新高考Ⅰ卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________． 16．[2023·河北衡水模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上的动点．若|PF1|＋|PF2|＝4，且点P到直线x－y＋6＝0的最小距离为，则C的离心率为________． 命题点24　椭圆(小题突破)1．解析：当焦点在y轴时，由e＝＝，解得m＝，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2；当焦点在x轴时，由e＝＝，解得m＝6，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2＝2.故选D.答案：D2．解析：由椭圆C的离心率为，可得e＝＝＝.化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以BA1·BA2＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组解得所以C的方程为＋＝1.故选B.答案：B3．解析：方法一　由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A.方法二　若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意．故选A.答案：A4．解析：由题，a2＝9，b2＝4，则＋＝2a＝6，所以·≤2＝9(当且仅当＝＝3时，等号成立).故选C.答案：C5．解析：根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如图所示，根据椭圆的定义△PQF1的周长为＋＝4a＝3×2c，即2a＝3c　①由该椭球横截面的最大直径为2米，可知2b＝2米，得b＝1，又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝c2＋1　②①②联立可得c＝，a＝， 所以该椭球的高为2a＝米．故选B.答案：B6．解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故选C.答案：C7．解析：由△ABF1为直角三角形，且，，成等差数列，可知不是最长的边，故为直角边，结合椭圆的对称性，不妨设BF1⊥AB，由椭圆的定义可知△ABF1的周长为＋＋＝4a，又＋＝2，所以＝a，进而可得＋＝4a－＝a，由2－2＝(＋)(－)＝2⇒－＝a，故＝a，＝a，＝2a－a＝a，＝－＝a，在△F2BF1中，＝＝a，＝2c，所以2a2＝4c2⇒e＝.故选B.答案：B8．解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2).∵C，D分别是线段AB的两个三等分点，∴C(－x2，0)，D，则A，得，∴k＝＝＝·，利用点差法，由两式相减得＋＝0，整理得到：＝， 即＝4k2，即＝k2.因为直线AB的倾斜角为60°，所以k＝tan60°＝，得＝3，则＝，e＝＝.故选A.答案：A9．解析：因为方程＋＝1表示椭圆，所以，解得4<m<12，且m≠8，故A错误；因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上，所以m－4>12－m>0，解得8<m<12，故B正确；若m＝6，则椭圆方程为＋＝1，所以c2＝a2－b2＝6－2＝4，从而2c＝4，故C正确；若m＝10，则椭圆方程为＋＝1，点(1，)的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(1，)，故D错误．故选BC.答案：BC10．解析：对于A，由椭圆C的方程知a＝2，b＝，c＝1，所以离心率e＝＝，故A正确；对于B，当点P位于椭圆C的右端点时，取得最大值为3，故B正确；对于C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，∠F1PF2取得最大值，故C错误；对于D，当F1F2⊥PF2时，F1到直线PF2的距离取得最大值2，故D正确．故选ABD.答案：ABD11.解析：因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得(＋b2)x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，离心率为，所以圆E的方程为＋＝1.故选ABD.答案：ABD 12．解析：由椭圆与y＝m关于y轴对称，可得＋＝＋＝2，故A正确；当m＝时，可得A，B，又F1(－1，0)，F2(1，0)，则AF2⊥F1F2，AB＝F1F2，AB∥F1F2，则四边形ABF1F2为矩形，故B正确；设A(n，m)，B(－n，m)，则＝(－1－n，－m)，＝(－1＋n，－m)，若AF1⊥BF1，则·＝1－n2＋m2＝0，又＋＝1，联立消元得9m2－16＝0，解得m＝±，故C错误；若四边形ABF1O为平行四边形，则|AB|＝＝c＝1，即A的横坐标为即可，代入椭圆方程可得m＝±，故当m＝±时，四边形ABF1O为平行四边形，故D正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，又P， 由角平分线定理知＝，则＝，解得xM＝，所以点M坐标为.答案：14．解析：方法一　取线段AB的中点E，连接OE(O为坐标原点).因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|.设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意可得×＝＝＝－，即kOE·kAB＝－.设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0.令x＝0，则y＝m.令y＝0，则x＝－.所以点E的坐标为(－，)，所以k×＝－k2＝－，解得k＝－，所以m2＋2m2＝12，解得m＝2，所以直线AB的方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.方法二　设线段AB的中点为E.由|MA|＝|NB|，得E为线段MN的中点．设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0，则M(－，0)，N(0，m)，E(－，).将y＝kx＋m代入＋＝1中并整理，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.由Δ＝6k2－m2＋3>0，得m2<6k2＋3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2·(－)，解得k＝－.又因为|MN|＝＝2，所以m＝2，符合题意，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝015．解析：由题意知e＝＝，所以a＝2c，b＝c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan30°＝，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，即x＝y－c.由椭圆方程＋＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝y－c代入并整理，得13y2－6cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|DE|＝＝·＝＝c＝6，解得c＝.所以△ADE的周长是8c＝13.答案：1316．解析： 由题意知2a＝4，解得a＝2，将直线x－y＋6＝0沿着其法向量方向向右下方平移单位，因为直线倾斜角为45°，那么在竖直方向向下移动了2个单位，此时直线为x－y＋4＝0，且与C相切．联立，得(12＋b2)x2＋96x＋12(16－b2)＝0，所以Δ＝962－48(12＋b2)(16－b2)＝0，解得b2＝4，所以c2＝a2－b2＝8，即c＝2，所以e＝＝＝，即C的离心率为.答案：