新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题18圆的最值问题（附解析）

微专题18　圆的最值问题一、单项选择题1．若直线y＝kx＋2－3k与圆x2＋y2＋4y－57＝0相交于不同两点A，B，则弦AB长的最小值为(　　)A．10B．12C．14D．162．[2023·安徽合肥模拟]已知点P在圆C：(x－a)2＋y2＝a2(a>0)上，点A(0，2)，若|PA|的最小值为1，则过点A且与圆C相切的直线方程为(　　)A．x＝0或7x＋24y－48＝0B．x＝0或7x－24y－48＝0C．x＝1或24x－7y－48＝0D．x＝1或24x＋7y－48＝03．[2023·河北保定模拟]已知直线l：ax－y＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为(　　)A．1B．C．2D．24．[2023·湖南岳阳模拟]若点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0上，则的取值范围为(　　)A．B．C．[0，4]D．5．[2023·广东佛山模拟]已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，过点A(0，1)的两条直线l1，l2互相垂直，圆心C到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为(　　)A．B．1C．D．46．[2023·河南郑州模拟]已知圆x2－2x＋y2＝0与圆C关于直线x＋y＝0对称，且点A(－，0)，B(0，)，P是圆C上一点，则∠BAP的最大值为(　　)A．45°B．75°C．105°D．120°7．[2023·北京大兴模拟]已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝1和两点A(0，－m)，B(0，m)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)A．12B．11C．10D．98．[2023·浙江杭州模拟]已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，点M在C上，N在⊙P：x2＋(y－3)2＝2x上，则|MF|－|MN|的最大值是(　　)A．2B．－1C．－1D．＋1二、多项选择题9．[2023·山东济南模拟]已知点M(2，4)，若过点N(5，－2)的直线l交圆C：(x－7)2＋y2＝9于A、B两点，R是圆C上的动点，则(　　)A．|AB|的最小值为2B．|＋|的最大值为＋C．·的最小值为39－9D．当S△MNR取最大值时，底边MN上的高所在的直线方程为x－2y－7＝010．[2023·河北衡水模拟]已知A，B分别为圆C1：x2＋y2－2x＋8y＋16＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋5＝0上的两个动点，P为直线l：x－y＋2＝0上的一点，则(　　)A．|PA|＋|PB|的最小值为3－3B．|PA|＋|PB|的最小值为＋－3C．|PA|－|PB|的最大值为2＋3D．|PA|－|PB|的最小值为－2－3[答题区]题号12345678910答案 三、填空题11．[2023·广东佛山模拟]在平面直角坐标系xOy中，动点P到点A(1，0)的距离是到点B(1，3)的距离的2倍，则△PAB的面积的最大值为________．12．[2023·福建宁德模拟]已知圆O1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆O2：(x＋n)2＋(y＋2)2＝1内切，则m2＋n2的最小值为________．13．[2023·安徽池州模拟]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为________．14．[2023·河北沧州模拟]阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P为圆O：x2＋y2＝4上的动点，M(－4，0)，N(3，1)，则|PM|＋2|PN|的最小值为____________．微专题18　圆的最值问题1．解析：由直线y＝kx＋2－3k＝k(x－3)＋2，令x＝3，解得y＝2，所以直线过定点M(3，2)，又32＋22＋4×2－57<0，故M(3，2)在圆内．由x2＋y2＋4y－57＝0⇒x2＋(y＋2)2＝61，记圆心为C(0，－2)，半径r＝，所以＝＝5，根据圆的性质，当弦AB过M且AB⊥CM时弦长最短，此时弦长|AB|＝2＝2＝12.故选B.答案：B2．解析：由圆C方程可得圆心为C(a，0)，半径r＝a，因为|PA|的最小值为1，所以－a＝1，解得a＝，故圆C：(x－)2＋y2＝.若过点A(0，2)的切线斜率存在，设切线方程为y＝kx＋2，则＝，解得k＝－，所以切线方程为y＝－x＋2，即7x＋24y－48＝0；若过点A(0，2)的切线斜率不存在，由圆C方程可得，圆C过坐标原点(0，0)，所以切线方程为x＝0.综上，过点A且与圆C相切的直线方程为x＝0或7x＋24y－48＝0.故选A.答案：A3．解析：因为直线l：ax－y＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心C(1，0)，r＝2，所以△ABC的面积的最大值为：S＝sin∠ACB＝r2sin∠ACB≤r2＝×4＝2.故选C. 答案：C4．解析：圆化成标准方程为C：(x－1)2＋(y－4)2＝16，圆心C(1，4)，半径为4；设＝k，故A(m，n)在直线l：kx－y＋4k＝0上，又点A(m，n)在圆上，则圆心(1，4)到直线l：kx－y＋4k＝0的距离d＝≤4，即25k2－40k＋16≤16k2＋16，故9k2－40k≤0，解得0≤k≤，则的取值范围为.故选B.答案：B5．解析：过圆心C分别作直线l1，l2的垂线，垂足分别为E，F.∵l1，l2互相垂直，所以四边形AECF为矩形．由圆C：(x－1)2＋y2＝4，可得C(1，0)，又A(0，1)，∴d＋d＝|CE|2＋|CF|2＝|AC|2＝2≥2d1d2，∴d1d2≤1，当且仅当d1＝d2＝1时取等号，即d1d2的最大值为1，故选B.答案：B6．解析：圆x2－2x＋y2＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0)，半径r＝1.∵点(1，0)关于直线x＋y＝0对称的点为(0，－1)，∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1，画图分析可知，当AP与圆C相切，且点P在x轴下方时，∠BAP最大．连接PC，AC，则PC＝1，PC⊥AP，∵AC＝＝2，∴∠OAC＝∠PAC＝30°，∴∠OAP＝60°， 又∵OA＝OB，∴∠BAO＝45°，∴∠BAP＝45°＋60°＝105°.故选C.答案：C7．解析：以AB为直径的圆O的方程为x2＋y2＝m2，圆心为原点，半径为r1＝m.圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝1的圆心为(6，8)，半径为r2＝1.要使圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则圆O与圆C有公共点，所以|r1－r2|≤|OC|≤|r1＋r2|，即|m－1|≤≤|m＋1|，所以，解得9≤m≤11，所以m的最大值为11.故选B.答案：B8．解析：由⊙P：x2＋(y－3)2＝2x，可得(x－1)2＋(y－3)2＝1，可得圆⊙P的圆心坐标为P(1，3)，半径r＝1，由椭圆C：＋＝1，可得a＝2，设椭圆的右焦点为F1，根据椭圆的定义可得|MF|＝2a－|MF1|，所以|MF|－|MN|＝2a－(|MF1|＋|MN|)，又由|MN|min＝|MP|－r，如图所示，当点P，M，N，F1四点共线时，即P，N′，M′，F1共线时，|MF1|＋|MN|取得最小值，最小值为(|MF1|＋|MN|)min＝(|MF1|＋|MP|－r)＝|PF1|－r＝3－1＝2，所以(|MF|－|MN|)max＝2×2－2＝2.故选A.答案：A9．解析：如图：对于A选项，当CN⊥AB时，AB的值最小，|CN|＝＝2，∴|AB|＝2＝2，故选项A正确；对于B选项，取AB的中点P，CN的中点Q(6，－1)，|PQ|＝|CN|＝，∴P的轨迹方程为(x－6)2＋(y＋1)2＝2， ∴|＋|＝2||≤2(||＋)＝2＋2，故选项B错误；对于C选项，设R(7＋3cosα，3sinα)，＝(3，－6)，＝(5＋3cosα，3sinα－4)，·＝15＋9cosα－18sinα＋24＝39－9sin(α－φ)≥39－9，故选项C正确；对于D选项，当CR⊥MN时，△MNR的面积最大，kMN＝－2，∴kCR＝，∴底边MN上的高所在的直线方程为x－2y－7＝0，故选项D正确．故选ACD.答案：ACD10．答案：AC11．解析：设P(x，y)，由题知动点P到点A(1，0)的距离是到点B(1，3)的距离的2倍，所以|PA|＝2|PB|，即＝2，化简整理得：(x－1)2＋(y－4)2＝4，故点P的轨迹是以(1，4)为圆心，2为半径的圆，|AB|＝3，点P到直线AB的距离最大值为半径2，△PAB的面积的最大值为|AB|·r＝3.答案：312．解析：圆O1的圆心为(m，－2)，半径为r1＝3，圆O2的圆心为(－n，－2)，半径为r2＝1，∴两圆的圆心距d＝|m＋n|，∵两圆内切，∴|m＋n|＝2，可得m2＋n2＋2mn＝4⇒4－(m2＋n2)＝2mn≤m2＋n2，∴m2＋n2≥2.当且仅当|m|＝|n|＝1时，取得最小值，m2＋n2的最小值为2.答案：213．解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆心M(1，1)，半径r＝1，可得点M到直线l的距离为d＝＝>1，所以直线l与圆相离，依圆的知识可知，四点A，P，B，M四点共圆，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4××|PA||AM|＝2|PA|＝2，原题意等价于|PM|取到最小值，当直线MP⊥l时，|MP|min＝d＝，此时|PM|·|AB|最小．所以MP的直线方程为：y＝2(x－1)＋1＝2x－1，，即P(0，－1)，则MP的中点为(，0)， 所以以MP为直径的圆的方程为(x－)2＋y2＝()2，即x2＋y2－x－1＝0，两圆的方程相减可得：x＋2y－2＝0，即直线AB的方程为x＋2y－2＝0.答案：x＋2y－2＝014．解析：假设存在这样的点Q(t，0)，使得＝2，则|PM|2＝4|PQ|2，设点P(x，y)，则(x＋4)2＋y2＝4[(x－t)2＋y2]，即x2＋y2＋8x＋16＝4(x2＋y2－2tx＋t2)⇒3x2＋3y2－(8t＋8)x＋4t2－16＝0，该圆对照x2＋y2＝4，所以t＝－1，所以点Q(－1，0)，所以|PM|＋2|PN|＝2|PQ|＋2|PN|＝2(|PQ|＋|PN|)≥2|QN|＝2.答案：2