新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题11概率统计中的数学文化（附解析）

微专题11　概率统计中的数学文化一、单项选择题1.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为(　　)A.8B．16C.24D．322．[2023·山西晋中模拟]田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　)A.B．C．D．3．[2023·广东汕头模拟]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是(　　)A.B．C．D．4．[2023·广东东莞模拟]“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，则这两个节气不在同一个月的概率为(　　)A.B．C．D．5.[2023·重庆巴南模拟]数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是(　　)A.B．C．D．6. [2023·吉林模拟]在我国古代，杨辉三角(如图1)是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：C＋C＋C＋…＋C＝C，类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为(　　)A.2C－2B．2C－2C．C－2D．C－2二、多项选择题7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是(　　)A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D.课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法8.七巧板是古代中国劳动人民的发明，顾名思义，它由七块板组成，其中包括五个等腰直角三角形，一个正方形和一个平行四边形．利用七巧板可以拼出人物、动物等图案一千余种．下列说法正确的是(　　)A.七块板中等腰直角三角形的直角边边长有3个不同的数值，它们的比为1∶∶2B.从这七块板中任取两块板，可拼成正方形的概率为C.从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为D.使用一套七巧板中的n块(1≤n≤7，n∈N＋)，可拼出不同大小的正方形3种9．[2023·江苏苏州模拟]中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时(　　) A.四支球队的积分总和可能为15分B.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为C.可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况D.丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为[答题区]题号123456789答案三、填空题10．[2023·云南保山模拟]春节(SpringFestival)，即中国农历新年(ChineseNewYear)，俗称“新春”“新岁”“岁旦”等，又称“过年”“过大年”，是集除旧布新、拜神祭祖、祈福辟邪、亲朋团圆、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某商家在春节前开展商品促销活动，凡购物顾客都可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，其中恰有2人领取的礼品种类相同，则不同的情况共有________种．11.[2023·广东深圳模拟]“灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同取法总数为________．12．[2023·河北沧州模拟]算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数大于5500”，则P(A)＝________． 微专题11　概率统计中的数学文化1．解析：梯形的上、下底平行且不相等，如图，若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有16个，若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有8个，所以梯形的个数是16＋8＝24.故选C.答案：C2．解析：依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C.由题意可知，可能的比赛方案有：aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件为aB，aC，bC，共3种，则田忌的马获胜的概率为P＝＝.故选A.答案：A3．解析：不超过40的素数为：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数，其中40＝3＋37＝11＋29＝17＋23，共3组数，所以其和等于40的概率P＝＝.故选C.答案：C4．解析：由题意，从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，∴基本事件有C＝15个，其中任取两个在同一个月的有3个，∴这两个节气不在同一个月的概率为：P＝1－＝.故选A.答案：A5．解析：1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5和9，因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个，其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，所以所求概率为P＝＝.故选A.答案：A6．解析：由杨辉三角中观察可得1＋3＋6＋10＝20.推广，得到C＋C＋C＋…＋C＝C， 即＋＋＋…＋＝C，由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为S＝2×3＋3×4＋4×5＋…＋2022×2023＝2(C－1).故选B.答案：B7．解析：对于A，从六门课程中选两门的不同选法有C＝15种，A正确；对于B，先排“礼”“御”“书”“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有AA＝480种，B错误；对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有AA＝144种，C正确；对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有4A＝480种，D正确．故选ACD.答案：ACD8．解析：如图所示：设小正方形的边长为a，则等腰直角三角形的直角边边长由小到大为a，a，2a，所以它们的比为1∶∶2，故A正确；从这七块板中任取两块板，若能拼成正方形，则选两个相同的等腰直角三角形，所以拼成正方形的概率为p＝＝，故B错误；由题意得S大三角形＝2a2，S中三角形＝a2，S小三角形＝a2，S小正方形＝a2，S平行四边形＝a2，则从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为p＝＝，故C正确；拼成的正方形的边长分别为a，a，2a，2a，拼成的正方形的面积分别为a2，2a2，4a2，8a2，所以可拼出不同大小的正方形有4种，故D错误．故选AC.答案：AC9．解析：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，AC均正确；每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为()3×C××＝，B错； 丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与丙比赛，丙输，C×，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意，若丙全赢(概率是()2)时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率C()2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是，两场均平，概率是()2，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，两场甲都输，概率是()2，乙丁这场比赛只能平，概率是，综上概率为C××()2×[C×()2×＋()2＋()2×]＝，D正确．故选ACD.答案：ACD10．解析：先选取2人作为一组，领取相同礼品，共有3组安排三种不同的礼品，由分步乘法计数原理知，共有C·A＝36种．答案：3611．解析：对于6盏不同的花灯进行取下，可先对6盏不同的花灯进行全排列，共有A种排法，因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有＝20种不同的取法．答案：2012．解析：方法一　将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，表示出四位数，样本空间为Ω＝{1111，1115，1151，1155，1511，1515，1551，1555，5111，5115，5151，5155,5511，5515，5551，5555}，∴n(Ω)＝16，事件A＝“表示的四位数大于5500”，则A＝{5511，5515，5551，5555}，∴n(A)＝4，∴P(A)＝＝＝.方法二　将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每位有两种拨动方法，∴拨动方法共有2×2×2×2＝16种，若要使表示的四位数大于5500，则需要在千位和百位都拨动上珠，个位、十位各有两种拨动方法，∴表示的四位数大于5500的拨动方法有1×1×2×2＝4种， ∴表示的四位数大于5500的概率P(A)＝＝.答案：