全国通用版2022年中考数学复习第六单元圆滚动小专题七与圆有关的计算与证明练习

滚动小专题(七)　与圆有关的计算与证明类型1　与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，OD为半径，∴＝.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD平分∠ABC.(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝30°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴在Rt△ACB中，BC＝AB.又∵OD＝AB，∴BC＝OD.2．(2022·温州)如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．(1)求证：AE＝AB；(2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长．解：(1)证明：由题意，得△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD.∴AB＝AC，∴AE＝AB.(2)过点A作AH⊥BE于点H.∵AB＝AE，BE＝2.7\n∴BH＝EH＝1.∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝，∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝.∴＝.∴AC＝AB＝3.∵∠BAC＝90°，AC＝AB，∴BC＝3.3．(2022·包头)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CD，CE，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB＝∠ABC，连接BF.(1)求证：∠BCD＝∠BEC；(2)若BC＝2，BD＝1，求CE的长及sin∠ABF的值．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°.∵DE是⊙A的直径，∴∠DCE＝90°.∴∠BEC＋∠CDE＝90°.∵AD＝AC，∴∠CDE＝∠ACD.∴∠BCD＝∠BEC.(2)∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BDC∽△BCE.∴＝＝.∵BC＝2，BD＝1，∴BE＝4，EC＝2CD.∴DE＝BE－BD＝3.在Rt△DCE中，DE2＝CD2＋CE2＝9.∴CD＝.∴CE＝.过点F作FM⊥AB于点M，∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°，∴△AFM∽△BAC.∴＝.∵DE＝3，∴AD＝AF＝AC＝，AB＝.∴FM＝.过点F作FN⊥BC于点N，∴∠FNC＝90°.∵∠FAB＝∠ABC，∴FA∥BC.∴∠FAC＝∠ACB＝90°.∴四边形FNCA是矩形．7\n∴FN＝AC＝，NC＝AF＝，∴BN＝.在Rt△FBN中，BF＝＝，∴在Rt△FBM中，sin∠ABF＝＝.类型2　与圆的切线有关的计算与证明4．(2022·滨州)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.求证：(1)直线DC是⊙O的切线；(2)AC2＝2AD·AO.证明：(1)连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC.∵OC为⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．(2)连接BC.∵AB为⊙O的直径，∴AB＝2AO，∠ACB＝90°.∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB.∴＝，即AC2＝AB·AD.∴AC2＝2AD·AO.5．(2022·金华)如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数；7\n②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．解：(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.②过点O作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝2，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2.∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2.∴EF＝GE－FG＝2－2.6．(2022·苏州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E，延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC.(1)求证：CD＝CE；(2)若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．证明：(1)连接AC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°.∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.又∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAO.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°.在△CDA和△CEA中，7\n∴△CDA≌△CEA(AAS)．∴CD＝CE.(2)证法一：连接BC.∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA.∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG.∴∠ECA＝∠ECG.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG.又∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°.∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°.∴∠AOC＝2∠F＝45°.∴△CEO是等腰直角三角形．证法二：设∠F＝x°，则∠AOC＝2∠F＝2x°.∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x°.∴∠CGA＝∠OAF＋∠F＝3x°.∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG.∴∠EAC＝∠CGA.∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x°.又∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°，∴3x°＋3x°＋2x°＝180°.∴x＝22.5.∴∠AOC＝2x°＝45°.∴△CEO是等腰直角三角形．7．(2022·孝感)如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.(1)由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是＋；(2)求证：DE是⊙O的切线；(3)求线段DE的长．解：(2)证明：连接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴AD＝DB.又∵AB为直径，∴AD⊥DB，∴∠ADB＝90°.7\n∴OD⊥AB.∵DE∥AB，∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(3)∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8.过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF＝OD＝FD＝5，∠BAF＝90°.∵∠EAF＋∠CAB＝90°，∠ABC＋∠CAB＝90°，∴∠EAF＝∠ABC.∴tan∠EAF＝tan∠ABC.∴＝，即＝.∴EF＝.∴DE＝DF＋EF＝5＋＝.8．(2022·株洲)如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC，AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE.(1)求证：直线CG为⊙O的切线；(2)若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH.①求证：△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最大值．解：(1)证明：∵C，D关于AB对称，∴∠GAF＝∠CAF.∵∠GAF＝∠GCE，∴∠GCE＝∠CAF.∵OA＝OC，∴∠CAF＝∠ACO.∴∠GCE＝∠ACO.∵AB为直径，∴∠ACO＋∠OCB＝90°.∴∠GCE＋∠OCB＝90°，即∠OCG＝90°.又∵OC为⊙O的半径，∴CG为⊙O的切线．(2)①证明：∵OC＝OB，CH＝BC，∴∠OCB＝∠OBC，∠CHB＝∠CBH，∠CBH＝∠OBC＝∠OCB＝∠CHB.∴△CBH∽△OBC.②∵△CBH∽△OBC，∴＝.∴BH＝.7\n设BC＝x，则CH＝x，BH＝.∴OH＋HC＝－x2＋x＋4＝－(x－2)2＋5.∴当x＝2时，OH＋HC的最大值为5.9．(2022·娄底)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E.(1)当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；(2)求证：BC2－CE2＝CE·DE；(3)已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，即∠PBD＋∠ABD＝90°.∴∠DAB＝∠PBD.(2)证明：∵∠A＝∠C，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE.∴＝，即DE·CE＝AE·BE.连接OC.设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，则DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r2－OE2.∵＝，∴∠AOC＝∠BOC＝90°.∴CE2＝OE2＋OC2＝OE2＋r2，BC2＝BO2＋CO2＝2r2，则BC2－CE2＝2r2－(OE2＋r2)＝r2－OE2.∴BC2－CE2＝DE·CE.(3)∵OA＝4，∴OB＝OC＝OA＝4.∴BC＝＝4.又∵E是半径OA的中点，∴AE＝OE＝2.则CE＝＝＝2.∵BC2－CE2＝DE·CE，∴(4)2－(2)2＝DE·2.∴DE＝.7