新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题15球的接切问题（附解析）

微专题15　球的接、切问题一、单项选择题1．已知正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是(　　)A．6πB．12πC．18πD．24π2．[2023·河北沧州模拟]某圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的内切球的体积为(　　)A．B．C．4πD．6π3．[2023·河北石家庄模拟]有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6.若该石料最多可打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为(　　)A．216－4πB．216－16πC．270－16πD．270－4π4．在三棱锥ABCD中，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BD⊥BC，AC＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)A．40πB．32πC．8πD．6π5．[2023·安徽合肥模拟]已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为16π，上、下底面的面积之比为1∶9，则球的表面积为(　　)A．12πB．14πC．16πD．18π6.如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为(　　)A．πB．πC．πD．π7.[2023·安徽马鞍山模拟]如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为(　　)A．16πB．πC．πD．30π8．已知三棱锥DABC的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB＝∠CBA＝30°，二面角DABC的大小为60°，若球O的表面积等于16π，则三棱锥DABC的体积等于(　　)A．B．C．D．二、多项选择题 9．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　　)A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为D．球O的内接正四面体的棱长为210．[2023·河北沧州模拟]若四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝，AD＝2，且异面直线BC和AD所成角的余弦值为，则球O的表面积可能为(　　)A．10πB．12πC．106πD．108π[答题区]题号12345678910答案三、填空题11．[2023·湖南邵阳模拟]三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝4，AC＝2AB＝2，AC⊥AB，则三棱锥PABC外接球的表面积为________．12．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝，AA1＝2，∠BAC＝，则球O的体积为________．13．[2023·江苏扬州模拟]已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．14．[2023·安徽合肥模拟]已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，△ADC是边长为2的等边三角形，△ADC外接圆的圆心为O′.若四面体ABCD的体积最大时，∠BAO′＝，则球O的半径为________；若AB＝BC＝，点E为AC的中点，且∠BED＝，则球O的表面积为________．微专题15　球的接、切问题1．解析：正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则(2r)2＝22＋22＋22＝12，解得r＝，故球的表面积为S＝4×π×()2＝12π.故选B.答案：B2．解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝π×2，所以r＝，h＝＝3，设该圆锥内切球的半径为R，作出轴截面如图，利用相似可 得＝，所以R＝，所以V＝＝＝.故选A.答案：A3．解析：设底面是边长为6的等边三角形的内切圆的半径为r，由等面积法可得×3×6r＝×62，解得r＝，若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则该柱形石料的高至少为8，因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为×62×8－4×π×()3＝216－16π.故选B.答案：B4．解析：因为△ACD和△BCD均为以CD为斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球球心即为CD的中点，由题意可得：CD＝AC＝4，则外接球的半径R＝CD＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝32π.故选B.答案：B5．解析：依据题意，球内切于圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，如图所示，过B点作CD的垂线，垂足为E，设球的半径为R，则BE＝2R，设圆台的母线为l，即BC＝l，上、下底面的面积之比为1∶9，即＝＝，r2＝3r1，由圆的切线长定理可知，r1＋r2＝l⇒l＝4r1，圆台的侧面积为π(r1＋r2)l＝4πr1l＝16πr＝16π，解得r1＝1，则2R＝BE＝＝2，即R＝，则球的表面积S＝4πR2＝12π.故选A.答案：A6．解析：依题意，设半球的半径为R，连接AC，BD交于点O，连接SO，如图所示：则有AO＝BO＝SO＝R，易得AB＝R，所以正四棱锥SABCD的体积为： VSABCD＝×|AB|2×SO＝×2R2×R＝，解得：R＝，所以半球的体积为：V＝××πR3＝π.故选C.答案：C7．解析：如图所示的正四棱台ABCDA1B1C1D1取上下两个底面的中心M，N，连接MN，A1M，AN，过点A1作底面的垂线与AN相交于点E，因为四棱台ABCDA1B1C1D1为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线MN上，在MN上取一点O为球心，连接OA，OA1，则OA＝OA1＝R，设ON＝h，因为AB＝2AA1＝2A1B1＝2，所以AN＝，A1M＝，MN＝A1E＝＝＝＝，所以ENMA1为正方形，故O必在MN延长线上，在Rt△OAN中，OA2＝AN2＋ON2，即R2＝()2＋h2，在Rt△OA1M中，OA＝OM2＋A1M2，即R2＝(＋h)2＋()2，解得R2＝，所以S＝4πR2＝30π.故选D.答案：D8．解析：取AB的中点O，连接OC，OD，因为AD⊥BD，AC⊥BC,所以O到A，B，C，D的距离相等，故O即为球心．由球O的表面积等于16π，设外接球半径为R，故4πR2＝16π，解得OD＝R＝2，过C，D作CF，DE垂直于AB于点E，F，因为∠DAB＝∠CBA＝30°，∠DOE＝∠AOC＝60°，所以DE＝ODsin60°＝，同理CF＝， 因为二面角DABC的大小为60°，所以〈，〉＝60°，故三棱锥的高为h＝·sin〈，〉＝，其中S△ABC＝AB·CF＝2，所以三棱锥DABC的体积V＝S△ABC·h＝.故选A.答案：A9．解析：设球的半径为R，由已知可得△ABC外接圆半径为r＝＝，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴R2－R2＝，得R2＝.对于A，球O的表面积为4π×＝6π，故A正确；对于B，设球O的内接正方体的棱长为a，∵正方体的体对角线即球O的直径，a＝2R，解得a＝，故B错误；对于C，设球O的外切正方体的棱长为b，∵正方体的棱长即球O的直径长，∴b＝2R＝，故C错误；对于D，设球O的内接正四面体的棱长为c，则正四面体的高为＝c，由(c－)2＋(c)2＝()2，解得c＝2，故D正确．故选AD.答案：AD10．解析：如图，将四面体ABCD补成直三棱柱ADEBFC.因为异面直线BC和AD所成角的余弦值为，所以cos∠CBF＝±，sin∠CBF＝.当cos∠CBF＝时， 由余弦定理可得CF＝＝，由正弦定理可得底面外接圆(M为圆心)的直径2r＝＝＝，r＝，而MO＝＝1，所以球O的半径R＝＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝10π.当cos∠CBF＝－时，CF＝＝，同理可得球O的半径R＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝106π.故选AC.答案：AC11.解析：由PA⊥平面ABC，AC，AB⊂平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，又AC⊥AB，所以PA，AB，AC两两垂直，故可将三棱锥PABC补全为长方体，故三棱锥PABC的外接球，即为长方体外接球，令三棱锥PABC的外接球半径为R，则满足(2R)2＝PA2＋AB2＋AC2＝31，所以外接球表面积为4πR2＝31π.答案：31π12．解析：因为AB＝AC＝，∠BAC＝，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝3＋3－2×××(－)＝9，即BC＝3，所以△ABC的外接圆半径为r＝·＝，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝2，设球O的半径为R，则R＝＝，因此球O的体积为V＝πR3＝.答案：13．解析： 如图，正四棱锥的侧棱的所有三等分点构成一个正四棱台，棱台上底面是边长为1的正方形，棱台下底面是边长为2的正方形，侧棱长为1，可求得棱台的高为＝，设该棱台的外接球的半径为r,球心到下底面的距离为，球心到上底面的距离为，①球心在两个底面之间时，＋＝，因为r2≥2，则＋≥，则上式无解；②球心在下底面下方时，－＝，＝＋，两边同时平方：r2－＝＋＋r2－2，＝1，解得：r2＝，表面积S＝4πr2＝10π.答案：10π14．解析：设△ACD的外接圆的半径R，由题可得＝2R，解得R＝；若四面体ABCD的体积最大时，则点B在过O和O′的直径上，且B，O′在O的两侧，在△ACD中，AO′＝R＝，又∠BAO′＝，所以BO′＝AO′×tan＝2，设球O的半径为r，则在Rt△AO′O中，r2＝()2＋(2－r)2，解得r＝； 如图，取AC的中点E，连接DE并延长DE交圆O′于点F.连接BE，BF，由∠BED＝得，则∠BEF＝π－＝.EF＝2R－AD×＝.在△ABE中，BE＝＝，所以在△BEF中，由余弦定理得BF2＝EF2＋BE2－2EF·BEcos∠BEF＝1，可得BF⊥EF，结合图形可得BF⊥圆O′.连接OO′，过点O作BF的垂线，垂足为点G，连接BO，四面体ABCD外接球的半径r＝＝解得OO′＝BG＝BF＝，所以球O的半径r＝＝，四面体ABCD外接球的表面积为π.答案：　π