新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点28圆锥曲线中的定点定值问题大题突破（附解析）

命题点28　圆锥曲线中的定点、定值问题1．在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)，M(x，－4)，以线段PM为直径的圆经过原点O.(1)求动点P的轨迹W的方程；(2)过点E(0，－4)作直线l与轨迹W交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A′，试判断直线A′B是否恒过定点．解：2．[2023·全国乙卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．解：3．[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上． 解：4．[2023·河南信阳模拟]已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)上一点Q(1，a)到焦点的距离为3.(1)求a，p的值；(2)设P为直线x＝－1上除(－1，－)，(－1，)两点外的任意一点，过P作圆C2：(x－2)2＋y2＝3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．解：5．[2023·河北邢台模拟]已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)过点P(2，2)，且P与E的两个顶点连线的斜率之和为4.(1)求E的方程； (2)过点M(1，0)的直线l与双曲线E交于A，B两点(异于点P).设直线BC与x轴垂直且交直线AP于点C，若线段BC的中点为N，证明：直线MN的斜率为定值，并求该定值．解：6．[2023·山东省实验中学校考一模]在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E：＋＝1于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若－为定值，求实数λ的值．解： 命题点28　圆锥曲线中的定点、定值问题(大题突破)1．解析：(1)由题意可得P(x，y)，M(x，－4)，因为以线段PM为直径的圆经过原点O.所以OP⊥OM，即·＝0，所以x2－4y＝0.即x2＝4y，即动点P的轨迹W的方程为：x2＝4y.(2)如图：由题意可知直线l的斜率一定存在，故设直线l的方程为y＝kx－4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1).由联立得x2－4kx＋16＝0，Δ＝16k2－4×16>0，则k>2或k<－2，则x1＋x2＝4k，x1x2＝16.直线A′B的方程为：y－y2＝(x－x2)，所以y＝(x－x2)＋y2，所以y＝(x－x2)＋x，所以y＝x－＋x，所以y＝x＋，即y＝x＋4所以，直线A′B恒过定点(0，4).2．解析：(1)因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由题意可知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由，得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，故x1＋x2＝－，x1x2＝.直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝，则yM＋yN＝2＝2＝2＝2＝2×＝6.所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点(0，3).3．解析：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，由题意可得，解得.所以双曲线C的方程为－＝1.(2)方法一　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，则x1＝my1－4，x2＝my2－4.联立得，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0.由根与系数的关系得，所以y1＋y2＝y1y2.因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，所以A1(－2，0)，A2(2，0).直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，所以＝，得＝，＝＝.因为＝＝ ＝＝－3，所以＝－3，解得x＝－1，所以点P在定直线x＝－1上．方法二　由题意得A1(－2，0)，A2(2，0).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，则－＝1，即4x－y＝16.如图，连接MA2，kMA1·kMA2＝·＝＝＝4　①.由－＝1，得4x2－y2＝16，4[(x－2)＋2]2－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1.4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0，两边同时除以(x－2)2，得＋·－＝0，即－·－＝0.kMA2＝，kNA2＝，由根与系数的关系得kMA2·kNA2＝－　②.由①②可得kMA1＝－3kNA2.lMA1：y＝kMA1(x＋2)＝－3kNA2(x＋2)，lNA2：y＝kNA2(x－2).由，解得x＝－1.所以点P在定直线x＝－1上．4．解析：(1)根据抛物线的定义，Q(1，a)到准线x＝－的距离为3，∴1＋＝3，∴p＝4；∴抛物线的焦点坐标为(2，0)，∴＝3，∴a＝±2.(2)设P(－1，y0)，过点P的直线方程设为l：y－y0＝k(x＋1)，由得，ky2－8y＋8y0＋8k＝0，∵y≠±，∴k≠0， 若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，设A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，∴y1y2＝，y3y4＝，∵C2到l的距离d＝＝，∴6k2＋6y0k＋y－3＝0，∴k1＋k2＝－y0，k1k2＝，∴y1y2y3y4＝＝＝64，∴A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64.5．解析：(1)双曲线的两顶点为(±a，0)，所以＋＝＝4，即a2＝2，将P(2，2)代入E的方程可得，b2＝4，故E的方程为－＝1.(2)依题意，可设直线l：y＝k(x－1)(k≠2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).y＝k(x－1)与－＝1联立，整理得(k2－2)x2－2k2x＋k2＋4＝0，所以k2≠2，Δ＝(2k2)2－4(k2－2)(k2＋4)>0，解得，k2<4且k2≠2，x1＋x2＝，x1x2＝，所以3(x1＋x2)－2x1x2＝4.(*)又AP：y＝(x－2)＋2，所以C的坐标为(x2，(x2－2)＋2)，由y1＝k(x1－1)可得，(x2－2)＋2＝，从而可得N的纵坐标yN＝＝，将(*)式代入上式，得yN＝，即N(x2，).所以kMN＝＝，将(*)式代入上式，得kMN＝＝2.6．解析：(1)设P(x，y)，依题意，＝＋1，两边平方并整理，得y2＝2＋2x，所以曲线C的方程为y2＝2＋2x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，依题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，而点F为椭圆E的右焦点，Δ>0恒成立，因此x1＋x2＝，x1·x2＝，则＝· ＝·＝，由(1)知，y2＝2＋2x＝，若直线l交曲线C于M，N两点，且k≠0，则直线l与y2＝4x(x≥0)相交，由消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，而点F为抛物线y2＝4x的焦点，则Δ>0，x3＋x4＝，于是＝x3＋x4＋2＝，从而－＝－＝，要使－为定值，则4λ－3＝3λ，即λ＝3，所以实数λ的值为3.