2024中考数学第一轮专题复习： 圆的有关性质（解析版）

圆的有关性质(46题)一、单选题1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA=41°，则∠ABC的度数是()A.41°B.45°C.49°D.59°【答案】C【分析】由CD是⊙O的直径，得出∠DBC=90°，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出∠ABD=∠ACD=41°，进而即可求解．【详解】解：∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∵AD=AD，∴∠ABD=∠ACD=41°，∴∠ABC=∠DBC-∠DBA=90°-41°=49°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23，则OC=()A.1B.2C.23D.4【答案】B【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=60°，由OA⊥BC得，∠COE=∠BOE=60°，CE=BE=3，CE在Rt△OCE中，由OC=，计算即可得到答案．sin60°【详解】解：连接OB，如图所示，·1· ，∵∠ADB=30°，∴∠AOB=2∠ADB=2×30°=60°，∵OA⊥BC，11∴∠COE=∠BOE=60°，CE=BE=BC=×23=3，22在Rt△OCE中，∠COE=60°，CE=3，CE3∴OC===2，sin60°32故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB．“会圆术”给出MN2AB的弧长l的近似值计算公式：l=AB+．当OA=4，∠AOB=60°时，则l的值为()OAA.11-23B.11-43C.8-23D.8-43【答案】B【分析】连接ON,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．【详解】连接ON，根据题意，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，·2· 得ON⊥AB，∴点M，N，O三点共线，∵OA=4，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4,∠OAN=60°，ON=OAsin60°=23，∴OA=AB=4,∠OAN=60°，ON=OAsin60°=2324-232MN∴l=AB+=4+=11-43．OA4故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．4(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，已知点A、B、C在⊙O上，C为AB的中点．若∠BAC=35°，则∠AOB等于()A.140°B.120°C.110°D.70°【答案】A【分析】连接OC，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接OC，如图所示：∵点A、B、C在⊙O上，C为AB的中点，∴BC=AC，1∴∠BOC=∠AOC=∠AOB，2∵∠BAC=35°，根据圆周角定理可知∠BOC=2∠BAC=70°，∴∠AOB=2∠BOC=140°，故选：A．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．5(2023·安徽·统考中考真题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC,OD，则∠BAE-∠COD=()·3· A.60°B.54°C.48°D.36°【答案】D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．360°360°【详解】∵∠BAE=180°-,∠COD=，55360°360°∴∠BAE-∠COD=180°--=36°，55故选：D．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．6(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是()A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形【答案】B【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B．【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．7(2023·云南·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66°，则∠A=()·4· A.66°B.33°C.24°D.30°【答案】B【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵BC=BC，∠BOC=66°，1∴∠A=∠BOC=33°，2故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，则扇形OAB(阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB=60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB=AB，∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，602∴S=π×6=6π．360故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．9(2023·浙江温州·统考中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD=120°，AD=3，则∠CAO的度数与BC的长分别为()A.10°，1B.10°，2C.15°，1D.15°，2【答案】C【分析】过点O作OE⊥AD于点E，由题意易得∠CAD=∠ADB=45°=∠CBD=∠BCA，然后可得113∠OAD=∠ODA=30°，∠ABD=∠ACD=∠AOD=60°，AE=AD=，进而可得CD=2OC22212=2,CF=CD=，最后问题可求解．22【详解】解：过点O作OE⊥AD于点E，如图所示：·5· ∵BC∥AD，∴∠CBD=∠ADB，∵∠CBD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADB，∵AC⊥BD，∴∠AFD=90°，∴∠CAD=∠ADB=45°=∠CBD=∠BCA，∵∠AOD=120°，OA=OD，AD=3，113∴∠OAD=∠ODA=30°，∠ABD=∠ACD=∠AOD=60°，AE=AD=，222AE∴∠CAO=∠CAD-∠OAD=15°，OA==1=OC=OD，∠BCD=∠BCA+∠ACD=105°，cos30°∴∠COD=2∠CAD=90°,∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=30°，12∴CD=2OC=2,CF=CD=，22∴BC=2CF=1；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．10(2023·浙江台州·统考中考真题)如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为()．A.2B.2C.4+22D.4-22【答案】D【分析】设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，由题意可得，EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．【详解】解：设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，过点O作OF⊥AB，如下图：则EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，1由题意可得：OE=AB=4，AF=OF=AB=2222由勾股定理可得：OA=OF+AF=22，·6· ∴AE=4-22，故选：D.【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．11(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A=48°，∠APD=80°，则∠B的度数为()A.32°B.42°C.48°D.52°【答案】A【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B的度数．【详解】解：∵∠A=∠D，∠A=48°，∴∠D=48°，∵∠APD=80°，∠APD=∠B+∠D，∴∠B=∠APD-∠D=80°-48°=32°，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠D的度数．12(2023·四川内江·统考中考真题)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AF上，Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为()A.30°B.36°C.45°D.60°【答案】C【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．【详解】如图，连接OC,OD,OQ,OE，∵正六边形ABCDEF，Q是DE的中点，360°1∴∠COD=∠DOE==60°，∠DOQ=∠EOQ=∠DOE=30°，62∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°，1∴∠CPQ=∠COQ=45°，2故选：C．·7· 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．13(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE，BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=3，EG=2，则AB的长为()A.43B.7C.8D.45【答案】B【分析】作BM⊥AC于点M，由题意可得出△AEB≌△DEC，从而可得出△EBC为等边三角形，从而得到∠GEF=60°，∠EGF=30°，再由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．【详解】解：作BM⊥AC于点M，∠A=∠D在△AEB和△DEC中，AE=ED，∠AEB=∠DEC∴△AEB≌△DECASA，∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，BC=EC∴∠EGF=30°，∵EG=2，OF⊥AC，∠EGF=30°1∴EF=EG=1，2又∵AE=ED=3，OF⊥AC∴CF=AF=AE+EF=4，∴AC=2AF=8，EC=EF+CF=5，∴BC=EC=5，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，52253∴CM=，BM=BC-CM=，2211∴AM=AC-CM=，222∴AB=AM+BM=7．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理·8· 等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．14(2023·山西·统考中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC,BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】B【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC=40°，∵BD为圆的直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC=90°-∠BDC=50°；故选：B．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．15(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为()．A.5B.4C.3D.2【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质得出OD⊥AC,根据勾股定理求出OC=10，进一步可求出BD的长．【详解】解：∵AD=CD=8，∴点D为AC的中点，∵AO=CO,∴OD⊥AC，2222由勾股定理得，OC=CD+OD=6+8=10,∴OB=10,∴BD=OB-OD=10-6=4,故选：B．·9· 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键16(2023·河北·统考中考真题)如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是()A.a<bB.a=bC.a>bD.a，b大小无法比较【答案】A【分析】连接P1P2,P2P3，依题意得P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P1P7，△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，故b-a=P1P2+P2P3-P1P3，根据△P1P2P3的三边关系即可得解．【详解】连接P1P2,P2P3，∵点P1~P8是⊙O的八等分点，即P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=P6P7=P7P8=P8P1∴P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P4P5+P5P6=P7P8+P8P1=P1P7∴P4P6=P1P7又∵△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，∴b-a=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7-P1P3+P1P7+P3P7=P1P2+P1P7+P2P3+P3P7-P1P3+P1P7+P3P7=P1P2+P2P3-P1P3在△P1P2P3中有P1P2+P2P3>P1P3∴b-a=P1P2+P2P3-P1P3>0故选：A．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．17(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，在⊙O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC=19°，则∠BAC=()·10· A.23°B.24°C.25°D.26°【答案】D1【分析】根据OA,OB互相垂直可得ADB所对的圆心角为270°，根据圆周角定理可得∠ACB=×270°2=135°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，∵半径OA,OB互相垂直，∴∠AOB=90°，∴ADB所对的圆心角为270°，1∴ADB所对的圆周角∠ACB=×270°=135°，2又∵∠ABC=19°，∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=26°，故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．18(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C=20°，∠BPC=70°，则∠ADC=()A.70°B.60°C.50°D.40°【答案】D【分析】先根据圆周角定理得出∠B=∠C=20°，再由三角形外角和定理可知∠BDP=∠BPC-∠B=70°·11· -20°=50°，再根据直径所对的圆周角是直角，即∠ADB=90°，然后利用∠ADB=∠ADC+∠BDP进而可求出∠ADC．【详解】解：∵∠C=20°，∴∠B=20°，∵∠BPC=70°，∴∠BDP=∠BPC-∠B=70°-20°=50°，又∵AB为直径，即∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB-∠BDP=90°-50°=40°，故选：D．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．19(2023·广西·统考中考真题)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为()A.20mB.28mC.35mD.40m【答案】B37【分析】由题意可知，AB=37m，CD=7m，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到AD=m，再利用勾股2定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，AB=37m，CD=7m，主桥拱半径R，∴OD=OC-CD=R-7m，∵OC是半径，且OC⊥AB，137∴AD=BD=AB=m，22222在Rt△ADO中，AD+OD=OA，37222∴+R-7=R，21565解得：R=≈28m，56故选：B.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．20(2023·四川·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD=124°，则∠ACD的度数是()·12· A.56°B.33°C.28°D.23°【答案】C【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵∠BOD=124°，∴∠AOD=180°-124°=56°，1∴∠ACD=∠AOD=28°，2故选：C．【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．21(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为()A.15°B.17.5°C.20°D.25°【答案】C【分析】根据三角形内心的定义可得∠BAC的度数，然后由圆周角定理求出∠BOC，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OC，∵点I是△ABC的内心，∠CAI=35°，∴∠BAC=2∠CAI=70°，∴∠BOC=2∠BAC=140°，∵OB=OC，180°-∠BOC180°-140°∴∠OBC=∠OCB===20°，22故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．22(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的·13· 33估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()2A.3B.22C.3D.23【答案】C【分析】根据圆内接正多边形的性质可得∠AOB=30°，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得BC1=，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．2【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30°，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB，过点B作BC⊥OA交OA于点于点C，∵∠AOB=30°，11∴BC=OB=，22111则S△OAB=×1×=，2241故正十二边形的面积为12S△OAB=12×=3，4圆的面积为π×1×1=3，用圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积可得π=3，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．23(2023·广东·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=()A.20°B.40°C.50°D.80°【答案】B【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=50°，∴∠ABC=90°-∠BAC=40°，∵AC=AC，·14· ∴∠D=∠ABC=40°；故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．24(2023·河南·统考中考真题)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为()A.95°B.100°C.105°D.110°【答案】D【分析】直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵∠C=55°，∴由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=110°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．25(2023·全国·统考中考真题)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP．若∠BAC=70°，则∠BPC的度数可能是()A.70°B.105°C.125°D.155°【答案】D【分析】根据圆周角定理得出∠BOC=2∠BAC=140°，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵BC=BC，∠BAC=70°，∴∠BOC=2∠BAC=140°，∵∠BPC=∠BOC+∠PCO≥140°，∴∠BPC的度数可能是155°故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．26(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD=105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC=2∠COD．则∠CBD的度数是()·15· A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】A【分析】根据圆内接四边形对角互补得出∠A=180°-105°=75°，根据圆周角定理得出∠BOD=2∠A=1150°，根据已知条件得出∠COD=∠BOD=50°，进而根据圆周角定理即可求解．3【详解】解：∵圆内接四边形ABCD中，∠BCD=105°，∴∠A=180°-105°=75°∴∠BOD=2∠A=150°∵∠BOC=2∠COD1∴∠COD=∠BOD=50°，3∵CD=CD11∴∠CBD=∠COD=×50°=25°,22故选：A．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27(2023·甘肃兰州·统考中考真题)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．(1)以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；(2)分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA=OB；(3)连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO=35°，则∠AOC=()A.35°B.30°C.25°D.20°【答案】A·16· 【分析】证明∠NMO=∠MNO=35°，可得∠AOB=2×35°=70°，结合OA=OB，C为AB的中点，可得∠AOC=∠BOC=35°．【详解】解：∵∠MNO=35°，MO=NO，∴∠NMO=∠MNO=35°，∴∠AOB=2×35°=70°，∵OA=OB，C为AB的中点，∴∠AOC=∠BOC=35°，故选A．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．二、填空题28(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12,BC=5，则MD的长是．【答案】413【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由勾股定理确定AB=13，半径为，利用垂径定理确定2OM⊥AC，且AD=CD=6，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=12,BC=5，∴AB=13，113∴AO=AB=，22∵点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，∴OM⊥AC，且AD=CD=6，225∴OD=AO-AD=，2∴MD=OM-OD=AO-OD=4，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．29(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．·17· 5π【答案】6【分析】连接AD，OD，OE，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接AD，OD，OE，∵AB为直径，∴AD⊥AB，∵AB=AC=6cm,∠BAC=50°，1∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=∠BAC=25°，211∴∠DOE=2∠BAD=50°，OD=AB=AC=3cm，2250×π×35π∴弧DE的长为=cm，18065π故答案为：cm．6【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．30(2023·四川广安·统考中考真题)如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC=60°，则弦BC的长度为．【答案】73【分析】连接OB,OC，过点O作OD⊥BC于点D，先根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=120°，再根据等腰三角形的三线合一可得∠BOD=60°，BC=2BD，然后解直角三角形可得BD的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接OB,OC，过点O作OD⊥BC于点D，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC,OD⊥BC，·18· 1∴∠BOD=∠BOC=60°，BC=2BD，2∵圆的半径为7，∴OB=7，7∴BD=OB⋅sin60°=3，2∴BC=2BD=73，故答案为：73．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．31(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB=55°，则∠ABC=°．【答案】35【分析】由同弧所对的圆周角相等，得∠A=∠CDB=55°,再根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB=90°，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：∵∠A,∠CDB是BC所对的圆周角，∴∠A=∠CDB=55°,∵AB是⊙O的直径，∵∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∠ABC=90°-∠A=90°-55°=35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．32(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D=100°，则∠B的度数是．【答案】80°【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，·19· ∴∠B+∠D=180°，∵∠D=100°，∴∠B=180°-∠D=80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．33(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为．【答案】52.5°【分析】方法一∶如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°-25°=25°，然后再根据等腰三角形的性质求得∠OAB=65°、∠OAD=25°，最后根据角的和差即可解答．方法二∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=105°，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】方法一∶解：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°-25°=25°，∠AOD=155°-25°=130°，11∴∠OAB=180°-∠AOB=77.5°，∠OAD=180°-∠AOB=25°，22∴∠BAD=∠OAB-∠OAD=52.5°．故答案为52.5°．方法二∶解∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=155°-50°=105°，11根据圆周角定理，知∠BAD=∠BOD=×105°=52.5°．22故答案为：52.5°．【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度·20· 数的一半是解答本题的关键．34(2023·湖南·统考中考真题)如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个．【答案】10【分析】先求出正五边形的外角为72°，则∠1=∠2=72°，进而得出∠AOB=36°，即可求解．【详解】解：根据题意可得：360°∵正五边形的一个外角==72°，5∴∠1=∠2=72°，∴∠AOB=180°-72°×2=36°，360°∴共需要正五边形的个数==10(个)，36°故答案为：10．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．35(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm．水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为cm．【答案】161【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=DB=AB，依题意，得出OD=6，进而在2Rt△AOD中，勾股定理即可求解．1【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=DB=AB，2·21· ∵水的最深处到水面AB的距离为4cm，⊙O的半径为10cm．∴OD=10-4=6cm，2222在Rt△AOD中，AD=AO-OD=10-6=8cm∴AB=2AD=16cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．36(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=60°，则∠ADC的度数为．【答案】30°【分析】根据垂径定理得到AB=AC，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵OA⊥BC，∴AB=AC，1∴∠ADC=∠AOB=30°，2故答案为：30°．【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．37(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，点A、B、C是⊙O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D．若∠A=60°，∠OCD=40°，则∠ODC=度．·22· 【答案】80【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．【详解】解：在⊙O中，∵∠BOC=2∠A=2×60°=120°，∴∠ODC=∠BOC-∠OCD=120°-40°=80°故答案为：80．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．【答案】4【分析】圆周角定理求出∠P对应的圆心角的度数，利用360°÷圆心角的度数即可得解．【详解】解：∵∠P=55°，∴∠P对应的圆心角的度数为110°，∵360°÷110°≈3.27，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台；故答案为：4【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．39(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形S1ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则=．S2·23· 【答案】2【分析】连接OA,OC,OE，首先证明出△ACE是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OACASA，得到S△BAC=S△AFE=S△CDE，S△OAC=S△OAE=S△OCE，进而求解即可．【详解】如图所示，连接OA,OC,OE，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴AC=AE=CE，∴△ACE是⊙O的内接正三角形，∵∠B=120°，AB=BC，1∴∠BAC=∠BCA=180°-∠B=30°，2∵∠CAE=60°，∴∠OAC=∠OAE=30°，∴∠BAC=∠OAC=30°，同理可得，∠BCA=∠OCA=30°，又∵AC=AC，∴△BAC≌△OACASA，∴S△BAC=S△OAC，由圆和正六边形的性质可得，S△BAC=S△AFE=S△CDE，由圆和正三角形的性质可得，S△OAC=S△OAE=S△OCE，∵S1=S△BAC+S△AFE+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE=2S△OAC+S△OAE+S△OCE=2S2，S1∴=2．S2故答案为：2．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．40(2023·广东深圳·统考中考真题)如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC=20°，则∠BAD=°．【答案】35·24· 【分析】由题意易得∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC=20°，则有∠BAC=70°，然后问题可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=AC，∠ADC=20°，∴∠ADC=∠ABC=20°，∴∠BAC=70°，∵AD平分∠BAC，1∴∠BAD=∠BAC=35°；2故答案为：35．【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．41(2023·山东东营·统考中考真题)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是寸．【答案】26【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB=6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求解方程可得2x的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB=10寸，∴AE=BE=5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，∵CE=1，∴OE=x-1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：22222x-(x-1)=5，化简得：x-x+2x-1=25，即2x=26，∴CD=26(寸)．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．三、解答题42(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C,D．连接AB，过点A作AH⊥CD于点H．·25· (1)求证：四边形ABOH为矩形．(2)已知⊙A的半径为4，OB=7，求弦CD的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．(2)根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．【详解】(1)证明：∵⊙A与x轴相切于点B，∴AB⊥x轴．∵AH⊥CD,HO⊥OB，∴∠AHO=∠HOB=∠OBA=90°，∴四边形AHOB是矩形．(2)如图，连接AC．∵四边形AHOB是矩形，∴AH=OB=7．222在Rt△AHC中，CH=AC-AH，22∴CH=4-(7)=3．∵点A为圆心，AH⊥CD，∴CD=2CH=6．【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．43(2023·甘肃武威·统考中考真题)1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．(按如下步骤完成，保留作图痕迹)①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取AB=BC=CD；②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．【答案】见解析·26· 【分析】根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．【详解】解：如图，即点A，G，D，H把⊙O的圆周四等分．理由如下：如图，连接OB,OC,AG,AE,DE,AC,DC,OE,OH,OG,AH，由作图可得：AB=BC=CD，且OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∠AOB=60°，同理可得：∠BOC=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，∴A，O，D三点共线，AD为直径，∴∠ACD=90°，设CD=x，而∠DAC=30°，∴AD=2x，AC=3x，由作图可得：DE=AE=AC=3x，而OA=OD=x，22∴EO⊥AD，OE=DE-OD=2x，∴由作图可得AG=AH=2x，而OA=OH=x，2222∴OA+OH=2x=AH，∴∠AOH=90°，同理∠AOG=90°=∠DOG=∠DOH，∴点A，G，D，H把⊙O的圆周四等分．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆弧与圆心角之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，熟练掌握图形的基本性质并灵活应用于作图是解本题的关键．44(2023·上海·统考中考真题)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC41=,OC=OB．52(1)求⊙O的半径；·27· (2)求∠BAC的正切值．【答案】(1)59(2)4【分析】(1)延长BC，交⊙O于点D，连接AD，先根据圆周角定理可得∠BAD=90°，再解直角三角形可得BD=10，由此即可得；(2)过点C作CE⊥AB于点E，先解直角三角形可得BE=6，从而可得AE=2，再利用勾股定理可得CE9=，然后根据正切的定义即可得．2【详解】(1)解：如图，延长BC，交⊙O于点D，连接AD，由圆周角定理得：∠BAD=90°，4∵弦AB的长为8，且cos∠ABC=，5AB84∴==，BDBD5解得BD=10，1∴⊙O的半径为BD=5．2(2)解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，∵⊙O的半径为5，∴OB=5，1∵OC=OB，2315∴BC=OB=，224∵cos∠ABC=，5BE4BE4∴=，即=，BC51552解得BE=6，229∴AE=AB-BE=2，CE=BC-BE=，29CE29则∠BAC的正切值为==．AE24【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．45(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．·28· (1)求证：∠AOB=2∠BOC；(2)若AB=4,BC=5，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析5(2)211【分析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC，再根据∠ACB=2∠BAC，即可得22出结论；1(2)过点O作半径OD⊥AB于点E，根据垂径定理得出∠DOB=∠AOB,AE=BE，证明∠DOB=222∠BOC，得出BD=BC，在Rt△BDE中根据勾股定理得出DE=BD-BE=1，在Rt△BOE中，根据勾222股定理得出OB=(OB-1)+2，求出OB即可．【详解】(1)证明：∵AB=AB，1∴∠ACB=∠AOB，2∵BC=BC，1∴∠BAC=∠BOC，2∵∠ACB=2∠BAC，∴∠AOB=2∠BOC．1(2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E，则∠DOB=∠AOB,AE=BE，2∵∠AOB=2∠BOC，∴∠DOB=∠BOC，∴BD=BC，∵AB=4,BC=5，∴BE=2,DB=5，在Rt△BDE中，∵∠DEB=90°22∴DE=BD-BE=1，在Rt△BOE中，∵∠OEB=90°，222∴OB=(OB-1)+2，55∴OB=，即⊙O的半径是．22【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．46(2023·贵州·统考中考真题)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．·29· (1)写出图中一个度数为30°的角：，图中与△ACD全等的三角形是；(2)求证：△AED∽△CEB；(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．【答案】(1)∠1、∠2、∠3、∠4；△BCD(2)见详解(3)四边形OAEB是菱形【分析】(1)根据外接圆得到CO是∠ACB的角平分线，即可得到30°的角，根据垂径定理得到∠ADC=∠BDC=90°，即可得到答案；(2)根据(1)得到∠3=∠2，根据垂径定理得到∠5=∠6=60°，即可得到证明；(3)连接OA，OB，结合∠5=∠6=60°得到△OAE，△OBE是等边三角形，从而得到OA=OB=AE=EB=r，即可得到证明；【详解】(1)解：∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴CO是∠ACB的角平分线，∠ACB=∠ABC=∠CAB=60°，∴∠1=∠2=30°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CAE=∠CBE=90°，∴∠3=∠4=30°，∴30°的角有：∠1、∠2、∠3、∠4，∵CO是∠ACB的角平分线，∴∠ADC=∠BDC=90°，∠5=∠6=90°-30°=60°，在△ACD与△BCD中，∠1=∠2∵CD=CD，∠ADC=∠BDC=90°∴△ACD≌△BCD，故答案为：∠1、∠2、∠3、∠4，△BCD；(2)证明：∵∠5=∠6，∠3=∠2=30°，∴△AED∽△CEB；(3)解：连接OA，OB，∵OA=OE=OB=r，∠5=∠6=60°，∴△OAE，△OBE是等边三角形，∴OA=OB=AE=EB=r，∴四边形OAEB是菱形；【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．·30·