2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第07讲 函数与方程（课件）

第07讲函数与方程导师：稻壳儿高考一轮复习讲练测2024 01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟 01PARTONE考情分析 稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）理解函数的零点与方程的解的联系.（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.（3）了解用二分法求方程的近似解．2022年天津卷第15题，5分2021年天津卷第9题，5分2021年北京卷第15题，5分从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注． 02PARTONE网络构建 03PARTONE知识梳理题型归纳 1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有⇔函数y＝f(x)的图象与有公共点.f(x)＝0零点x轴 (3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的解.2.二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0f(a)f(b)<0一分为二零点 函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.常用结论 【例1】（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（）A．B．0C．2D．4【答案】D【解析】因为是函数的一个零点，则，于是，即，而函数是奇函数，则有，所以.故选：D题型一：求函数的零点或零点所在区间 【对点训练1】（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是函数的一个零点，所以，即，故，则．故选：D．题型一：求函数的零点或零点所在区间 【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以，因为是方程的一个解，所以是方程的解，令，则，当时，恒成立，所以单调递增，又，所以.故选：C.【解题总结】求函数零点的方法：（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型一：求函数的零点或零点所在区间 【例2】（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵和在上是增函数，∴在上是增函数，∴只需即可，即，解得.故选：D.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 【对点训练4】（2023·河北·高三学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵是奇函数，∴，，，易知在上是增函数，∴有唯一零点0，函数的零点在区间内，∴在上有解，，∴．故选：A．【解题总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 【例3】（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为，所以当时，有，解得，所以当时，有两个零点，不符合题意；当时，由，解得或，且有，，当，，在区间上单调递增；当，，在区间上单调递减；当，，在区间上单调递增；又因为，，所以，存在一个正数零点，所以不符合题意；当时，令，解得或，且有，当，，在区间上单调递减；当，，在区间上单调递增；当，，在区间上单调递减；又因为，，所以，存在一个负数零点，要使存在唯一的零点，则满足，解得或，又因为，所以，综上，的取值范围是．故答案为：.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 【对点训练5】（2023·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足，则___________.【答案】【解析】因为，所以，故，即，即.由，得.令，因为增函数+增函数=增函数，所以函数在R上单调递增，而，故，解得，则.故答案为：【解题总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，由可得，所以，关于的方程、共有个不同的实数解.①先讨论方程的解的个数.当时，由，可得，当时，由，可得，当时，由，可得，所以，方程只有两解和；②下面讨论方程的解的个数.当时，由可得，可得或，当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，当时，由可得，因为，由题意可得或或，解得或.因此，实数的取值范围是.故选：B.题型四：嵌套函数的零点问题 【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A．B．或C．或D．或或【答案】A【解析】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两个根，且，不仿设，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.【解题总结】1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型四：嵌套函数的零点问题 【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数关于原点对称的函数为，即，若函数的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则等价为在上有解，即，在上有解，由，则，当时，，此时函数为单调增函数；当时，，此时函数为单调减函数，即当时，取得极小值同时也是最小值，且，即，当时，，即，设，要使得有解，则当过点时，得，过点时，，解得，综上可得．故选C．题型五：函数的对称问题 【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设上一点，，且关于轴对称点坐标为，在上，有解，即有解．令，则，，当时，；当时，，在上单调递减；在上单调递增，，，有解等价于与图象有交点，．故选：B【解题总结】转化为零点问题题型五：函数的对称问题 【例6】（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数至少存在一个零点所以有解即有解令，则因为，且由图象可知，所以所以在上单调递减，令得当时，单调递增当时，单调递减所以且当时所以的取值范围为函数的值域，即故选：A题型六：函数的零点问题之分段分析法模型 【对点训练8】（2023·湖北·高三校联考期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得函数的定义域为．又，∵函数至少存在一个零点，∴方程有解，即有解．令，则，∴当时，单调递增；当时，单调递减．∴．又当时，；当时，．要使方程有解，则需满足，∴实数的取值范围是．故选D．【解题总结】分类讨论数学思想方法题型六：函数的零点问题之分段分析法模型 【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数（）A．1B．C．2D．【答案】D【解析】设，定义域为R,∴，故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，故函数的图象关于直线对称，∵有唯一零点，∴，即．故选：D．题型七：唯一零点求值问题 【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，记，则，令则，所以是偶函数，图象关于轴对称，因为只有唯一的零点，所以零点只能是于是故选：C【解题总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.题型七：唯一零点求值问题 【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.函数的对称轴为直线，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.①当时，即当时，则函数在上无零点，所以，函数在上有个零点，当时，，则，由题意可得，解得，此时不存在；②当时，即当时，函数在上只有一个零点，当时，，则，则函数在上只有个零点，此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；③当时，即当时，函数在上有个零点，则函数在上有个零点，则，解得，此时；④当时，即当时，函数在上有个零点，则函数在上有个零点，则，解得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.题型八：分段函数的零点问题 【对点训练10】（2023·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得：故选：A.【解题总结】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型八：分段函数的零点问题 【例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（）A．1B．C．D．【答案】A【解析】令，则，故当时，，是增函数，当时，，是减函数，可得处取得最小值，，，画出的图象，由可化为，故结合题意可知，有两个不同的根，故，故或，不妨设方程的两个根分别为，，①若，，与相矛盾，故不成立；②若，则方程的两个根，一正一负；不妨设，结合的性质可得，，，，故又，，．故选：A．题型九：零点嵌套问题 【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为（）A．B．C．-1D．1【答案】D【解析】令f（x）=0，分离参数得a=令h（x）=由h′（x）=得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=，则a=，即μ2+（a-1）μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，对于μ=，则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．不妨设μ1＜μ2，则μ1=，=（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．故选D．【解题总结】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.题型九：零点嵌套问题 【例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.先作图象，由图象可得因此为，从而.故选：A题型十：等高线问题 【对点训练12】（2023·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A题型十：等高线问题【解题总结】数形结合数学思想方法 【例11】（2023·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，令，即，可得，迭代关系为，取，则，，故选：D.题型十一：二分法 【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44【答案】C【解析】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，因为，，所以根在内，因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，因为，，所以根在区间，因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，因为，，所以根在区间内，因为满足精确度，因为，所以根在内，所以方程的一个近似解为，故选：C【解题总结】所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.题型十一：二分法 04PARTONE真题感悟 1．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2019·全国·高考真题）函数在的零点个数为（）A．2B．3C．4D．53．（2014·湖南·高考真题）已知函数与图象上存在关于y轴对称的点，则的取值范围是（）A．B．C．D．ABB 感谢观看THANKYOU