2024中考数学第一轮专题复习： 圆的有关计算与证明（学生版）

圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，则扇形OAB(阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB=4,BC=5，则阴影部分的面积是()4141A.π-20B.π-20C.20πD.20423.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m，则AC的长为()A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()1212122A.πcmB.πcmC.πcmD.πcm432·1· 15.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2⋯2是由多段90°的圆心角的圆心为C，半径为CB1；C1D1的圆心为D，半径为DC1⋯,DA1、A1B1、B1C1、�C1D1⋯的圆心依次为A、B、C、D循环，则A2023B2023的长是()4045π2023πA.B.2023πC.D.2022π246.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是()A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-47.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB是半圆O的直径，点C,D在半圆上，CD=DB，连接OC,CA,OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1,△OBE的面积为S2，S12若=，则tan∠ACO的值为()S232273A.2B.C.D.352二、填空题8.(2023·重庆·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，连接AE，DE，以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)·2· 9.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为AB上的一点，将AB沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)10.(2023·重庆·统考中考真题)如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB=4,AD=3，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)211.(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm，面积为120πcm的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm．12.(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．13.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟2囱帽的侧面积为cm．(结果保留π)14.(2023·天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．·3· (1)线段AB的长为；(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)．15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足为H,AH=3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB,AC,AD分别交于点E,F,G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1-r2=．(结果保留根号)16.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作2一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm．三、解答题17.(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．·4· (1)求证：∠OCA=∠ADC；1(2)若AD=2,tanB=，求OC的长．318.(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE．(1)求证：AC=BC；(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的长．19.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD,DC,CP．(1)求证：∠ADC-∠BAC=90°；(请用两种证法解答)(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半径为3，CP=4，求AP的长．20.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．·5· (1)求∠BED的度数；(2)如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G．若AD=235,DE=4，求DG的长．21.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F．1(1)若ED=，求DF的长．3(2)求证：AE⋅CF=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．22.(2023·河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．(1)求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．·6· 探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小．23.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．(1)求证：∠AOB=2∠BOC；(2)若AB=4,BC=5，求⊙O的半径．24.(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD=45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G．且满足∠CFE=45°．(1)求证：直线l⊥直线CE；·7· (2)若AB=DG；①求证：△ABC≌△GDE；3②若R=1，CE=，求四边形ABCD的周长．225.(2023·天津·统考中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=5,BC=25，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．(1)求证：△DBE∽△ABC；(2)若AF=2，求ED的长．27.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．·8· (1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若BE=2，DE=4，∠P=30°，求AP的长．28.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．(1)求证：AF=DF．55(2)若AF=,sin∠ABD=，求⊙O的半径．2529.(2023·湖南怀化·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC=PA．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD⋅OC=PA⋅OD；(3)若∠CAB=30°，OD=8，求阴影部分的面积．30.(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E．AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．(1)求证：PE是⊙O的切线；1(2)若sin∠P=,BP=4，求CD的长．331.(2023·安徽·统考中考真题)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．·9· (1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD；(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BC的长．32.(2023·吉林长春·统考中考真题)【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角∠APB的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上(点P不与点A、C重合)，连结PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°．∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE．∵△ABC是等边三角形．∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS)请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在ACPB的两侧，连结PA、PB、PC．若PB=22PA，则的值为．PC33.(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AB=210，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD=6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．·10· (1)求证：BC平分∠DCF；(2)G为AD上一点，连接CG交AB于点H，若CH=3GH，求BH的长．34.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，MN为⊙O的直径，且MN=15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H．点A在MC上，点B在NC上，∠OND+∠AHM=90°．(1)求证：MH⋅CH=AH⋅BH．(2)求证：AC=BC．(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN=3，求NG的长．535.(2023·广东·统考中考真题)综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′．(1)求证：AA′⊥CA′；(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′=3CA′；②如图3，⊙O与CA′相切，AD=1，求⊙O的面积．36.(2023·山东·统考中考真题)如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点，弦DE⊥·11· AB，垂足为点F．(1)求证：BC=DE；(2)P是AE上一点，AC=6,BF=2，求tan∠BPC；(3)在(2)的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．37.(2023·山东·统考中考真题)如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF．(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．38.(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC,AD,BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G(不与点O,B重合)，连接OF．(1)若BE=1，求GE的长．2(2)求证：BC=BG⋅BO．(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．39.(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O·12· 于点C，AB=4，PB=3．(1)填空：∠PBA的度数是，PA的长为；(2)求△ABC的面积；(3)如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是AC上一点，AE=5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交EF于点F,G，求的值．FG40.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D．(1)求证：S△ABF:S△ACF=AB:AC；(2)求证：AB:AC=BF:CF；2(3)求证：AF=AB⋅AC-BF⋅CF；(4)猜想：线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系．(直接写出，不需证明．)41.(2023·浙江台州·统考中考真题)我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点(不与点A重合，且在直径AB的同侧)，分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．�(1)如图1，当AB=6，BP的长为π时，求BC的长．AQ3BC(2)如图2，当=，BP=PQ时，求的值．AB4CD·13· 6PQ(3)如图3，当sin∠BAQ=，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．4BP42.(2023·浙江温州·统考中考真题)如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半3圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=，AC=1．如图2，连接AF，P2为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH=x，MN=y．(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH<PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值．15(3)延长PN交半圆O于点Q，当NQ=x-3时，求MN的长．443.(2023·新疆·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C，F是⊙O上的点，且∠CBF=∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．(1)求证：CE是⊙O的切线；3(2)若tanE=，BE=4，求FH的长．444.(2023·云南·统考中考真题)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA⋅AC=DC⋅AB．设△ABE的面积为S1,△ACD的面积为S2．(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若BC=BE,S2=mS1，求常数m的值．45.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，连接BE,CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连接BG,CG，若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC．·14· (1)求∠BGC的度数．(2)①求证：AF=BC．②若AG=DF，求tan∠GBC的值，(3)如图2，当点O恰好在BG上且OG=1时，求AC的长．46.(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD=CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N，且∠ADM=∠DAC．(1)求证：MN是⊙O的切线；2(2)求证：AD=AB⋅CN；3(3)当AB=6，sin∠DCA=时，求AM的长．347.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．(1)求证：DE是⊙O的切线．4(2)若sinC=,DE=5，求AD的长．52(3)求证：2DE=CD⋅OE．48.(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD=AB，且CD⊥AB于点H(其中点H在圆内，且AH>BH，CH>DH)．·15· (1)在图1中用尺规作出弦CD与点H(不写作法，保留作图痕迹)．(2)连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度；(3)如图2，延长AH至点F，使得HF=AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点1M为AP的中点，连结HM，若PD=AD．求证：MH⊥CP．249.(2023·浙江·统考中考真题)如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C,D是AB的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．(1)求证：AD∥HC；OG(2)若=2，求tan∠FAG的值；GC(3)连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为55①若OF=，求BC的长；2②若AH=10，求△ANB的周长；③若HF⋅AB=88，求△BHC的面积．50.(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，BE=EF，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：EM=EN；·16· (3)如果N是CM的中点，且AB=95，求EN的长．·17·