新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题22抽象函数问题（附解析）

微专题22　抽象函数问题一、单项选择题1．[2023·河北衡水模拟]已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)A．(1，5]B．(1，2)∪(2，5)C．(1，2)∪(2，3]D．(1，3]2．[2023·江苏镇江模拟]若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为(　　)A．[－2，2]B．[－2，4]C．[－4，4]D．[－8，8]3．[2023·安徽铜陵模拟]已知函数y＝f(x)，x∈N＋，满足以下条件：①f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋ab，其中a，b∈N＋；②f(2)＝3.则f(2023)＝(　　)A．2023×2024B．2022×2023C．1013×2023D．1012×20234．[2023·广东揭阳模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝1，则f(2023)＝(　　)A．－1B．0C．1D．25．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x＋4)，且f(x＋1)是偶函数，则(　　)A．f(x)是偶函数B．f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点(，0)对称6．[2023·辽宁沈阳模拟]已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x－4)＝f(－x)，且满足f(3x－1)为奇函数，则下列说法一定正确的是(　　)A．函数f(x)图象关于直线x＝1对称B．函数f(x)的周期为2C．函数f(x)图象关于点中心对称D．f(2023)＝07．[2023·辽宁大连模拟]已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)满足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，则满足f(n)＝n(n∈N＋)的n的个数是(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个8．[2023·广东珠海模拟]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f(x＋3)为奇函数，g(＋2x)为偶函数，且g(0)＝－3，g(1)＝2，则(i)＝(　　)A．670B．672C．674D．676二、多项选择题9．已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论成立的是(　　)A．f(0)＝2B．f(x)为偶函数C．f(x)为奇函数D．f(2)＝－110．[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)A．f(0)＝0B．g＝0C．f(－1)＝f(4)D．g(－1)＝g(2)[答题区]题号12345678910答案三、填空题 11．已知函数f(x)满足f(x－y)＝，且f(1)<f(3)，请写出一个符合上述条件的函数f(x)＝________．12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－2为奇函数，则f(198)＝________．13．[2023·安徽合肥模拟]若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，且f(1)＝2，则f(2024)＝________．14．[2023·河北张家口模拟]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x＋2)为奇函数，f′(2－x)＋f′(x)＝2，f′(2)＝2，则′(i)＝________．微专题22　抽象函数问题1．解析：因为函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，又函数y＝＋(x－2)0有意义，则有，解得1<x<2或2<x≤3，所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3].故选C.答案：C2．解析：因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则－2≤x≤4，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4，8]，对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有，解得－4≤x≤4，因此，函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4，4].故选C.答案：C3．解析：令a＝b＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1，又f(2)＝3，所以f(1)＝1，令b＝1，则f(a＋1)＝f(a)＋a＋1，即f(a＋1)－f(a)＝a＋1.所以f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，…，f(2022)－f(2021)＝2022，f(2023)－f(2022)＝2023，累加得：f(2023)－f(1)＝2＋3＋4＋…＋2022＋2023，所以f(2023)＝1＋2＋3＋4＋…＋2023＝＝1012×2023.故选D.答案：D4．解析：由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，①又函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)＝f(－x)，②联立①②两式，可得f(4＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为8，又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(253×8－1)＝f(－1)＝f(1)＝1，故A，B，D错误．故选C.答案：C5．解析：由f(x＋2)＝f(x＋4)可得f(x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)的周期是2，因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)即函数f(x)的图象关于x＝1对称， 所以f(x)＝f(2－x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，故A正确，C错误，当f(x)＝－x＋1，0≤x≤1时，通过上述的周期为2，且关于x＝1对称得到以下图象，通过图象可发现f(x)不关于直线x＝对称，也不关于点(，0)对称，故BD错误．故选A.答案：A6．解析：因为f(x)满足f(x－4)＝f(－x)，所以f[－2＋(x－2)]＝f[－2－(x－2)]，所以函数f(x)图象关于直线x＝－2对称，因为f(3x－1)为奇函数，所以f(－3x－1)＝－f(3x－1)，即f(－3x－1)＋f(3x－1)＝0，则函数f(x)图象关于(－1，0)对称，则f(－2＋x)＝－f(x)，令x＝－1得f(－1)＝0，由f(－2＋x)＝－f(x)，得f(－4＋x)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝0，故选D.答案：D7．解析：令x＋1＝x1>x＝x2>0且均属于N*，则f(x2)＋f(1)＝f(x1)－x2－1，所以f(x1)－f(x2)＝x2＋2>0，故f(x2＋1)＝f(x1)＝f(x2)＋x2＋2，又f(1)＝1，故f(x)>0在x∈N*上恒成立，且f(x)在x∈N*上单调递增，所以，满足f(n)＝n(n∈N＋)仅有f(1)＝1，即n仅有1个．故选A.答案：A8．解析：∵f(x＋3)为奇函数，∴f(－x＋3)＝－f(x＋3)，∴－f′(－x＋3)＝－f′(x＋3)，即：f′(－x＋3)＝f′(x＋3)，又∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x＋3)＝g(x＋3)，①又∵g(＋2x)为偶函数，∴g(－2x)＝g(＋2x)，②∴将②中2x换成x得：g(－x)＝g(＋x)，③∴将③中x换成－x得：g(x)＝g(3－x)，④由①④得：g(x)＝g(x＋3)，∴g(x)的一个周期为3，∴g(3)＝g(0)＝－3， 将x＝代入③得：g(1)＝g(2)＝2，∴g(1)＋g(2)＋g(3)＝2＋2－3＝1，又∵2023＝3×674＋1，∴(i)＝674×1＋g(1)＝674＋2＝676.故选D.答案：D9．解析：因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A对；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错，B对；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，D对．故选ABD.答案：ABD10．解析：因为f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f(－2x)＝f(＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x).令t＝－2x，则x＝－，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x).对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图象关于点(，0)对称，即g()＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×(2－)＝2，所以g()＝g(－)＝0，所以B正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C为常数，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图象关于点(2，)对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)的周期为4×(2－)＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2).又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C正确．g(x)的图象不关于直线x＝对称，所以D错误．因为f(0)＝f(2)＝，所以当C＝0时，f(0)＝0，当C≠0时，f(0)≠0，所以A错误．故选BC.答案：BC11．解析：令f(x)＝2x，显然f(x)＝2x在定义域上单调递增，满足f(1)<f(3)，且f(x－y)＝2x－y＝，即满足f(x－y)＝，所以f(x)＝2x符合题意．答案：2x(答案不唯一)12．解析：∵g(x)为定义域为R的奇函数，∴g(0)＝f(0)－2＝0，解得：f(0)＝2； 由f(x＋3)＝－f(x)得：f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(198)＝f(33×6)＝f(0)＝2.答案：213．解析：由f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，得f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)，所以f(x)－f(x－1)＝f(x＋2)＋f(x)，即－f(x－1)＝f(x＋2)，于是有－f(x)＝f(x＋3)，所以－f(x＋3)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋6).所以函数f(x)的周期为6.因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.令x＝1，则f(1)＝f(2)＋f(0)，解得f(2)＝f(1)－f(0)＝2，所以f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝2.答案：214．解析：由f(x＋2)为奇函数，得f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以f′(x＋2)＝f′(－x＋2)，　①又因为f′(2－x)＋f′(x)＝2，　②所以f′(x＋2)＋f′(x)＝2，　③所以f′(x＋4)＋f′(x＋2)＝2所以f′(x)＝f′(x＋4)，所以函数f′(x)是以4为周期的周期函数，因为f′(2)＝2，所以将x＝2代入③得：f′(4)＋f′(2)＝2，解得：f′(4)＝0，将x＝1代入②得：f′(1)＋f′(1)＝2，解得：f′(1)＝1，将x＝1代入①得：f′(3)＝f′(1)＝1，所以f′(1)＋f′(2)＋f′(3)＋f′(4)＝1＋2＋1＋0＝4，又因为50＝4×12＋2，所以′(i)＝12×[f′(1)＋f′(2)＋f′(3)＋f′(4)]＋f′(1)＋f′(2)＝12×4＋1＋2＝51.答案：51