2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第07讲 函数与方程（练习）（解析版）

第07讲函数与方程（模拟精练+真题演练）1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（    ）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】求函数在区间上的零点个数，转化为方程在区间上的根的个数.由，得或，解得：或或，所以函数在区间上的零点个数为3.故选：A.2．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得有解，所以，解得或，当时，必有，解得；当时，必有，不等式组无解，综上所述，，∴的取值范围为.故选：A3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A．B．C．D．【答案】D【解析】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，令，则，当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，当时，，且单调递增，在直角坐标系中画出的大致图象如图：要使有两个交点，则，故选：D4．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（    ）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】由，得，又，所以， 所以或解得或.所以函数在的零点个数是2.故选：A.5．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数，则方程的实根个数为（    ）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】，解得或，当时，，解得，，解得（舍）；当时，，解得或（舍），，解得或（舍）；综上，方程的实根为或或，即方程的实根个数为3个，故选：A.6．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出的图象如下图：由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此， 当时，，此时，当时，，此时，当存在，，，使得时，此时，故选：C7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数，当时，方程可化为，解得，则当时，，当时，方程可化为，解得， 则当时，因为根据方程在上恰有5个不同实根，所以这5个不同实根为，则，故选：D.8．（2023·山东·校联考模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以关于对称，所以的根应成对出现，又因为的方程恰有三个不同的实数根且，所以该方程的一个根是，得，所以，由得，当，即时，，①则，②由①②可求出，所以； 当，即时，，③，④由③④得方程组无实数解；综上，方程组的解为，所以．故选：C.9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（    ）A．B．是奇函数C．的图像关于直线对称D．在[0，10]上有6个零点【答案】AB【解析】选项A：对于，令，得，对于，令，得，所以，则，A正确；选项B：由得，由得，所以，是奇函数，B正确；选项C：由，得，所以12是的一个周期，又是奇函数，所以的图像关于点对称，因为不恒为零，所以的图像不关于直线对称，C错误；选项D：由A知，对于，令，得，所以，由，得，，所以，所以在上的零点为0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．故选：AB．10．（多选题）（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（    ）A．B．C．D．【答案】BD【解析】对于A：设，，则，得为奇函数，令 ，方程无解，即函数不存在零点，A不符合；对于B：设，则，得为奇函数，令，得，即函数存在零点，B符合；对于C：设，其为上的偶函数，C不符合；对于D：设，其为上的奇函数，且存在零点，D符合.故选：BD.11．（多选题）（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数，，则下列结论正确的是（    ）A．函数在上单调递增B．存在，使得函数为奇函数C．任意，D．函数有且仅有2个零点【答案】ABC【解析】对于A：，因为，所以，，因此，故，所以在上单调递增，故A正确；对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，B正确；对于C：时，；时，；时，；C正确；对于D：时，，时，，时，，所以只有1个零点，D错误； 故选：ABC12．（多选题）（2023·湖北·校联考三模）已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（    ）A．当时，B．若函数在区间上有两个零点、，则有C．函数在上的最小值为D．【答案】ACD【解析】因为函数和都是偶函数，则，，所以，，即，因此是周期为的周期函数．对于A，当时，，则，当时，则，则，综上所述，当时，，A对；对于B选项，当时，，则，不妨设，因为函数在上单调递减，则，由可得，所以，，即，则，B错；对于C，因为函数在上单调递增，在上单调递减，由于函数是周期为的周期函数，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，而函数在上单调递增，所以，，则，所以，当时，， 所以，函数在上的最小值为，C对；对于D选项，，，，又函数在上单调递减，，D对.故选：ACD.13．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为________．【答案】，，【解析】设幂函数，因为函数的图像过点，所以，解得所以，则函数的零点为方程的根，解得或，所以函数的零点为，，.故答案为：，，.14．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知且，方程有且仅有两个不等根，则的取值范围为______【答案】【解析】由，得.令，则，设函数，得.令，得.在上单调递增；在上单调递减，所以，，又当时，恒成立，所以方程有且仅有两个不等根，即曲线图象与直线有两个交点的充分必要条件是，所以的取值范围是. 故答案为：.15．（2023·广东深圳·统考一模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间____________（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．【答案】（不唯一）【解析】因为都是减函数，所以是减函数，又，即，所以函数在上有零点，且，故答案为（不唯一）16．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是__________．【答案】3【解析】作函数与图象如下：  由图可得， 存在四个不相等的实根，可得，可得，，即，，所以，当且仅当即且等号成立，则的最小值是.故答案为：.1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.2．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如图： 且，解得，，．故选．3．（2014·山东·高考真题）已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】9．（2014·北京·高考真题）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.4．（2018·全国·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.5．（2013·湖南·高考真题）函数的图象与函数的图象的交点个数为A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．6．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.①当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.7．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.8．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．【答案】1【解析】∵，∴∴故答案为：1，