新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题7求数列的通项（附解析）

微专题7　求数列的通项一、单项选择题1．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋2，a1＝1，则此数列的通项公式为(　　)A．an＝B．an＝C．an＝3×2n－1－2D．an＝3n－22．[2023·山西阳泉模拟]已知等比数列{an}的前n项和Sn，满足an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则a5＝(　　)A．16B．32C．81D．2433．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，则{an}的通项公式为(　　)A．an＝B．an＝C．an＝nD．an＝4．在数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝2n，则{an}的通项公式为(　　)A．an＝nB．an＝C．an＝D．an＝二、多项选择题5．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列选项正确的是(　　)A．an＝－B．an＝C．数列为等差数列D．＋＋…＋＝－5050[答题区]题号12345答案三、填空题6．[2023·河南新乡模拟]已知数列{an}满足a1＝－，an＋1－anan＋1－an＝0，则a8＝________．7．若各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，对于任意的正整数n满足an＋1＝＋，则数列{an}的通项公式an＝________．四、解答题8．[2023·河北衡水模拟]已知{an}为等差数列，＝，a1＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求Tn.解： 9．已知数列{an}各项均为正数，a1＝1，an＋1>an，且an＋2＋an＝a2·an＋1(n∈N*).(1)若数列为等差数列，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若数列为等比数列，且数列{an}不为等比数列，求数列{an}的通项公式．解：10．[2023·河北邯郸模拟]已知数列{an}中，an>0，a1＝3，记数列{an}的前n项的乘积为Sn，且Sn＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn∈(n－1，n).解： 微专题7　求数列的通项1．解析：由an＋1＝2an＋2，有an＋1＋2＝2(an＋2)，所以＝2，又a1＝1，所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－2，n∈N*，故C正确．答案：C2．解析：等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，∴an＝Sn－1＋1(n≥2)，∴an＋1－an＝an，∴an＋1＝2an，故等比数列{an}的公比为2.在an＋1＝Sn＋1(n∈N*)中，令n＝1，可得a2＝a1＋1，∴a1＝1，则a5＝a1·q4＝1×16＝16.故选A.答案：A3．解析：当n＝1时，有2a1＝1·21，所以a1＝1，当n≥2时，由2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n·2n，2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(n－1)·2n－1，两式相减得2nan＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，此时，an＝，a1＝1也满足，所以{an}的通项公式为an＝.故选B.答案：B4．解析：由a1＝1，an＋an＋1＝2n可得a2＝1，且an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，两式相减得an＋2－an＝2，当n＝2k－1，k∈N*时，a2k＋1－a2k－1＝2，此时是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列，则a2k－1＝1＋(k－1)×2＝2k－1(k∈N*)，即an＝n(n为奇数)；当n＝2k，k∈N*时，a2k＋2－a2k＝2，此时是以a2＝1为首项，公差为2的等差数列，则a2k＝1＋(k－1)×2＝2k－1(k∈N*)，即an＝n－1(n为偶数)，综合上述可得数列{an}的通项公式为an＝故选B.答案：B5．解析：Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1(常数)，所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，a1＝－1不适合上式，故an＝故B正确，A错误； 所以＋＋＋…＋＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5050,故D正确．故选BCD.答案：BCD6．解析：由an＋1－anan＋1－an＝0，得－＝－1，则是以＝－3为首项，公差为－1的等差数列，所以＝－3－(n－1)＝－n－2，所以an＝－，所以a8＝－.答案：－7．解析：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，由an＋1＝＋可得Sn＋1－Sn＝＋，即(－)(＋)＝＋，∵{an}中各项均为正数，∴＋>0，∴－＝1，因此是以1为首项，1为公差的等差数列；∴＝n⇒Sn＝n2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，经验证当a1＝1时也满足，所以an＝2n－1.答案：2n－18．解析：(1)∵＝，a1＝1.∴＝，＝，＝，…，＝，∴×××…×＝×××…×＝，∴an＝5n－4；当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝5n－4，(n∈N*).(2)由(1)可得bn＝＝＝(－)，∴Tn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝(1＋－－)＝.9．解析：(1)因为an＋2＋an＝a2·an＋1(n∈N*)，所以an＋3＋an＋1＝a2·an＋2，两式相减，可得an＋3－an＋2＋an＋1－an＝a2(an＋2－an＋1)，又∵为等差数列，∴an＋3－an＋2＋an＋1－an＝2(an＋2－an＋1)，则a2(an＋2－an＋1)＝2(an＋2－an＋1)，又∵an＋1>an，∴an＋2－an＋1≠0，∴a2＝2，所以an＋2＋an＝2an＋1，即{an}为等差数列，且公差d＝1， 所以Sn＝n＋＝.(2)设的公比为q，因为an＋2＋an＝a2·an＋1，所以an＋2－2an＋1＋an－an＋1＝(a2－)an＋1，所以(q－)(an＋1－2an)＝(a2－)an＋1，因为an＋1≠0，所以(q－)(1－)＝a2－，因为{an}不是等比数列，所以不是常数，所以q＝，a2＝，又a2－2a1＝，所以an＋1－2an＝，即－＝＝，由累加法可知，＝－＋－＋…＋－＋＝＋＋…＋＋＝·＝(1－)，n≥2，经检验，＝2也满足＝(1－)，所以an＝(2n－).10．解析：(1)由题意知Sn为正项数列{an}的前n项的乘积，且Sn＝，当n＝2时，S＝(a1a2)2＝a，所以(3a2)2＝a，解得a2＝9；又S＝a①，S＝a②，②÷①得，a＝，即a＝a，所以lga＝lga，即nlgan＋1＝(n＋1)lgan，所以＝，所以＝＝lg3，结合＝，可知数列是常数列，所以＝＝lg3，所以lgan＝nlg3＝lg3n，所以an＝3n.(2)由(1)可得bn＝＝＝1－，则Tn＝(1－)＋(1－)＋…＋(1－)＝n－2(＋＋…＋)， 由于＋＋…＋<＋＋…＋＝＝(1－)<，故Tn＝n－2(＋＋…＋)>n－1，且Tn<n，所以n－1<Tn<n，即Tn∈(n－1，n).