2023高考数学新教材数列十大微专题5-数列中的计数问题（Word版附解析）

数列中的计数问题原理与应用一．基本原理1.数列中的计数问题的基本形式如下：记数列落在区间的个数为，讨论数列的性质.这种问题的关键就是利用数列自变量的计数功能，通过不等式，由于为正整数，从而实现对自变量的计数，当然，这里面需要一丝丝取整背景，需要读者注意.进一步：目前的题目的计算背景主要分布在去解下面三个不等式：①．②．③．2.高斯取整函数：表示实数的整数部分，即是不大于实数的最大整数.，常称为的“小数部分”或“尾数部分”.3.高斯函数图像及小数部分图像.取整函数的图象.小数函数：的图象性质：①定义域：；性质：①定义域：；②值域：；②值域：； 下面我们通过例子分析.二．典例分析例1.在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.解析：（1）由可得而，则，，于是，即.（2）对任意m∈N﹡，，则，即，而，故，由题意可知，于是，即.例2.已知等差数列的前5项和为105，且.（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.解析：（1）由已知得：解得,所以通项公式为.（2）由，得，即.∵，∴是公比为49的等比数列，∴. 例3．（2020新高考1卷）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．解析：（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）由题意，，即，当时，．当时，，则．例4.（2022新高考1卷）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合中元素的个数．解析：（1）设等差数列公差为，由，知，故，由，知，故；故，整理得，得证．（2）由（1）知，由知：即，即，因为，故，解得故集合中元素的个数为9个． 三．习题演练1．（2023届温州一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．（1）求，的值；（2）求最小自然数n的值，使得．解析：（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，，解得，所以，时，集合中元素个数为，时，集合中元素个数为；（2）由（1）知，，时，=2001<2022，时，=4039>2022，记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.习题2．已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．解析：（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）由题意，，即，当时，．当时，，则．