切线的有关计算与证明大题训练（学生版）

切线的有关计算与证明大题训练班级：_____________姓名：_____________得分：_____________1(2022秋·湖南长沙·九年级校联考期中)如图，点A，B在圆O上，∠BAO的平分线交圆O于点D，点C在OA的延长线上，且∠CBA=∠D．(1)求证：CB是圆O的切线；(2)若DB∥OA，BD=3，求CB的长．2(2020秋·陕西渭南·九年级校考期中)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．(1)求证：直线DH是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求AD，AC的长．1 3(2022秋·湖北武汉·九年级校考期中)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．(1)求证：AB=AC．(2)若BD=9，DE=1，求CD的长．4(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB交CA延长线于点E，连接AD、BD．(1)△ABD的面积是多少；(2)求证：DE是⊙O的切线．2 5(2022秋·陕西西安·九年级校考期中)如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．6(2021秋·陕西渭南·九年级校考期中)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交AB于点D，E是AC上一点，连接DE并延长交⊙O于点F，连接AF，且∠AFD=∠B．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)当AE=AD时，若∠FAC=25°，求∠B的大小．3 7(2020秋·福建龙岩·九年级校考期中)如图：AB为⊙O的直径，AD⊥DC．AC平分∠DAB．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若∠BAC=30°，AC=3cm，求AB长．8(2020秋·福建龙岩·九年级校考期中)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，延长ED与AB交于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若△ABC为等边三角形，AE=3，求DF的长．4 9(2022秋·福建龙岩·九年级校考期中)已知：⊙O直径为4，点C是⊙O直径AB延长线上的一点，且点B是线段OC的中点，点D在⊙O上，连接DC．(1)如图①，若线段DC所在的直线与⊙O相切，求线段DC的长；(2)如图②，若线段DC与⊙O还有一个公共点E，且点E为DC的中点，连接OD，AE交于点F．①判断OD与AE的位置关系，并说明理由；②求线段DC的长度．10(2022秋·山东济宁·九年级统考期中)如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为B，OC平行于弦AD．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)直线AB与CD交于点F，且DF=4，AF=2，求⊙O的半径．5 11(2023春·山东烟台·九年级统考期中)如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，且∠DAF=∠B．(1)根据题干信息，请用尺规作图作出点F(保留作图痕迹，不写作法)；(2)求证：AF是⊙O的切线；(3)若⊙O的半径为5，AD=ED，且CD=8，求AE的长12(2023春·江苏无锡·九年级统考期中)如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO=6．(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长．6 13(2023春·河北衡水·九年级校考期中)我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”，如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．[概念理解](1)若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．(2)如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证：AB、CD互为“十字弦”；[问题解决](3)如图3，在⊙O中，半径为13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，CH=5DH，则CD的长度为．7 14(2022春·江西九江·九年级校考期中)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为BC延长线上的一点，使得∠PAC=∠B．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)F为⊙O上一点，且OC经过AF的中点E．①求证：∠B=∠CAE；②若AE=2CE，AC=25，求⊙O的半径长．15(2023春·江西九江·九年级统考期中)如图，在▱ABCD中，A、B，C三点在⊙O上，点O在AD边上，点E在⊙O外，OE⊥BC，垂足为F．(1)若∠A=65°，∠ECB=40°，求证：EC是⊙O的切线；(2)若OF=4，OD=1，求AB的长．8 16(2022秋·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AF=8，CF=1，求⊙O的半径．17(2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中)如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上CE=CA，AB，CE的延长线交于点F．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若⊙O的半径为3，EF=4，求CE的长．9 18(2022秋·河南驻马店·九年级统考期中)综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E(不与A，C重合)，连接AE，CE，则∠AEC+∠D=180°(依据1)∵∠B=∠D∴∠AEC+∠B=180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆)∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上(依据2)∴点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：(1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：；依据2：。(2)如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=42°，则∠4的度数为．拓展探究：(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上(不与BC的中点重合)，连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．求证：A，D，B，E四点共圆；10 19(2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AC的中点，BD交AC于点E，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AF=2，FD=4，求△DFB的面积．11 20(2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．(1)求证：PB是⊙O的切线：(2)求⊙O的半径．21(2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中)已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．(1)如图1，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；(2)如图2，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH(切点为H)，求证：GF=GH．12 22(2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中)如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆．(1)点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上?请说明理由．(2)若AB=8，CF=6，求△ABC外接圆的半径长．23(2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD延长，交BE点E．(1)求证：AB=BE；(2)如果PD=23，∠ABC=60°，求BC的长．13 24(2022秋·山西朔州·九年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，若BC=8，EH=4，求⊙O的半径．25(2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，已知等腰△OAB，∠AOB=120°，以点O为圆心作⊙O交边OA，OB于C，D两点，点C恰好为OA的中点，延长AO交⊙O于点E，连DE．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)连接AD，若OC=4，求AD的长．14 26(2023秋·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习)如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．(1)求证：△ACD是等边三角形；(2)若点F是AC的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．27(2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆外，AC，BC与半圆交于D点和E点，连接DE．(1)若CE=DE，求证：点E为BC中点；(2)在(1)的条件下，连接BD，若AB=10，BC=210，求BD的长．15 28(2022秋·天津河西·九年级统考期末)已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=82°，C为⊙O上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB=AD，求∠EAC的大小．29(2023·江西吉安·校考模拟预测)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，D是直径AB下方一点，且AD=BD，连接CD交AB于点E．(1)如图1，若∠A=30°，则∠CEB=；(2)如图2，P是AB延长线上一点，连接PC，且PC=PE．①求证：PC与⊙O相切；②若⊙O的半径为1，CE=CB，求PB的长．16 30(2022秋·湖南长沙·九年级校联考期中)如图：已知等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，B、D在⊙O上，延长BC交⊙O于点F，过B点作BE⊥BC，交⊙O于点E，连接DE，连接EF，I是△FBE的内心．(1)如图1，求证：∠DEF=∠DFE；(2)如图2，连接BI，延长交⊙O于点A，求证：AI=AF；(3)如图3，过I点作EF的垂线，垂足为M，当时CD=2时，求FM-EM的长度．17