2024年高考数学一轮复习：第二章 函数与基本初等函数（测试）（解析版）

第二章函数与基本初等函数时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·贵州·高三校联考期中）若，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以为减函数，所以，即.因为,所以为增函数，所以，即.因为,所以为增函数，所以，即，所以．故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）设函数有且只有一个零点的充分条件是（   ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数恒过点，所以函数有且只有一个零点函数没有零点函数的图像与直线无交点，数形结合可得，或即函数有且只有一个零点的充要条件是或,只有选项是函数有且只有一个零点的充分条件, 故选：A3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为且，所以，且，所以，且，且有，，所以，，，所以，，则，又因为且，解得.故选：B.4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（    ）（参考数据：，）A．天B．天C．天D．天【答案】B【解析】把，代入，可得，，当时，，则，两边取对数得，解得．故选：B.5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ）  A．B．C．D． 【答案】B【解析】由图像可知，而D选项中，∴排除D选项；又图像不关于原点对称，∴不是奇函数，若，函数定义域为R，，为奇函数，排除A选项；，是奇函数，∴排除C选项.故选：B．6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即；若函数的值域是，则需当时，．当时，在上单调递增，此时，不合题意；当时，在上单调递减，此时，即，则，所以，显然，解得，又，所以．综上所述，实数的取值范围是．故选：B7．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（    ）A．B．C．D． 【答案】B【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，解得，由，当时，则，所以，同理：当时，，以此类推，可以得到的图象如下：由此可得，当时，，由，得，解得或，又因为对任意的，恒成立，所以，所以实数的最大值为.故选：B.8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（    ）A．B．0C．2D．4【答案】D【解析】因为是定义在R上的奇函数，则，且，又为偶函数，则，即，于是，则，即是以为周期的周期函数，由，得，， ，，所以.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数如下表所示，则下列结论错误的是（    ）x1234A．B．的值域是C．的值域是D．在区间上单调递增【答案】ACD【解析】由表知，则，A错误；的值域为，B正确，C错误；当时，，当时，，因此在上不是单调递增的，D错误．故选：ACD.10．（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为（    ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】根据图像变换法则可求得的解析式，利用其为偶函数求出，又由三角函数的性质可求得，对进行赋值，与选项对比即可得出答案.由，得，因为偶函数，则，所以，即当时，；当时，.故选：AD. 11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ）A．当时，B．，都有C．的解集为D．的单调递增区间是，【答案】BD【解析】对于A，当时，，则，函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误；对于B，当时，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故，当时，，，则；当时，，，则，综上，当时，，因为函数是奇函数，所以，当时，，故B正确；对于C，由B可知，当时，，，则；当时，，，则，因为函数是奇函数，所以当时，；当时，，因为函数是奇函数，所以，综上，不等式，其解集为，故C错误；对于D，由B可知，当时，单调递增；当时，单调递减，因为函数是奇函数，所以当时，单调递减；当时，单调递增，故D正确.故选：BD.12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数函数，则下列结论不正确的是（    ）A．若，则恰有2个零点 B．若，则恰有4个零点C．若恰有3个零点，则的取值范围是D．若恰有2个零点，则的取值范围是【答案】ACD【解析】令，则，解得或.当时，.由，得；由，得，则在上单调递减，在上单调递增，.，当时，取最小值，最小值为，故的大致图象如图所示.由图可知，有且仅有1个实根.当时，恰有1个零点，故A错误；当时，有3个实根，则恰有4个零点，故B正确；由恰有3个零点，得恰有2个实根，则或或，则错误；由恰有2个零点，得恰有1个实根，且，则或或，则D错误.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是______.【答案】【解析】因为函数，所以，即函数为奇函数，且，则函数为增函数， 则不等式等价于，即，解得，所以不等式的解集为.故答案为：14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）偶函数满足，且时，，则_____________.【答案】【解析】因为为偶函数，且时，，所以，解得，所以因为，所以函数的周期为2，所以.故答案为：.15．（2023·全国·高三专题练习）函数；，对有，则的范围为______.【答案】【解析】由题意，有，∴，在中，函数单调递增，，在中，对称轴，函数开口向上，∴在处取最大值，，∴即，解得，故答案为：.16．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称 是该函数的“倍值区间”．若函数存在“倍值区间”，则a的取值范围是______．【答案】【解析】由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”，知存在，使得，设则，且，所以，因此二次函数在上有两个零点，且，则解得，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)画出的图像，并直接写出的值域；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，当时，，当时，，所以，的图象如图： 由图可知，函数的值域是.（2）若不等式恒成立，则，则，即，解得或.18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．(1)已知，则的解析式为__________．(2)已知满足，求的解析式．(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．【解析】（1）方法一（换元法）：令，则，．所以，所以函数的解析式为．方法二（配凑法）：．因为，所以函数的解析式为．（2）将代入，得，因此，解得．（3）令，得，所以，即．19．（12分）（2023·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数 是偶函数.当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.【解析】（1）设，则∴∵为偶函数∴综上，有（2）由（1）作出的图像如图：因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；故实数的取值范围是或.（3）由（1）作出的图像如图：由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没有零点.20．（12分）（2023·上海杨浦·统考一模）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x 万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万元．两者满足关系：(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．【解析】（1）设利润为当时所以，产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元．（2）设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产对于乙企业，每万台产品的销售收入为所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大．（3）假设达到动态平衡时，甲企业产量a万台，乙企业产量b万台．甲企业：    当时利润最大乙企业    当时利润最大．联立，解得时达到动态平衡．此时利润分别为：甲企业840万元，乙企业860万元．21．（12分）（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：； (2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．【解析】（1）证明：∵f(x)是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，∴（2）当时，由题意可设，由，得，∴，∴.（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，故当时，设，则，解得.故当时，.又在上是奇函数，故当时，.综上，则时，.因为时，.所以当时，，所以；当时，，所以，综上所述，.22．（12分）（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）设，满足．(1)求a的值，并讨论函数的奇偶性；(2)若函数在区间严格减，求b的取值范围；(3)在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数有且仅有一个零点q，且存在唯一的递增的无穷正整数列，使得成立．【解析】（1）∵函数（常数）满足．∴，解得：；当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数； （2）由（1）得：则，若在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，当时，，为的最小值，所以；（3）由(2)可知，，所以，当时，恒成立，无零点，当时，单调递增，且，所以函数在有唯一零点，所以即，所以，又因为，所以存在唯一的递增的无穷正整数列，使得成立，且.