2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第03讲 幂函数与二次函数（练习）（解析版）

第03讲幂函数与二次函数（模拟精练+真题演练）1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以图像与的图像关于轴对称，由解析式，作出的图像如图从而可得图像为B选项.故选：B.2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数在区间上单调递增， 所以且在区间上恒成立，所以，解得或.故选：B3．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图象可知：，.故选：C.4．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，解得或，所以实数的取值范围是。故选：D5．（2023·北京海淀·一模）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（） A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知，，所以二次函数的图象不关于轴对称，故排除第一、二个函数图象，当时，该二次函数的对称轴为，故第四个图象也不满足题意，当时，该二次函数的对称轴为，开口向下，故第三个函数图象满足题意.此时函数图象过坐标原点，故，解得，由于，故.故选：B6．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为当时，，当且仅当时，等号成立，所以当时，，当时，的最小值大于或等于6.当时，在上单调递减，则.由得；当时，.由得.综合可得.故选：C． 7．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（    ）A．-1B．0C．1D．2【答案】B【解析】令，，则，∴为奇函数．∵，∴．又∵，∴，∴，．又∵在R上单调递增，∴，即．故选：B．8．（2023·贵州毕节·统考二模）已知，则实数a的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据指数函数在上单调递减得，，根据幂函数在上单调递增知，则，，根据对数函数在上单调递减得，综上.故选：D.9．（多选题）（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（    ） A．B．C．D．【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，在上单调递增.因为,所以，即，，所以．故A正确；令，则，故B错误；令，则由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，即，于是有，故C正确；令，则，所以因为，故D错误．故选：AC.10．（多选题）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ）A．函数为增函数B．函数为偶函数C．若，则D．若，则【答案】BD【解析】将点代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误；，所以为偶函数，所以B正确；当时，，即，所以C错误；当若时， 假设，整理得，化简得，，即证明成立，利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立；即成立，所以D正确.故选：BD.11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（    ）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}【答案】BCD【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是，解得，A错误；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是，解得，B正确；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是，解得，C正确；方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是，解得，，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确.故选：BCD.12．（多选题）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（    ） A．B．C．D．【答案】BD【解析】因为二次函数的值域为，所以，所以，解得，所以，由于，，当且仅当时取等号，所以，对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：令，则，故C错误；对于D：，，故D正确；故选：BD13．（2023·上海闵行·统考一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．【答案】【解析】由二次函数的值域为得： 解得：或（舍去）所以因为所以函数的值域为：故答案为：.14．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数______.①在上恒成立；②是偶函数；③.【答案】（答案不唯一，形如均可）【解析】由②知，函数可以是奇函数，由①知，函数在上可以是减函数，由③结合①②，令，显然，满足①；是偶函数，满足②；，满足③，所以.故答案为：15．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数且的图象经过定点，若幂函数的图象也经过该点，则_______________________．【答案】【解析】因为，所以，设幂函数，因为幂函数的图象经过，所以，因此，故答案为：16．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.【答案】1 【解析】已知方程有两等根，即有两等根，，解得；，得，是函数图象的对称轴.而此函数图象的对称轴是直线，，故，若在上的最大值为，当时，在上是增函数，，当时，在上是增函数，在上是减函数，，综上，的最大值为1.故答案为：1.17．（2023·高三课时练习）已知是一元二次方程的两个实数根.(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求使的值为整数的实数的整数值.【解析】（1）假设存在实数，使得成立，一元二次方程的两个实数根，，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得，，但，不存在实数，使得成立.（2），要使其值是整数，只需要能被整除，故，即， ，.18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且函数的值域为.（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.【解析】（1）由题意知，，即，解得.（2）由在上恒成立，可化为在恒成立；令，由，可得，则在上恒成立.记，函数在上单调递减，所以.所以，解得，所以实数m的取值范围是.（3）方程有三个不同的实数根，可化为有三个不同根.令，则.当时，且递减，当时，且递增，当时，，当时，且递增.设有两个不同的实数根且.原方程有3个不同实数根等价于或.记，则或解得.综上，实数k的取值范围是.19．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在 上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．【解析】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．由m为正整数，则或,又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，而当时，，为奇函数，不符题意，当时，，为偶函数，于是．因为为奇函数，在与上均为严格减函数，所以等价于或或，解得或，即.20．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.(1)求实数的值；(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意且，解得；（2）由（1），的对称轴，因为在上不单调，所以，解得．21．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间上的值域为.(1)求实数的值；(2)若不等式  当上恒成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）函数是开口向上，对称轴为的二次函数，根据的图像有：当时，在上的最小值，不符合，舍；当时，在上的最小值或（舍），，，满足题意；当时，在上的最小值（舍），； （2）由(1)，，不等式为，即，令，则，  在时恒成立，令，是对称轴为开口向上的抛物线，在时单调递减，，，即k的取值范围是；综上，.22．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数在区间上有最大值2和最小值1.(1)求的值；(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【解析】（1）由已知可得.当时，在上为增函数，所以，解得；当时，在上为减函数，所以，解得.由于，所以.（2）由（1）知，所以在上恒成立，即，因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，当且仅当时取等号.所以，即.所以求实数的范围为. （3）方程化为，化为，且.令，则方程化为.作出的函数图象因为方程有三个不同的实数解，所以有两个根，且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.设，记，根据二次函数的图象与性质可得，或，解得.所以实数的取值范围为.1．（2013·浙江·高考真题）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），则（    ）A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0【答案】A 【解析】由f(0)＝f（4），得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f（1），f（4）>f（1），∴f(x)先减后增，于是a>0，故选：A.2．（2016·浙江·高考真题）已知函数，则“b＜0”是“的最小值与f(x)的最小值相等”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意知，最小值为．令，则，当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A．考点：充分必要条件．3．（2015·四川·高考真题）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为A．16B．18C．25D．【答案】B【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..4．（2015·陕西·高考真题）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上 【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．5．（2015·湖北·高考真题）为实数，函数在区间上的最大值记为.当_________时，的值最小.【答案】．【解析】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当时，函数在区间上单调递增，所以；②当时，此时，，而，所以；③当时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最大值；④当时，在区间上递增，当时，取得最大值，则在上递减，上递增，即当时，的值最小．故答案为：．6．（2015·浙江·高考真题）已知函数，记是在区间上的最大值.（1）证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.【解析】（1）由，得对称轴为直线，由，得 ，故在上单调，∴，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为..7．（2015·浙江·高考真题）设函数.（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.【解析】（1）当时，，故其对称轴为.当时，.当时，.当时，.综上，（2）设为方程的解，且，则.由于，因此.当时，，由于和，所以.当时，， 由于和，所以.综上可知，的取值范围是.考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.