新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题5三角形中有关中线角平分线的问题（附解析）

微专题5　三角形中有关中线、角平分线的问题1．[2023·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝，求tanB；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.解：2．在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＝4，＝.(1)若c＝2，求sinA；(2)若AB边上的中线长为，求AB的长．解：3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，b＝AD＝，a＝bcosC＋csinB.(1)求B的值； (2)求△ABC的周长．解：4．[2023·河北沧州模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋(2b＋c)cosA＝0，角A的平分线与边BC交于点D.(1)求角A；(2)若AD＝2，求b＋4c的最小值．解：5．[2023·河北邯郸模拟]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S＝(a2＋b2－c2)，c＝2.(1)若B＝，求a；(2)D为AB边上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．条件①：CD为∠C的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解： 6．[2023·湖北黄冈模拟]在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足－1＝，且A≠C.(1)求证：B＝2C；(2)已知BD是∠ABC的平分线，若a＝6，求线段BD长度的取值范围．解： 微专题5　三角形中有关中线、角平分线的问题1．解析：(1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝.在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，所以sinB＝＝.所以tanB＝＝.(2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＝－，得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bc＝bc＝＝，解得bc＝4.则由，解得b＝c＝2.2．解析：(1)因为＝且a＝4，由正弦定理得＝＝＝， 整理得cosB＋cosAcosC＝sinAcosC，因为A＋B＋C＝π，可得cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC，可得sinAsinC＝sinAcosC，又因为A∈(0，π)，可得sinA>0，所以sinC＝cosC，即tanC＝，因为C∈(0，π)，所以C＝，由正弦定理得＝且c＝2，可得sinA＝＝＝1.(2)设AB边上的中线为CD，则2＝＋，所以4||2＝(＋)2＝b2＋a2＋2abcosC，因为AB边上的中线长为，可得37＝b2＋16＋4b，整理得b2＋4b－21＝0，解得b＝3或b＝－7(舍去)，所以AB＝c＝＝＝.3．解析：(1)因为a＝bcosC＋csinB，由正弦定理得，sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，所以cosBsinC＝sinCsinB，所以tanB＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)在△ABC中，设a＝2x，c＝y，则BD＝DC＝x，在△ABD中，由余弦定理有AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cosB，即x2＋y2－xy＝7，①在△ABC中，由余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB， 即4x2＋y2－2xy＝7，②联立①②得，x＝1，y＝3，即c＝3，a＝2.所以△ABC的周长为5＋.4．解析：(1)由正弦定理化简acosC＋(2b＋c)cosA＝0可得：sinAcosC＋(2sinB＋sinC)cosA＝0，∴sinAcosC＋sinCcosA＝－2sinBcosA，即sin(A＋C)＝－2sinBcosA，由A＋B＋C＝π，∴sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB＝－2sinBcosA，又∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosA＝－，又A∈(0，π)，∴A＝.(2)根据角A的平分线与边BC交于点D，所以∠BAD＝∠CAD＝，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，即×2×c×sin＋×2×b×sin＝×b×c×sin，所以2(b＋c)＝bc，即＋＝.b＋4c＝2(b＋4c)(＋)＝2(5＋＋)≥2×(5＋2)＝18，当且仅当＝时，即b＝6，c＝3时，等号成立．所以b＋4c的最小值为18.5．解析：(1)因为S＝(a2＋b2－c2)，由余弦定理可得：a2＋b2－c2＝2abcosC，所以S＝·2abcosC，由三角形的面积公式可得S＝absinC，所以·2abcosC＝absinC，所以tanC＝，又C∈(0，π)，故C＝.由正弦定理得＝，且sinA＝sin(B＋C)＝sin(＋)＝sincos＋cossin＝，所以＝，故有a＝＋. (2)选择条件①：在△ABC中，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得a2＋b2－12＝ab，即(a＋b)2＝12＋3ab≤12＋3()2，故a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，又因为S△CDA＋S△CDB＝S△ABC，所以a·CD·sin＋b·CD·sin＝absin，所以(a＋b)CD＝ab，所以CD＝＝＝[(a＋b)－]≤(4－)＝3，故CD的最大值为3.选择条件②：由题2＝＋，平方得4||2＝2＋2＋2·＝b2＋a2＋2abcosC＝a2＋b2＋ab，在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2－12＝ab，即(a＋b)2＝12＋3ab≤12＋3()2，所以(a＋b)2≤48.当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故有4|CD|2＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(a＋b)2－＝(a＋b)2＋4≤36，从而|CD|≤3，故CD的最大值为3.6．解析：(1)由题意得＝，即＝.所以sin2B＝sin2C＋sinAsinC，由正弦定理得b2＝c2＋ac，又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，所以c＝a－2ccosB，故sinC＝sinA－2sinCcosB，故sinC＝sin(B＋C)－2sinCcosB，整理得sinC＝sin(B－C).又△ABC为锐角三角形，则C∈(0，)，B∈(0，)，B－C∈(－，)，所以C＝B－C，因此B＝2C.(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，所以＝.所以BD＝＝＝.因为△ABC为锐角三角形，且B＝2C，所以，解得<C<.故<cosC<，所以2<BD<3.因此线段BD长度的取值范围(2，3).