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【火线100天】2022中考数学 滚动小专题八 圆的有关计算与证明

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圆的有关计算与证明圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一,占有较大的比重,通常结合三角形、四边形等知识综合考查,以计算题、证明题的形式出现,解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质,特别是切线的性质和判定,同时要注意已知条件之间的相互联系.例(2022·江西)如图1,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是⊙O上半部分的一个动点,连接OP,CP.(1)求△OPC的最大面积;(2)求∠OCP的最大度数;(3)如图2,延长PO交⊙O于点D,连接DB.当CP=DB时,求证:CP是⊙O的切线.【思路点拨】(1)当OP⊥OC时△OPC的面积最大,利用已知条件即可求出△OPC的最大面积;(2)当PC与⊙O相切时∠OCP的度数最大,利用三角函数可求出∠OCP的最大度数;(3)连接AP,BP,由圆的有关知识可得△OPC≌△PBD,从而得出∠OPC=∠PBD,继而可证得结论【解答】(1)∵△OPC的边长OC的是定值,∴当OP⊥OC时,OC边上的高为最大值,此时△OPC的面积最大.∵AB=4,BC=2,∴OP=OB=2,OC=OB+BC=4.∴S△OPC=OC·OP=×4×2=4,即△OPC的最大面积为4.(2)当PC与⊙O相切,即OP⊥PC时,∠OCP的度数最大.在Rt△OPC中,∠OPC=90°,OC=4,OP=2,∴sin∠OCP==,∴∠OCP=30°.(3)证明:如图2,连接AP,BP.∵∠AOP=∠DOB,∴AP=DB.∵CP=DB,∴AP=PC,∴∠A=∠C.∵∠A=∠D,∴∠C=∠D.∵OC=PD=4,PC=BD,∴△OPC≌△PBD,∴∠OPC=∠PBD.∵PD是⊙O的直径,∴∠PBD=90°,∴∠OPC=90°,∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径,∴CP是⊙O的切线.方法归纳:与圆有关的计算和证明通常都与切线有关,切线的性质和判定的运用是解决这类题目的关键.1.(2022·黄石)如图,A、B是圆O上的两点,∠AOB=120°,C是AB弧的中点.6\n(1)求证:AB平分∠OAC;(2)延长OA至P使得OA=AP,连接PC,若圆O的半径R=1,求PC的长.2.(2022·昆明)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)3.(2022·东营)如图,AB是⊙O的直径,OD垂直于弦AC于点E,且交⊙O于点D,F是BA延长线上一点,若∠CDB=∠BFD.(1)求证:FD是⊙O的一条切线;(2)若AB=10,AC=8,求DF的长.4.(2022·丽水)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,过点B作⊙6\nO的切线,交AC的延长线于点F.(1)求证:BE=CE;(2)求∠CBF的度数;(3)若AB=6,求的长.5.(2022·临沂)如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.(1)证明:DE为⊙O的切线;(2)连接OE,若BC=4,求△OEC的面积.6.(2022·泸州)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.6\n(1)求证:CD2=CA·CB;(2)求证:CD是⊙O的切线;(3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=.求BE的长.参考答案1.(1)证明:连接OC.∵∠AOB=120°,C是AB弧的中点,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC,∴△ACO是等边三角形.∴OA=AC.同理OB=BC.∴OA=AC=BC=OB.∴四边形AOBC是菱形.∴AB平分∠OAC.(2)∵C为弧AB中点,∠AOB=120°,∴∠AOC=60°.∵OA=OC,∴△OAC是等边三角形.∵OA=AC,∴AP=AC.∴∠APC=30°.∴△OPC是直角三角形.∴PC=OC=.2.(1)证明:∵OD=OB,∴∠1=∠ODB,∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1.又∵∠A=2∠1,∴∠DOC=∠A.∵∠A+∠C=90°,∴∠DOC+∠C=90°,∴OD⊥DC.6\n∴AC是⊙O的切线.(2)∵∠A=60°,∴∠C=30°,∠DOC=60°.在Rt△DOC中,OD=2,∴CD=OD=2.∴阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE=×2×2-=2-.3.(1)证明:∵∠CDB=∠CAB,∠CDB=∠BFD,∴∠CAB=∠BFD,∴FD∥AC.∵∠AEO=90°,∴∠FDO=90°,∴FD是⊙O的一条切线.(2)∵AB=10,AC=8,DO⊥AC,∴AE=EC=4,AO=5,∴EO=3.∵AE∥FD,∴△AEO∽△FDO.∴=.∴=,解得FD=.4.(1)证明:连接AE,∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,即AE⊥BC.又∵AB=AC,∴BE=CE.(2)∵∠BAC=54°,AB=AC,∴∠ABC=63°.又∵BF是⊙O的切线,∴∠ABF=90°,∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=27°.(3)连接OD.∵∠BAC=54°,∴∠BOD=108°,∴∠AOD=72°.又∵AB=6,∴OA=3.∴==.5.(1)证明:连接OD,CD.∵BC为⊙O直径,∴∠BDC=90°,即CD⊥AB.∵△ABC是等腰三角形,∴AD=BD.∵OB=OC,∴OD是△ABC的中位线.∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∵D点在⊙O上,∴DE为⊙O的切线.(2)∵∠A=∠B=30°,BC=4,6\n∴CD=BC=2,BD=BC·cos30°=2.∴AD=BD=2,AB=2BD=4,∴S△ABC=AB·CD=×4×2=4.∵DE⊥AC,∴DE=AD=×2=,AE=AD·cos30°=3.∴S△ODE=OD·DE=×2×=,S△ADE=AE·DE=××3=.∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=14×4=,∴S△OEC=S△ABC-S△BOD-S△ODE-S△ADE=4---=.6.(1)证明:∵∠CDA=∠CBD,∠C=∠C,∴△CAD∽△CDB,∴=.∴CD2=CA·CB.(2)证明:连接OD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵∠OBD=∠CDA,∴∠CDA=∠ODB.∴∠ODC=∠ADB=90°,∴CD是⊙O的切线.(3)∵tan∠CDA=,∴tan∠CBD=.在Rt△ABD中,tan∠CBD==,由(1)得△CAD∽△CDB,∴==.∴CD=8.设BE=x,则DE=x,由勾股定理得x2+122=(x+8)2.解得x=5,即BE=5.6

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发布时间:2022-08-25 21:08:57 页数:6
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文章作者:U-336598

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