新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点13数列的通项与求和大题突破（附解析）

命题点13　数列的通项与求和1．[2023·全国甲卷]记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和Tn.解：2．[2022·新高考Ⅰ卷]记Sn为数列的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<2.解：3．[2023·新课标Ⅰ卷]设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.解：4．[2023·辽宁丹东模拟]记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝5，nan＋1＝Sn－＋1.(1)求{an}的通项公式；(2)证明：Sn≤20.解：5．[2023·山东省实验中学模拟]已知两个正项数列{an}，{bn}满足(an－bn)bn＝1，＝.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝[an＋an＋1]＋bn，其中[x]表示不超过x的最大整数，求{cn}的前n项和Sn.解： 6．[2023·河北保定模拟]数列{an}的前n项和为Sn满足2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中清除掉属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.解：命题点13　数列的通项与求和(大题突破)1．解析：(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1，即(n－1)an－1＝(n－2)an，当n＝2时，可得a1＝0，故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3).当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1.(2)令bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋①，Tn＝＋＋…＋＋②由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，即Tn＝2－.2．解析：(1)∵a1＝1，∴＝1.又∵是公差为的等差数列， ∴＝＋(n－1)，即Sn＝(n＋)an＝(n＋2)an，∴当n≥2时，Sn－1＝(n＋1)an－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，n≥2，即(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，∴＝，n≥2，∴当n≥2时，··…··＝··…··＝，∴an＝.当n＝1时，a1＝1满足上式，∴an＝.(2)证明：由(1)知an＝，∴＝＝2(－)，∴＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－).∵n∈N*，∴0＜≤，∴1－＜1，∴2(1－)＜2，∴＋＋…＋＜2.3．解析：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd.因为bn＝，所以bn＝＝，所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝.因为S3＋T3＝21，所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，因为d>1，所以d＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n.(2)因为bn＝，且{bn}为等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋，所以－＝，所以a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d.①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝＝＝， S99＝＝＝99×50d，T99＝＝＝.因为S99－T99＝99，所以99×50d－＝99，即50d2－d－51＝0，解得d＝或d＝－1(舍去).②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝，S99＝＝＝99×51d，T99＝＝＝.因为S99－T99＝99，所以99×51d－＝99，即51d2－d－50＝0，解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去).综上，d＝.4．解析：(1)当n≥2，n∈N*时，由nan＋1＝Sn－＋1⇒(n－1)an＝Sn－1－＋1，两式相减，得an＋1－an＝－1.所以数列{an}从第三项起，每一项与前一项的差为－1，因为a1＝5，所以a2＝S1－＋1⇒a2＝5－1＋1＝5，所以当n≥2，n∈N*时，an＝5＋(n－2)×(－1)＝7－n，显然a1＝5不适合，故an＝.(2)证明：因为a1＝5>0，a2＝5>0，数列{an}从第三项起，每一项与前一项的差为－1，所以当n≥2，n∈N*时，数列{an}是单调递减数列，当an＝7－n≥0⇒n≤7，所以当n＝6，7时，Sn有最大值，最大值为5＋5＋4＋3＋2＋1＝20，所以Sn≤20.5．解析：(1)由＝，得anbn＝n2＋1，由(an－bn)bn＝1，得anbn＝1＋b，∴b＝n2，因为{bn}是正项数列，∴bn＝n，∴an＝＝n＋.(2)因为＝＝＝， 所以cn＝＋bn＝，所以当n≥2时Sn＝5＋7＋10＋…＋(3n＋1)＝5＋＝(3n2＋5n＋2)，当n＝1时S1＝5满足Sn＝(3n2＋5n＋2)，所以Sn＝(3n2＋5n＋2).6．解析：(1)在2Sn＝3an－3中令n＝1，得a1＝3，∵2Sn＝3an－3，∴当n>1时，2Sn－1＝3an－1－3，两式相减得2an＝3an－3an－1，∴an＝3an－1，∴数列{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列，∴an＝3n.(2)∵bn＝3n，∴数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}前5项：3，9，27，81，243，在数列{bn}前105项中，这五项和为363，数列{bn}前105项为3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315，它们的和为105×3＋105×52×3＝16695，所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}前105项的和减去3，9，27，81，243的和，得：105×3＋105×52×3－363＝16332.