全国通用版2022年中考数学复习第五单元四边形滚动小专题六与四边形有关的计算与证明练习

滚动小专题(六)　与四边形有关的计算与证明1．(2022·大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于点F.(1)证明：四边形CDEF是平行四边形；(2)若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线．∴ED∥FC.BC＝2DE.又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．(2)∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF.∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC.∴四边形CDEF的周长＝AB＋BC.∵四边形CDEF的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC＝25－AB.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52.解得AB＝13.∴线段AB的长为13cm.2．如图，在▱ABCD中，直线EF绕对角线AC的中点O旋转，分别交BC，AD于E，F两点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AC＝2，∠CAF＝30°，则当AF＝时，四边形AECF是矩形．证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE.∵点O是▱ABCD对角线的交点，∴OA＝OC.在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE(ASA)．6\n∴AF＝CE.∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形.3．(2022·扬州)如图，在▱ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF＝∠EBF.∵∠AFD＝∠BFE，AF＝BF，∴△AFD≌△BFE(ASA)．∴AD＝EB.∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形．∵BD＝AD，∴四边形AEBD是菱形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝10，AB∥CD.∴∠ABE＝∠DCB.∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3.∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF.∴tan∠ABE＝＝3.∵DC＝，BF＝，∴EF＝.∴DE＝3.∴S菱形AEBD＝·AB·DE＝××3＝15.4．(2022·上海)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．6\n证明：(1)在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE(SSS)．∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC.∴∠BDC＝∠DBC.∴CD＝BC＝AD.又∵AD∥BC.∴四边形ABCD是菱形．(2)∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.设∠CBE＝2x°，∠BCE＝∠BEC＝3x°，则2x＋3x＋3x＝180，解得x＝22.5.∴∠CBD＝∠CDB＝45°.∴∠BCD＝90°.∴四边形ABCD是正方形．5．(2022·荆州)如图，对折矩形ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落在MN上的点F处，折痕AP交MN于点E；延长PF交AB于点G.求证：(1)△AFG≌△AFP；(2)△APG为等边三角形．证明：(1)由折叠可知M，N分别为AD，BC的中点．∵DC∥MN∥AB，∴F为PG的中点，即PF＝FG.又∵∠PFA＝∠D＝90°，∴∠AFP＝∠AFG＝90°.在△AFG和△AFP中，∴△AFG≌△AFP(SAS)．(2)由题意知，△APD≌△APF≌△AGF.∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，AP＝AG.∴∠PAG＝60°.∴△APG为等边三角形．6\n6．(2022·吉林)如图1，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F.(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；(2)当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为菱形；(3)延长图1中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图2.若AD＝AG，试判断四边形AEGF的形状，并说明理由．　　图1　　　　　　　　　　图2解：(1)证明：∵DE∥AC，∴∠ADE＋∠DEF＝180°，∠A＋∠AFE＝180°.又∵∠DEF＝∠A，∴∠ADE＝∠AFE.∴四边形ADEF为平行四边形．(3)四边形AEGF为矩形．证明如下：∵四边形ADEF为平行四边形；∴DEAF.又∵DE＝EG，∴EGAF.∴四边形AEGF为平行四边形．又∵AD＝AG，DE＝EG，∴∠AEG＝90°.∴平行四边形AEGF为矩形．7．(2022·北京)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.(1)求证：GF＝GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．解：(1)证明：连接DF.∵点A关于直线DE的对称点为F，∴AE＝FE，DA＝DF.在△DAE和△DFE中，∴△DAE≌△DFE(SSS)．∴∠DFE＝∠A＝90°.∵DA＝DC，∴DC＝DF.6\n在Rt△DCG和Rt△DFG中，∴Rt△DCG≌Rt△DFG(HL)．∴GF＝GC.(2)BH＝AE.证明：过点H作HI⊥AB于点I.由(1)可知，∠EDF＋∠FDG＝45°.∵EH⊥DE，∴△DEH为等腰直角三角形．∴∠DEA＋∠HEI＝90°.又∵∠DEA＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠IEH.在△DAE和△EIH中，∴△DAE≌△EIH(AAS)．∴AE＝IH，AD＝EI.∴AE＋BE＝BE＋BI.∴BI＝AE.∴AE＝IH＝BI，△BHI是等腰直角三角形．∴BH＝BI＝AE.8．(2022·临沂)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图1，当点E在BD上时，求证：DF＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．　　图1　　　　　　　　　　　图2解：(1)证明：由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE.又∵∠ABE＋∠EDA＝∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠EDA＝∠DEF.又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE(SAS)．∴DF＝EA.又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF.(2)当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：6\n①当点G在AD的右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于点M.∵GC＝GB，∴GH⊥BC.∴四边形ABHM是矩形．∴AM＝BH＝AD＝AG.∴GM垂直平分AD.∴GD＝GA＝DA.∴△ADG是等边三角形．∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°.②当点G在AD的左侧时，同理可得，△ADG是等边三角形．∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°－60°＝300°.6