2024中考数学第一轮专题复习： 二次函数图象性质与应用（解析版）

二次函数图象性质与应用(55题)一、单选题21(2023·甘肃兰州·统考中考真题)已知二次函数y=-3x-2-3，下列说法正确的是()A.对称轴为x=-2B.顶点坐标为2,3C.函数的最大值是-3D.函数的最小值是-3【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．2【详解】二次函数y=-3x-2-3的对称轴为x=2，顶点坐标为2,-3∵-3<0∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为y=-3∴A、B、D选项错误，C选项正确故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．22(2023·广西·统考中考真题)将抛物线y=x向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是()2222A.y=(x-3)+4B.y=(x+3)+4C.y=(x+3)-4D.y=(x-3)-4【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．2【详解】解：将抛物线y=x向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y=2(x-3)+4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．23(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，直线l为二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，则下列说法正确的是()A.b恒大于0B.a，b同号C.a，b异号D.以上说法都不对【答案】C【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分a<0，a>0两种情况讨论即可．2【详解】解：∵直线l为二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，b∴对称轴为直线x=->0，2a当a<0时，则b>0，当a>0时，则b<0，·1· ∴a，b异号，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．24(2023·辽宁大连·统考中考真题)已知抛物线y=x-2x-1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为()A.-2B.-1C.0D.2【答案】D2【分析】把抛物线y=x-2x-1化为顶点式，得到对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为-2，再分别求出x=0和x=3时的函数值，即可得到答案．22【详解】解：∵y=x-2x-1=x-1-2，∴对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为-2，22当x=0时，y=x-2x-1=-1，当x=3时，y=3-2×3-1=2，∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，故选：D.【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25(2023·四川成都·统考中考真题)如图，二次函数y=ax+x-6的图象与x轴交于A(-3,0)，B两点，下列说法正确的是()1A.抛物线的对称轴为直线x=1B.抛物线的顶点坐标为-,-62C.A，B两点之间的距离为5D.当x<-1时，y的值随x值的增大而增大【答案】C【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．2【详解】解：∵二次函数y=ax+x-6的图象与x轴交于A(-3,0)，B两点，∴0=9a-3-6∴a=1212251125∴二次函数解析式为y=x+x-6=x+2-4，对称轴为直线x=-2，顶点坐标为-2,-4，故A，B选项不正确，不符合题意；∵a=1>0，抛物线开口向上，当x<-1时，y的值随x值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；2当y=0时，x+x-6=0即x1=-3,x2=2∴B2,0，·2· ∴AB=5，故C选项正确，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26(2023·河南·统考中考真题)二次函数y=ax+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．【详解】解：由图象开口向下可知a<0，b由对称轴x=->0，得b>0．2a∴一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a、b的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．27(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，抛物线y=ax+bx+ca≠0与x轴交于点x1，0，22，0，其中0<x1<1，下列四个结论：①abc<0；②a+b+c>0；③2b+3c<0；④不等式ax+bx+cc<-x+c的解集为0<x<2．其中正确结论的个数是()2A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当x=1时，y<0即可判断②；根据对称轴为x=b2c->1，a>0可判断③；y1=ax+bx+c，y2=-x+c数形结合即可判断④．2a2【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，·3· ∴a>0，b<0，c>0，∴abc<0，故①正确．∵当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，故②错误．2∵抛物线y=ax+bx+c与x轴交于两点x1，0，2，0，其中0<x1<1，2+0b2+1∴<-<，22a2b3∴1<-<，2a2b3当-<时，b>-3a，2a2当x=2时，y=4a+2b+c=0，1∴b=-2a-c，21∴-2a-c>-3a，2∴2a-c>0，∴2b+3c=-4a-c+3c=-4a+2c=-22a-c<0，故③正确；2c设y1=ax+bx+c，y2=-x+c，如图：2由图得，y1<y2时，0<x<2，故④正确．综上，正确的有①③④，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．128(2023·四川自贡·统考中考真题)经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-x+bx-22b+2c(x为自变量)与x轴有交点，则线段AB长为()A.10B.12C.13D.15【答案】B【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出c=b-1，求得抛物线解析式，根据抛物线与x轴有交点得出Δ=2b-4ac≥0，进而得出b=2，则c=1，求得A,B的横坐标，即可求解．122bb【详解】解：∵抛物线y=-x+bx-b+2c的对称轴为直线x=-=-=b22a2×-12∵抛物线经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点2-3b+4b+c-1∴=b，2·4· 即c=b-1，122122∴y=-x+bx-b+2c=-x+bx-b+2b-2，22∵抛物线与x轴有交点，2∴Δ=b-4ac≥0，212即b-4×-×-b+2b-2≥0，222即b-4b+4≤0，即b-2≤0，∴b=2，c=b-1=2-1=1，∴2-3b=2-6=-4,4b+c-1=8+1-1=8，∴AB=4b+c-1-2-3b=8--4=12，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．29(2023·四川达州·统考中考真题)如图，拋物线y=ax+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称．2下列五个结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am+bm>a+b；⑤3a+c>0．其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由b抛物线的对称轴为x=1，得到-=1，即可判断②；可知x=2时和x=0时的y值相等可判断③正确；2a2由图知x=1时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为x=1可得b=-2a，因此y=ax-2ax+c，根据图像可判断⑤正确．【详解】①∵抛物线的开口向上，∴a>0.∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，∴c<0.b由->0得，b<0，2a∴abc>0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为x=1，b∴-=1，2a∴b=-2a，∴2a+b=0，故②正确；③由抛物线的对称轴为x=1，可知x=2时和x=0时的y值相等．·5· 由图知x=0时，y<0，∴x=2时，y<0．即4a+2b+c<0．故③错误；④由图知x=1时二次函数有最小值，2∴a+b+c≤am+bm+c，2∴a+b≤am+bm，a+b≤m(ax+b)，故④错误；b⑤由抛物线的对称轴为x=1可得-=1，2a∴b=-2a，2∴y=ax-2ax+c，当x=-1时，y=a+2a+c=3a+c．由图知x=-1时y>0,∴3a+c>0.故⑤正确．综上所述：正确的是①②⑤，有3个，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．210(2023·四川泸州·统考中考真题)已知二次函数y=ax-2ax+3(其中x是自变量)，当0<x<3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为()A.0<a<1B.a<-1或a>3C.-3<a<0或0<a<3D.-1≤a<0或0<a<3【答案】D-2a【分析】首先根据题意求出对称轴x=-=1，然后分两种情况：a>0和a<0，分别根据二次函数的2a性质求解即可．2【详解】∵二次函数y=ax-2ax+3，-2a∴对称轴x=-=1，2a当a>0时，∵当0<x<3时对应的函数值y均为正数，∴此时抛物线与x轴没有交点，2∴Δ=-2a-4a×3<0，∴解得0<a<3；当a<0时，∵当0<x<3时对应的函数值y均为正数，∴当x=3时，y=9a-6a+3≥0，∴解得a≥-1，∴-1≤a<0，∴综上所述，·6· 当0<x<3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为-1≤a<0或0<a<3．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．211(2023·四川凉山·统考中考真题)已知抛物线y=ax+bx+ca≠0的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()A.abc<0B.4a-2b+c<02C.3a+c=0D.am+bm+a≤0(m为实数)【答案】C【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线x=1可得a>0，c<0，b=-2a<0，由此即可判断A；根据对称性可得当x=-2时，y>0，当x=-1时，y=0，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，可得抛物线的最小值为-a+c，由此即可判断D．【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a>0，c<0，∵抛物线对称轴为直线x=1，b∴-=1，2a∴b=-2a<0，∴abc>0，故A中结论错误，不符合题意；∵当x=4时，y>0，抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=-2时，y>0，∴4a-2b+c>0，故B中结论错误，不符合题意；∵当x=3时，y=0，抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，又∵b=-2a，∴3a+c=0，故C中结论正确，符合题意；∵抛物线对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为a+b+c=a-2a+c=-a+c，2∴am+bm+c≥-a+c，2∴am+bm+a≥0，故D中结论错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．·7· 2512(2023·四川南充·统考中考真题)抛物线y=-x+kx+k-与x轴的一个交点为A(m,0)，若-24≤m≤1，则实数k的取值范围是()212199A.-≤k≤1B.k≤-或k≥1C.-5≤k≤D.k≤-5或k≥4488【答案】B25【分析】根据抛物线有交点，则-x+kx+k-=0有实数根，得出k≤-5或k≥1，分类讨论，分别求得4当x=-2和x=1时k的范围，即可求解．25【详解】解：∵抛物线y=-x+kx+k-与x轴有交点，425∴-x+kx+k-=0有实数根，42∴Δ=b-4ac≥02522即k+4k-=k+4k-5=k+2-9≥04解得：k≤-5或k≥1，当k≤-5时，如图所示，5依题意，当x=-2时，-4-2k+k-≥0，421解得：k≤-，459当x=1时，-1+k+k-≤0，解得k≤，4821即k≤-，4当k≥1时，5当x=-2时，-4-2k+k-≤0，421解得：k≥-4∴k≥1·8· 21综上所述，k≤-或k≥1，4故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．k13(2023·安徽·统考中考真题)已知反比例函数y=k≠0在第一象限内的图象与一次函数y=x2-x+b的图象如图所示，则函数y=x-bx+k-1的图象可能为()A.B.C.D.【答案】A【分析】设A1,k，则Bk,1，k>1，将点Bk,1，代入y=-x+b，得出k=b-1，代入二次函数，可得当x2b=1时，y=-1，则y=x-bx+k-1，得出对称轴为直线x=>1，抛物线对称轴在y轴的右侧，且过定2点1,-1，进而即可求解．·9· 【详解】解：如图所示，设A1,k，则Bk,1，根据图象可得k>1，将点Bk,1代入y=-x+b，∴1=-k+b，∴k=b-1，∵k>1，∴b>2，2222b2b∴y=x-bx+k-1=x-bx+b-1-1=x-bx+b-2=x-++b-2，24b对称轴为直线x=>1，2当x=1时，1-b+b-2=-1，∴抛物线经过点1,-1，∴抛物线对称轴在x=1的右侧，且过定点1,-1，当x=0时，y=k-1=b-2>0，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出k=b-1是解题的关键．214(2023·四川广安·统考中考真题)如图所示，二次函数y=ax+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的图象与x轴交于点A-3,0,B1,0．有下列结论：①abc>0；②若点-2,y1和-0.5,y2均在抛物线上，则y1<y2；③5a-b+c=0；④4a+c>0．其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与x轴交点问题逐项分析判断即可.【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与y轴正半轴交于一点，∴a<0，c>0.b∵-<0，2a·10· ∴b<0.∴abc>0.故①正确.∵A-3,0,B1,0是关于二次函数对称轴对称，b∴-=-1.2a∴-2,y1在对称轴的左边，-0.5,y2在对称轴的右边，如图所示，∴y1<y2.故②正确.∵图象与x轴交于点A-3,0,B1,0，∴9a-3b+c=0，a+b+c=0.∴10a-2b+2c=0.∴5a-b+c=0.故③正确.b∵-=-1，2a∴b=2a.当x=1时，y=0，∴a+b+c=0.∴3a+c=0，∴c=-3a，∴4a+c=4a-3a=a<0.故④不正确.综上所述，正确的有①②③.故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与y轴交点.215(2023·四川遂宁·统考中考真题)抛物线y=ax+bx+ca≠0的图象如图所示，对称轴为直线x2=-2．下列说法：①abc<0；②c-3a>0；③4a-2ab≥atat+b(t为全体实数)；④若图象上存在点Ax1,y1和点Bx2,y2，当m<x1<x2<m+3时，满足y1=y2，则m的取值范围为-5<m<-2．其中正确的个数有()·11· A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可．b【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-=-2<0，抛物线与y轴交点位于负半轴，2a∴a<0,b<0,c<0，∴abc<0，故①正确；由图象可知，a-b+c>0，根据对称轴，得b=4a，∴a-4a+c>0∴c-3a>0，故②正确；b∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-=-2<0，2a∴抛物线的最大值为y=4a-2b+c，2当x=t时，其函数值为y=at+bt+c，2∴4a-2b+c≥at+bt+c，2∴4a-2b≥at+bt，∵a<0，2∴a4a-2b≤aat+bt，2∴4a-2ab≤atat+b，故③错误；如图所示，Ax1,y1和点Bx2,y2满足y1=y2，∴Ax1,y1和点Bx2,y2关于对称轴对称，∴x1-2,x2-2,∵m<x1<x2<m+3,·12· ∴m<x1<-2,-2<x2<m+3,解得-5<m<-2，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．216(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，二次函数y=ax+bx+ca≠0的图象与x轴的一个交点坐标为1,0，对称轴为直线x=-1，下列四个结论：①abc<0；②4a-2b+c<0；③3a+c=0；④当-32<x<1时，ax+bx+c<0；其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，a>0，c<0，根据对称轴为直线x=-1可得b=2a>0，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为-3,0，进而得到当x=-2时，y<0，由此即可判断②；根据x=1时，y=0，即可判断③；利用图象法即可判断④．【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，∴a>0，c<0，∵二次函数的对称轴为直线x=-1，b∴-=-1，2a∴b=2a>0，∴abc<0，故①正确；2∵二次函数y=ax+bx+ca≠0的图象与x轴的一个交点坐标为1,0，2∴二次函数y=ax+bx+ca≠0的图象与x轴的另一个交点坐标为-3,0，∴当x=-2时，y<0，∴4a-2b+c<0，故②正确；∵x=1时，y=0，∴a+b+c=0，∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故③正确；2由函数图象可知，当-3<x<1时，ax+bx+c<0，故④正确；综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．·13· 217(2023·浙江宁波·统考中考真题)已知二次函数y=ax-(3a+1)x+3(a≠0)，下列说法正确的是()A.点(1,2)在该函数的图象上B.当a=1且-1≤x≤3时，0≤y≤8C.该函数的图象与x轴一定有交点3D.当a>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=的左侧2【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．2【详解】解：∵y=ax-(3a+1)x+3(a≠0)，当x=1时：y=a-(3a+1)+3=2-2a，∵a≠0，∴2-2a≠2，即：点(1,2)不在该函数的图象上，故A选项错误；22当a=1时，y=x-4x+3=x-2-1，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=2，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵-1≤x≤3，-1-2>3-2>2-2，2∴当x=-1时，y有最大值为-1-2-1=8，当x=2时，y有最小值为-1，∴-1≤y≤8，故B选项错误；222∵Δ=-(3a+1)-4×3a=9a-6a+1=3a-1≥0，∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；3a+1313当a>0时，抛物线的对称轴为：x==+>，2a22a23∴该函数图象的对称轴一定在直线x=的右侧，故选项D错误；2故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．218(2023·新疆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y1=mx+n与抛物线y2=ax+bx-23相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当-2<x<3时，y1>y2；②x=3是方程ax+bx-3=02的一个解；③若-1,t1，4,t2是抛物线上的两点，则t1<t2；④对于抛物线，y2=ax+bx-3，当-2<x<3时，y2的取值范围是0<y2<5．其中正确结论的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B·14· 【分析】根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与x轴的交点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解．【详解】解：根据函数图象，可得当-2<x<3时，y1>y2，故①正确；2∵A3,0在y2=ax+bx-3上，2∴x=3是方程ax+bx-3=0的一个解；故②正确；2∵A3,0，B-2,5在抛物线y2=ax+bx-3上，9a+3b-3=0∴4a-2b-3=5a=1解得：b=-22∴y2=x-2x-32当y=0时，x-2x-3=0解得：x1=-1,x2=3∴当x=-1时，y=0，当x=4时，y>0，∴若-1,t1，4,t2是抛物线上的两点，则t1<t2；故③正确；22∵y2=x-2x-3=x-1-4，顶点坐标为1，-4，2∴对于抛物线，y2=ax+bx-3，当-2<x<3时，y2的取值范围是-4<y2<5，故④错误．故正确的有3个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．219(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线y=ax+bx+ca≠0与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，若点A的坐标为-4,0，则下列结论正确的是()A.2a+b=0B.4a-2b+c>02C.x=2是关于x的一元二次方程ax+bx+c=0a≠0的一个根D.点x1,y1，x2,y2在抛物线上，当x1>x2>-1时y1<y2<0【答案】C【分析】根据对称轴为x=-1得到2a-b=0，即可判断A选项；根据当x=-2时，y=4a-2b+c<0，即可判断B选项；根据当x=2时，y=4a+2b+c=0即可判断C选项；根据当x>-1时，y随着x的增大而增大即可判断D选项．·15· 2b【详解】解：A．抛物线y=ax+bx+ca≠0的对称轴为直线x=-1，则-=-1，则b=2a，即2a-b2a=0，故选项错误，不符合题意；2B．抛物线y=ax+bx+ca≠0的对称轴为直线x=-1，点A的坐标为-4,0，当x=-2时，y=4a-2b+c<0，故选项错误，不符合题意；2C．抛物线y=ax+bx+ca≠0的对称轴为直线x=-1，若点A的坐标为-4,0，可得点B2,0，当x2=2时，y=4a+2b+c=0，即x=2是关于x的一元二次方程ax+bx+c=0a≠0的一个根，故选项正确，符合题意；2D．∵抛物线y=ax+bx+ca≠0的对称轴为直线x=-1，开口向上，∴当x>-1时，y随着x的增大而增大，∴点x1,y1，x2,y2在抛物线上，当x1>x2>-1时y1>y2，故选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．220(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，抛物线y=ax+bx+c经过点A(-1,0)、B(m,0)，且1<m25<2，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③0<a<-c；④若点C-3,y1,D3,y2在抛物线上，则y1>y2．其中，正确的结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B2b1【分析】抛物线y=ax+bx+c经过点A(-1,0)、B(m,0)，且1<m<2，，可以得到a>0，0<-<，2a2从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出-b<a，则a+b>0，即可判断②；由图象可知，当x=1时，y<0，即a+b+c<0，所以有a+b<-c，从而可得出0<a<-c，即可判断③；利用1251b1b25b2--3=3-2，再根据0<-2a<2，所以-2a--3<3--2a，从而可得y1<y2，即可判断④．2【详解】解：∵抛物线y=ax+bx+c的图象开口向上，∴a>0，2∵抛物线y=ax+bx+c经过点A(-1,0)、B(m,0)，且1<m<2，b1∴0<-<，2a2∴b<0，故①正确；b1∵0<-<，a>0，2a2∴-b<a∴a+b>0，故②正确；由图象可知，当x=1时，y<0，即a+b+c<0，∴a+b<-c·16· ∵a>0，b<0，∴0<a<-c，故③正确；1251∵2--3=3-2，b1又∵0<-<，2a2b25b∴-2a--3<3--2a，2∵抛物线y=ax+bx+c的图象开口向上，∴y1<y2，故④错误．∴正确的有①②③共3个，故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题的关键．21(2023·湖南岳阳·统考中考真题)若一个点的坐标满足k,2k，我们将这样的点定义为“倍值点”．2若关于x的二次函数y=t+1x+t+2x+s(s,t为常数，t≠-1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是()A.s<-1B.s<0C.0<s<1D.-1<s<0【答案】D22【分析】利用“倍值点”的定义得到方程t+1x+tx+s=0，则方程的Δ>0，可得t-4ts-4s>0，利用对于任意的实数s总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s的取值范围．2【详解】解：由“倍值点”的定义可得：2x=t+1x+t+2x+s，2整理得，t+1x+tx+s=02∵关于x的二次函数y=t+1x+t+2x+s(s,t为常数，t≠-1)总有两个不同的倍值点，22∴Δ=t-4t+1s=t-4ts-4s>0,∵对于任意实数s总成立，2∴-4s-4×-4s<0,2整理得，16s+16s<0,2∴s+s<0,∴ss+1<0，s<0s>0∴，或，s+1>0s+1<0s<0当时，解得-1<s<0，s+1>0s>0当时，此不等式组无解，s+1<0∴-1<s<0，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．2122(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax+bx+c的顶点A的坐标为-,m，与x2轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①abc>0；②2b+c>0；③若图象经过点-3,y1,3,y2，·17· 2则y1>y2；④若关于x的一元二次方程ax+bx+c-3=0无实数根，则m<3．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出a=b，再根据图象得出当x=1时，y=a+b+c<0，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上22的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程ax+bx+c-3=0移项可得ax+bx+c=3，根据2该方程无实数根，得出抛物线y=ax+bx+c与直线y=3没有交点，即可判断④．【详解】解：①∵该抛物线开口向下，∴a<0，∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，∴b<0，∵该抛物线于y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故①正确，符合题意；1②∵A-,m，2b1∴该抛物线的对称轴为直线x=-=-，则a=b，2a2当x=1时，y=a+b+c，把a=b得：当x=1时，y=2b+c，由图可知：当x=1时，y<0，∴2b+c<0，故②不正确，不符合题意；1③∵该抛物线的对称轴为直线x=-，21517∴-3,y1到对称轴的距离为-2--3=2，3,y2到对称轴的距离为3--2=2，∵该抛物线开口向下，∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，57∵<，22∴y1>y2，故③正确，符合题意；22④将方程ax+bx+c-3=0移项可得ax+bx+c=3，2∵ax+bx+c-3=0无实数根，2∴抛物线y=ax+bx+c与直线y=3没有交点，·18· 1∵A-,m，2∴m<3．故④正确综上：正确的有：①③④，共三个．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质．223(2023·湖南·统考中考真题)已知m>n>0，若关于x的方程x+2x-3-m=0的解为x1,x22x1<x2．关于x的方程x+2x-3-n=0的解为x3,x4(x3<x4)．则下列结论正确的是()A.x3<x1<x2<x4B.x1<x3<x4<x2C.x1<x2<x3<x4D.x3<x4<x1<x2【答案】B2【分析】把x1，x2看做是直线y=m与抛物线y=x+2x-3交点的横坐标，把x3，x4看做是直线y=n与抛2物线y=x+2x-3交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．22【详解】解：如图所示，设直线y=m与抛物线y=x+2x-3交于A、B两点，直线y=n与抛物线y=x+2x-3交于C、D两点，22∵m>n>0，关于x的方程x+2x-3-m=0的解为x1,x2x1<x2，关于x的方程x+2x-3-n=0的解为x3,x4(x3<x4)，∴x1，x2，x3，x4分别是A、B、C、D的横坐标，∴x1<x3<x4<x2，故选B．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．224(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，已知开口向下的抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点(6，0)，对称轴为直线x=2．则下列结论正确的有()①abc<0；②a-b+c>0；211③方程cx+bx+a=0的两个根为x1=,x2=-；26④抛物线上有两点Px1,y1和Qx2,y2，若x1<2<x2且x1+x2>4，则y1<y2．·19· A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由抛物线的开口可知：a<0，由抛物线与y轴的交点可知：c>0，由抛物线的对称轴可知：b-=2>0，∴b>0，2a∴abc<0，故①正确；2∵抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点(6，0)，对称轴为直线x=2，则另一个交点(-2，0)，∴x=-1时，y>0，∴a-b+c>0，故②正确；2∵抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点(6，0)和(-2，0)，2∴ax+bx+c=0的两根为6和-2，bc∴6+-2=4=-，6×-2=-12=，则b=-4a，c=-12a，aa211如果方程cx+bx+a=0的两个根为x1=,x2=-成立，26111a则+-==-，263ca1而c=-12a，∴-=，c4211∴方程cx+bx+a=0的两个根为x1=,x2=-不成立，故③不正确；26∵x1<2<x2，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，∵x2-2-2-x1=x2-2-2+x1=x1+x2-4>0，即x1到对称轴的距离小于x2到对称轴的距离，∴y1>y2，故④不正确．综上，正确的有①②，故选：B．2【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．25(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax-mx-m-k(a>0,m,k是实数)，则()A.当k=2时，函数y的最小值为-aB.当k=2时，函数y的最小值为-2aC.当k=4时，函数y的最小值为-aD.当k=4时，函数y的最小值为-2a【答案】A【分析】令y=0，则0=ax-mx-m-k，解得：x1=m，x2=m+k，从而求得抛物线对称轴为直线x·20· m+m+k2m+k==，再分别求出当k=2或k=4时函数y的最小值即可求解．22【详解】解：令y=0，则0=ax-mx-m-k，解得：x1=m，x2=m+k，m+m+k2m+k∴抛物线对称轴为直线x==22当k=2时，抛物线对称轴为直线x=m+1，把x=m+1代入y=ax-mx-m-2，得y=-a，∵a>0∴当x=m+1，k=2时，y有最小值，最小值为-a．故A正确，B错误；当k=4时，抛物线对称轴为直线x=m+2，把x=m+2代入y=ax-mx-m-4，得y=-4a，∵a>0∴当x=m+2，k=4时，y有最小值，最小值为-4a，故C、D错误，故选：A．【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．226(2023·湖南·统考中考真题)已知P1x1,y1,P2x2,y2是抛物线y=ax+4ax+3(a是常数，a≠0上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点0,3在抛物线上；③若x1>x2>-2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=-2其中，正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】Bb4a【分析】根据对称轴公式x=-=-=-2可判断①；当x=0时，y=3，可判断②；根据抛物线的增减2a2ax1+x2性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到=-2，可以判断④．22【详解】解：∵抛物线y=ax+4ax+3(a是常数，a≠0，b4a∴x=-=-=-2，2a2a故①正确；当x=0时，y=3，∴点0,3在抛物线上，故②正确；当a>0时，y1>y2，当a<0时，y1<y2，故③错误；x1+x2根据对称点的坐标得到=-2，2x1+x2=-4，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．227(2023·山东聊城·统考中考真题)已知二次函数y=ax+bx+ca≠0的部分图象如图所示，图象·21· 经过点0,2，其对称轴为直线x=-1．下列结论：①3a+c>0；②若点-4,y1，3,y2均在二次函数图22象上，则y1>y2；③关于x的一元二次方程ax+bx+c=-1有两个相等的实数根；④满足ax+bx+c>2的x的取值范围为-2<x<0．其中正确结论的个数为()．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据抛物线开口向下可得a<0，根据抛物线的对称轴可推得b=2a，根据x=1时，y<0，即可得到a+b+c<0，推得3a+c<0，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点-4,y1到对称轴的距离小于点3,y2到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得y1>y2，故②正确；根据抛物线的图象可知22二次函数y=ax+bx+c与直线y=-1有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程ax+bx+c=-12有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点-2，2，即可得到ax+bx+c>2时，x的取值范围-2<x<0，故④正确．【详解】①∵抛物线开口向下，∴a<0．b∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，2a∴b=2a，由图象可得x=1时，y<0，即a+b+c<0，而b=2a，∴3a+c<0．故①错误；②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x=-1．故当x<-1时，y随x的增大而增大，当x>-1时，y随x的增大而减小，∵-1--4=3，-1-3=4，即点-4,y1到对称轴的距离小于点3,y2到对称轴的距离，故y1>y2，故②正确；2③由图象可知：二次函数y=ax+bx+c与直线y=-1有两个不同的交点，2即关于x的一元二次方程ax+bx+c=-1有两个不相等的实数根，故③错误；④∵函数图象经过0,2，对称轴为直线x=-1，∴二次函数必然经过点-2，2，2∴ax+bx+c>2时，x的取值范围-2<x<0，故④正确；综上，②④正确，故选：B．·22· 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于2二次函数y=ax+bx+ca≠0，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．28(2023·山东·统考中考真题)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1,23),B(-2,-6),C(0,0)等都是三倍点”，在-3<x<1的范围内，若二次函数y=-x-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是()11A.-≤c<1B.-4≤c<-3C.-<c<5D.-4≤c<544【答案】D2【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为y=3x，根据二次函数y=-x-x+c的图象上至少存在一个2“三倍点”转化为y=-x-x+c和y=3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x=-3和x=1时两个函数值大小即可求出．【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为y=3x，2在-3<x<1的范围内，二次函数y=-x-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，2即在-3<x<1的范围内，y=-x-x+c和y=3x至少有一个交点，22令3x=-x-x+c，整理得：-x-4x+c=0，22则Δ=b-4ac=-4-4×-1×c=16+4c≥0，解得c≥-4，2--4±-4-4×-1c4±16+4cx==-，2×-12∴x1=-2+4+c，x2=-2-4+c∴-3<-2+4+c<1或-3<-2-4+c<1当-3<-2+4+c<1时，-1<4+c<3，即0≤4+c<3，解得-4≤c<5，当-3<-2-4+c<1时，-3<4+c<1，即0≤4+c<1，解得-4≤c<-3，综上，c的取值范围是-4≤c<5，故选：D．【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．229(2023·广东·统考中考真题)如图，抛物线y=ax+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为()A.-1B.-2C.-3D.-4【答案】Bcc【分析】连接AC，交y轴于点D，根据正方形的性质可知AC=OB=2AD=2OD，然后可得点A,，22进而代入求解即可．·23· 【详解】解：连接AC，交y轴于点D，如图所示：当x=0时，则y=c，即OB=c，∵四边形OABC是正方形，∴AC=OB=2AD=2OD=c，AC⊥OB，cc∴点A,，222cc∴=a×+c，24解得：ac=-2，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．230(2023·湖北·统考中考真题)拋物线y=ax+bx+c(a<0)与x轴相交于点A-3，0，B1，0．下列结论：2①abc<0；②b-4ac>0；③3b+2c=0；④若点Pm-2，y1，Qm，y2在抛物线上，且y1<y2，则m≤-1．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B2【分析】二次函数整理得y=ax+2ax-3a，推出b<0，c>0，可判断①错误；根据二次函数的的图象与x轴的交点个数可判断②正确；由b=2a，c=-3a，代入3b+2c可判断③正确；根据二次函数的性质及数形结合思想可判断④错误．22【详解】解：①由题意得：y=ax+bx+c=ax+3x-1=ax+2ax-3a，∴b=2a，c=-3a，∵a<0，∴b<0，c>0，∴abc>0，故①错误；2②∵抛物线y=ax+bx+c(a<0)与x轴相交于点A-3，0，B1，0．2∴ax+bx+c=0有两个不相等的实数根，2∴Δ=b-4ac>0，故②正确；③∵b=2a，c=-3a，∴3b+2c=6a-6a=0，故③正确；2④∵抛物线y=ax+bx+c(a<0)与x轴相交于点A-3，0，B1，0．∴抛物线的对称轴为：x=-1，·24· 当点Pm-2，y1，Qm，y2在抛物线上，且y1<y2，m-2<-1<m∴m≤-1或，-1-m-2>m-(-1)解得：m<0，故④错误，综上，②③正确，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．231(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图，二次函数y=ax+bx+ca≠0图像的一部分与x轴的一个交点坐标为3,0，对称轴为直线x=1，结合图像给出下列结论：①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；22④关于x的一元二次方程ax+bx+c+k=0(a≠0)有两个不相等的实数根；⑤若点m,y1，-m+2,y2均在该二次函数图像上，则y1=y2．其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点3,0代入抛物线解析式并结合b=-2a即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点m,y1，-m+2,y2的对称轴为x=1，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a>0，c<0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，b∴-=1，即b=-2a<0，即②错误；2a∴abc>0，即①正确，2∵二次函数y=ax+bx+ca≠0图像的一部分与x轴的一个交点坐标为3,0∴9a+3b+c=0∴9a+3-2a+c=0，即3a+c=0，故③正确；222222∵关于x的一元二次方程ax+bx+c+k=0(a≠0)，Δ=b-4ac+k=b-4ac-4ak，a>0，c<0，2∴-4ac>0，-4ak≤0，2222∴无法判断b-4ac-4ak的正负，即无法确定关于x的一元二次方程ax+bx+c+k=0(a≠0)的根的情况，故④错误；m+-m+2∵=12∴点m,y1，-m+2,y2关于直线x=1对称∵点m,y1，-m+2,y2均在该二次函数图像上，∴y1=y2，即⑤正确；·25· 综上，正确的为①③⑤，共3个故选：B．2【点睛】本题考查了二次函数的y=ax+bx+ca≠0的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．232(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，已知抛物线y=ax+bx+ca≠0的对称轴是直线x=1，且过点-1,0，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；④若Ax1,y1，Bx2,y2(其中x1<x2)是抛物线上的两点，且x1+x2>2，则y1>y2，其中正确的选项是()A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④【答案】D【分析】根据二次函数的性质可得a<0，b=-2a，b>0，可判断结论①；由x=2处的函数值可判断结论②；由x=-1处函数值可判断结论③；根据x1+x2>2得到点Ax1,y1到对称轴的距离小于点Bx2,y2到对称轴的距离可判断结论④．【详解】解：二次函数开口向下，则a<0，b二次函数对称轴为x=1，则-=1，b=-2a，b>0，2a∴ab<0，故①正确；∵过点-1,0，∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为3,0，由函数图象可得x=2时y>0，∴4a+2b+c>0，故②正确；∵x=-1时y=0，∴a-b+c=0，b=-2a代入得：3a+c=0，故③错误；∵对称轴是直线x=1，x1+x2∴若=1，即x1+x2=2时，y1=y2，2∴当x1+x2>2时，点Ax1,y1到对称轴的距离小于点Bx2,y2到对称轴的距离∵二次函数开口向下∴y1>y2，故④正确．综上所述，正确的选项是①②④．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．233(2023·山东枣庄·统考中考真题)二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线2x=1，下列结论：①abc<0；②方程ax+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；③若0,y1,·26· 32,y2是抛物线上的两点，那么y1<y2；④11a+2c>0；⑤对于任意实数m，都有m(am+b)≥a+b，其中正确结论的个数是()A.5B.4C.3D.2【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤．b【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-=1，与y轴交于负半轴，2a∴a>0,b=-2a<0,c<0，∴abc>0；故①错误；由图可知，抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为：-1<x<0，∵抛物线关于直线x=1对称，∴抛物线与x轴的一个交点的横坐标的取值范围为：2<x<3，2∴方程ax+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；故②正确；∵a>0，∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，33∵0,y1,2,y2是抛物线上的两点，且0-1>2-1，∴y1>y2；故③错误；∵a>0,b=-2a∴11a+2c=5a+2a-2b+2c=5a+2a-b+c，由图象知：x=-1，y=a-b+c>0，∴11a+2c=5a+2a-b+c>0；故④正确；∵a>0，对称轴为直线x=1，∴当x=1时，函数值最小为：a+b+c，2∴对于任意实数m，都有am+bm+c≥a+b+c，2即：am+bm≥a+b，∴m(am+b)≥a+b；故⑤正确；综上：正确的有3个；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确的识图，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．34(2023·湖北十堰·统考中考真题)已知点Ax1,y1在直线y=3x+19上，点Bx2,y2,Cx3,y3在抛·27· 2物线y=x+4x-1上，若y1=y2=y3且x1<x2<x3，则x1+x2+x3的取值范围是()A.-12<x1+x2+x3<-9B.-8<x1+x2+x3<-6C.-9<x1+x2+x3<0D.-6<x1+x2+x3<1【答案】A2【分析】设直线y=3x+19与抛物线y=x+4x-1对称轴左边的交点为P，设抛物线顶点坐标为Q，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出x1的范围，根据二次函数的性质得出x2+x3=2×-2=-4，进而即可求解．2【详解】解：如图所示，设直线y=3x+19与抛物线y=x+4x-1对称轴左边的交点为P，设抛物线顶点坐标为Qy=3x+19联立2y=x+4x-1x=-5x=4解得：或y=4y=31∴P-5,4，22由y=x+4x-1=x+2-5，则Q-2,-5，对称轴为直线x=-2，设m=y1=y2=y3，则点A,B,C在y=m上，∵y1=y2=y3且x1<x2<x3，∴A点在P点的左侧，即x1<-5，x2<-2<x3，当m=-5时，x2=x3对于y=3x+19，当y=-5，x=-8，此时x1=-8，∴x1>-8，∴-8<x1<-5∵对称轴为直线x=-2，则x2+x3=2×-2=-4，∴x1+x2+x3的取值范围是-9<x1+x2+x3<-12，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．235(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知二次函数y=ax+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐·28· 标为(-1,0)，对称轴为直线x=1，下列论中：①a-b+c=0；②若点-3,y1,2,y2,4,y3均在该二次函22数图象上，则y1<y2<y3；③若m为任意实数，则am+bm+c≤-4a；④方程ax+bx+c+1=0的两实数根为x1,x2，且x1<x2，则x1<-1,x2>3．正确结论的序号为()A.①②③B.①③④C.②③④D.①④【答案】B2【分析】将(-1,0)代入y=ax+bx+c，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的2顶点坐标可判断③；根据y=ax+bx+c+1的图象与x轴的交点的位置可判断④．2【详解】解：将(-1,0)代入y=ax+bx+c，可得a-b+c=0，故①正确；∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，∴点-3,y1,2,y2,4,y3到对称轴的距离分别为：4，1，3，∵a<0，∴图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，∴y1<y3<y2，故②错误；b∵二次函数图象的对称轴为直线x=-=1，2a∴b=-2a，又∵a-b+c=0，∴a+2a+c=0，∴c=-3a，∴当x=1时，y取最大值，最大值为y=a+b+c=a-2a-3a=-4a，2即二次函数y=ax+bx+c(a<0)的图象的顶点坐标为1,-4a，2∴若m为任意实数，则am+bm+c≤-4a故③正确；∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，∴与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，22∵y=ax+bx+c(a<0)的图象向上平移一个单位长度，即为y=ax+bx+c+1的图象，2∴y=ax+bx+c+1的图象与x轴的两个交点一个在(-1,0)的左侧，另一个在(3,0)的右侧，2∴若方程ax+bx+c+1=0的两实数根为x1,x2，且x1<x2，则x1<-1,x2>3，故④正确；综上可知，正确的有①③④，故选：B．【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．236(2023·四川·统考中考真题)已知抛物线y=ax+bx+c(a，b，c是常数且a<0)过-1,0和m,0两点，且3<m<4，下列四个结论：①abc>0；②3a+c>0；③若抛物线过点1,4，则-1<a<2-；④关于x的方程ax+1x-m=3有实数根，则其中正确的结论有()3A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】Bbm-1【分析】由抛物线过-1,0和m,0两点得到对称轴为直线x=-=，且3<m<4，a<0所以2a2·29· b3得到1<-<，进而判断abc的符号，得到abc<0，3a+c>0；抛物线过点-1,0和1,4，代入可2a2b32得a-b+c=0和a+b+c=4，解得b=2，又由1<-<，得-1<a<-；对称轴为直线x=2a23m-1m+12，a<0，开口向下，所以y有最大值为-a，且3<m<4，无法判断关于x的方程22ax+1x-m=3是否有实数根．m+-1m-1【详解】解：已知抛物线过-1,0和m,0两点，则对称轴为直线x==，22m-13b3∵3<m<4，所以1<<，即1<-<，a<0，则b>0，222a22当x=-1时，y=a-1+b-1+c=a-b+c=0，则c>0，所以abc<0，故结论①错误；b因为->1，所以2a>-b，3a+c=a+2a+c>a-b+c，即3a+c>0，故结论②正确；2ab抛物线过-1,0和1,4两点，代入可得a-b+c=0和a+b+c=4，两式相减解得b=2，由1<-2a3232<可得1<-<，解得-1<a<-，故结论③正确；22a23m-1对称轴为直线x=，a<0，开口向下，221-m21-m21-m2∵y=ax+1x-m=ax+1-mx-m=ax+2-am-a2=ax+21+m2-a，2m+12∴所以y有最大值为-a，2m+12∵-a>3不一定成立，2∴关于x的方程ax+1x-m=3有实数根无法确定，故结论④错误．故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据题意判断a，b，c与0的关系，再借助点的坐标得出结论．二、多选题237(2023·湖南·统考中考真题)如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点3,0，则下列结论中正确的是()2A.a>0B.c>0C.b-4ac<0D.9a+3b+c=0【答案】BD【分析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与y轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴的交点个数可判断选项C；x=3时函数值的情况，可判断选项D．·30· 【详解】解：A、由函数图象得，抛物线开口向下，故a<0，故A错误；B、图象与y轴的交点在原点上方，故c>0，故B正确；2C、因为抛物线和x轴有两个交点，故b-4ac>0，故C错误．D、当x=3时，y=9a+3b+c=0，故D正确；故选：BD．【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．三、填空题238(2023·内蒙古·统考中考真题)已知二次函数y=-ax+2ax+3(a>0)，若点P(m,3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为．【答案】2【分析】将点P(m,3)代入函数解析式求解即可．2【详解】解：点P(m,3)在y=-ax+2ax+3上，2∴3=-am+2am+3，-am(m-2)=0，解得：m=2,m=0(舍去)故答案为：2．【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意求解是解题关键．39(2023·山东滨州·统考中考真题)要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管长度应为．【答案】2.25m【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系，设抛物线2的解析式为y=ax-1+30≤x≤3，将3,0代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：2y=ax-1+30≤x≤3，3代入3,0求得：a=-．432将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-x-1+30≤x≤3，49令x=0，则y==2.25．4·31· 故水管长度为2.25m．故答案为：2.25m．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．240(2023·湖南郴州·统考中考真题)抛物线y=x-6x+c与x轴只有一个交点，则c=．【答案】9【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．2【详解】解：∵抛物线y=x-6x+c与x轴只有一个交点，22∴Δ=b-4ac=(-6)-4c=0解得c=9．故答案为：9．【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则判别式Δ≥0；抛物线与x轴有一个交点，则判别式Δ=0；抛物线与x轴没有交点，则判别式Δ<0．241(2023·上海·统考中考真题)一个二次函数y=ax+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．2【答案】y=-x+1(答案不唯一)2【分析】根据二次函数y=ax+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定ab<0，对称轴x=-=0，c>0，从而确定答案．2a2【详解】解：∵二次函数y=ax+bx+c的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即a<0，2∵二次函数y=ax+bx+c的顶点在y轴正半轴上，b∴-=0，即b=0，c>0，2a2∴二次函数的解析式可以是y=-x+1(答案不唯一)．2故答案为：y=-x+1(答案不唯一).【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．42(2023·吉林长春·统考中考真题)2023年5月8日，C919商业首航完成--中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪)．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A、B到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H距地面米．【答案】19·32· 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x=0求平移后的抛物线与y轴的交点即可．【详解】解：由题意可知：A-40,4、B40,4、H0,20，2设抛物线解析式为：y=ax+20，2将A-40,4代入解析式y=ax+20，1解得：a=-，1002x∴y=-+20，1002x消防车同时后退10米，即抛物线y=-+20向左(右)平移10米，1002x+10平移后的抛物线解析式为：y=-+20，100令x=0，解得：y=19，故答案为：19．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．243(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax-2ax+b(a>0)经过A2n+3,y1,Bn-1,y2两点，若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1<y2，则n的取值范围是．【答案】-1<n<0【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线x=1，开口向上，根据已知条件得出点A在对称轴的右侧，且y1<y2，进而得出不等式，解不等式即可求解．2【详解】解：∵y=ax-2ax+b，a>0-2a∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，开口向上，2a∵A2n+3,y1,Bn-1,y2分别位于抛物线对称轴的两侧，假设点B在对称轴的右侧，则n-1>1，解得n>2，∴2n+3-n-1=n+4>0∴A点在B点的右侧，与假设矛盾，则点A在对称轴的右侧，2n+3>1∴n-1<1解得：-1<n<2又∵y1<y2，∴2n+3-1<1-n-1∴2n+2<2-n.解得：n<0∴-1<n<0，故答案为：-1<n<0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．244(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，抛物线y=x-6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D2,m在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB=2∠DCB，则点E的坐标是．·33· 178338【答案】5,5和5,-5【分析】先根据题意画出图形，先求出D点坐标，当E点在线段BC上时:∠DEB是△DCE的外角，∠DEB=2∠DCB，而∠DEB=∠DCE+∠CDE，所以此时∠DCE=∠CDE，有CE=DE，可求出BC所在直线的解析式y=-x+5，设E点(a,-a+5)坐标，再根据两点距离公式，CE=DE，得到关于a的方程，求解222a的值，即可求出E点坐标；当E点在线段CB的延长线上时，根据题中条件，可以证明BC+BD=DC，得到∠DBC为直角三角形，延长EB至E，取BE=BE，此时，∠DEE=∠DEE=2∠DCB，从而证明E是要找的点，应为OC=OB，△OCB为等腰直角三角形，点E和E关于B点对称，可以根据E点坐标求出E点坐标．2【详解】解：根据D点坐标，有m=2-6×2+5=-3所以D点坐标2，-3设BC所在直线解析式为y=kx+b，其过点C0,5、B5,0b=5有，解得BC所在直线的解析式为：y=-x+55k+b=0当E点在线段BC上时，设E(a,-a+5)∠DEB=∠DCE+∠CDE而∠DEB=2∠DCB∴∠DCE=∠CDE∴CE=DE因为：E(a,-a+5)，C(0,5)，D(2,-3)2222有a+(-a+5-5)=(a-2)+[-a+5-(-3)]178解得：a=，-a+5=55178所以E点的坐标为:,55当E在CB的延长线上时，222222222在△BDC中，BD=(5-2)+3=18，BC=5+5=50,DC=(5+3)+2=68222∴BD+BC=DC·34· ∴BD⊥BC如图延长EB至E，取BE=BE，则有△DEE为等腰三角形，DE=DE，∴∠DEE=∠DEE又∵∠DEB=2∠DCB∴∠DEE=2∠DCB则E为符合题意的点，∵OC=OB=5∴∠OBC=45°17338E的横坐标：5+5-=，纵坐标为-；555178338综上E点的坐标为：5,5或5,-5.178338故答案为：5,5或5,-5.【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到E点的位置，是求解此题的关键．245(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线y=ax+bx+c(a,b,c是常数，c<0)经过(1,1),(m,0),(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：①b<0；2②4ac-b<4a；③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t>1；21④若关于x的一元二次方程ax+bx+c=x有两个相等的实数根，则0<m≤．3其中正确的是(填写序号)．【答案】②③④【分析】①根据图象经过1,1，c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在3,0或3,0的右侧，判断出抛2物线的开口向下，a<0，再把1,1代入y=ax+bx+c得a+b+c=1，即可判断①错误；24ac-b②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点1,1的右侧，得出>4a21，根据4a<0，即可得出4ac-b<4a，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，得出1,1到对称轴的距离大于2,t到对称轴的距离，根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；22④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ=b-1-4ac=0，把1,1代入y=ax+bx+c得a+b+c=c111，即1-b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出mn==1，即n=，根据n≥3，得出≥amm3，求出m的取值范围，即可判断④正确．·35· 【详解】解：①图象经过1,1，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在1,0的左侧，∵n,0中n≥3，∴抛物线与x轴的一个交点一定在3,0或3,0的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即a<0，2把1,1代入y=ax+bx+c得a+b+c=1，即b=1-a-c，∵a<0，c<0，∴b>0，故①错误；②∵a<0，b>0，c<0，c∴>0，a2∴方程ax+bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0，∵n≥3，∴m>0，m+n∴>1.5，2即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，∴抛物线的顶点在点1,1的右侧，24ac-b∴>1，4a∵4a<0，2∴4ac-b<4a，故②正确；③∵m>0，m+n∴当n=3时，>1.5，2∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，∴1,1到对称轴的距离大于2,t到对称轴的距离，∵a<0，抛物线开口向下，∴距离抛物线越近的函数值越大，∴t>1，故③正确；22④方程ax+bx+c=x可变为ax+b-1x+c=x，∵方程有两个相等的实数解，2∴△=b-1-4ac=0，2∵把1,1代入y=ax+bx+c得a+b+c=1，即1-b=a+c，2∴a+c-4ac=0，22即a+2ac+c-4ac=0，2∴a-c=0，∴a-c=0，即a=c，∵(m,0),(n,0)在抛物线上，2∴m，n为方程ax+bx+c=0的两个根，c∴mn==1，a·36· 1∴n=，m∵n≥3，1∴≥3，m1∴0<m≤，故④正确；3综上分析可知，正确的是②③④．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下a<0．246(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax+bx+c经过点A-3,0，顶点为M-1,m，且抛物线与y轴的交点B在0，-2和0，-3之间(不含端点)，则下列结论：①当-3≤x≤1时，y≤0；333②当△ABM的面积为时，a=；22③当△ABM为直角三角形时，在△AOB内存在唯一点P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+93．其中正确的结论是．(填写所有正确结论的序号)【答案】①②③【分析】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为y=ax-1x+3，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转60°至△AOA，连接AA，PP，AB，得到PA+PO+PB=PA+PP+PB≥AB，判断③．2【详解】解：∵抛物线y=ax+bx+c经过点A-3,0，顶点为M-1,m，∴对称轴x=-1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为1,0，由图象可得：当-3≤x≤1时，y≤0；∴①正确，符合题意；∵抛物线与x轴的另一交点坐标为1,0，∴设抛物线为y=ax-1x+3，当x=-1时，y=-4a，当x=0时，y=-3a，∴M-1,-4a，B0,-3a，如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作AE⊥l，过点B作BN⊥l，·37· 133∴S△ABM=S△AMF+S△BMF=×MF×AO=，22设直线AB的解析式为y=kx+b，-3k+b=0把B0,-3a，A-3,0代入得：，b=-3ak=-a解得：，b=-3a∴直线AB的解析式为y=-ax-3a，当x=-1是，y=-2a，∴F-1,-2a，∴MF=2a，133∴×2a×3=，223解得：a=，故②正确；2∵点B是抛物线与y轴的交点，∴当x=0时，y=-3a，∴B0,-3a，∵△ABM为直角三角形，当∠AMB=90°时，222∴AM+BM=AB，22222222∵AM=-2+-4a=4+16a，BM=-1+-a=1+a，AB=-3+-3a=29+9a，2222∴4+16a+1+a=9+9a，整理得：8a=4，22解得：a=或-(舍)2232∴B0,-2，当∠ABM=90°时，222∴AB+BM=AM，2222∴4+16a=9+9a+1+a，整理得：6a=6解得：a=1或-1(舍)∴B0,-3，当∠MAB=90°时，222∴AB+AM=BM，·38· 222∴4+16a+1+a=9+9a，无解；以点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转60°至△AOA，连接AA，PP，AB，如图所示，则△AOA，△POP为等边三角形，∴OP=PP，AP=AP，∴PA+PO+PB=PA+PP+PB≥AB，∵△AOA为等边三角形，A-3,03333∴xA=-，yA=×tan60°=，222333∴A-2,2，32当B0,-2时，232333225496∵AB=2+2+2=4+2，当B0,-3时，232332AB=2+2+3=18+93，∴PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+93，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键．四、解答题247(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，已知二次函数y=x+bx+c图象经过点A(1,-2)和B(0,-5)．(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当y≤-2时，请根据图象直接写出x的取值范围．2【答案】(1)y=x+2x-5，顶点坐标为-1,-6；(2)-3≤x≤1·39· 2【分析】(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代入y=x+bx+c，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；(2)把y=-2代入函数解析式求解x的值，再利用函数图象可得y≤-2时x的取值范围．2【详解】(1)解：∵二次函数y=x+bx+c图象经过点A(1,-2)和B(0,-5)．c=-5b=2∴，解得：，1+b+c=-2c=-522∴抛物线为y=x+2x-5=x+1-6，∴顶点坐标为：-1,-6；2(2)当y=-2时，x+1-6=-2，2∴x+1=4解得：x1=1，x2=-3，如图，当y≤-2时，∴-3≤x≤1．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．48(2023·浙江温州·统考中考真题)一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)．(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？12【答案】(1)y=-x-2+3，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门12【分析】(1)根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把x=0代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；(2)根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点0,2.25代入即可求解．【详解】(1)解：由题意得：抛物线的顶点坐标为2,3，2设抛物线解析式为y=ax-2+3，·40· 把点A8,0代入，得36a+3=0，1解得a=-，1212∴抛物线的函数表达式为y=-x-2+3，128当x=0时，y=>2.44，3∴球不能射进球门；12(2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=-x-2-m+3，1212把点0,2.25代入得2.25=--2-m+3，12解得m1=-5(舍去)，m2=1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．49(2023·湖北武汉·统考中考真题)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)以、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表．飞行时间t/s02468⋯飞行水平距离x/m010203040⋯飞行高度y/m022405464⋯探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．(1)若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125m,MN=5m．若飞机落到MN内(不包括端点M,N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．12【答案】探索发现：x=5t,y=-t+12t；问题解决：(1)120m；(2)大于12.5m且小于26m2【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；问题解决：(1)令二次函数y=0代入函数解析式即可求解；12(2)设发射平台相对于安全线的高度为nm，则飞机相对于安全线的飞行高度y=-t+12t+n．结合225<t<26，即可求解.【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，2设x=kt，y=ax+bx，·41· 4a+2b=22由题意得：10=2k，，16a+4b=401解得：k=5，a=-，b=12，212∴x=5t，y=-t+12t．212问题解决(1)解：依题总，得-t+12t=0．2解得，t1=0(舍)，t2=24，当t=24时，x=120．答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．12(2)解：设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y=-t+12t+n．2∵125<x<130，∴125<5t<130，∴25<t<26，12在y=t+12t+n中，2当t=25,y=0时，n=12.5；当t=26,y=0时，n=26．∴12.5<n<26．答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型．50(2023·河北·统考中考真题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出，并运动2路线为抛物线C1:y=a(x-3)+2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路12n线为抛物线C2:y=-x+x+c+1的一部分．88(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．1【答案】(1)C1的最高点坐标为3，2，a=-，c=1；(2)符合条件的n的整数值为4和59【分析】(1)利用顶点式即可得到最高点坐标；点A(6,1)在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令x=0，即可求得c的值；(2)求得点A的坐标范围为5，1∼7，1，求得n的取值范围，即可求解．2【详解】(1)解：∵抛物线C1:y=a(x-3)+2，∴C1的最高点坐标为3，2，·42· 2∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)+2上，21∴1=a(6-3)+2，解得：a=-，91212∴抛物线C1的解析式为y=-(x-3)+2，令x=0，则c=-(0-3)+2=1；99(2)解：∵到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，∴点A的坐标范围为5，1∼7，1，12n当经过5，1时，1=-×5+×5+1+1，8817解得n=；512n当经过7，1时，1=-×7+×7+1+1，8841解得n=；71741∴≤n≤57∴符合条件的n的整数值为4和5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．51(2023·河南·统考中考真题)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足一次函数关系y=-0.4x2+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足二次函数关系y=ax-1+3.2．(1)求点P的坐标和a的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【答案】(1)P0,2.8，a=-0.4；(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近2【分析】(1)在一次函数上y=-0.4x+2.8，令x=0，可求得P0,2.8，再代入y=ax-1+3.2即可求得a的值；2(2)由题意可知OC=5m，令y=0，分别求得-0.4x+2.8=0，-0.4x-1+3.2=0，即可求得落地点到O点的距离，即可判断谁更近．【详解】(1)解：在一次函数y=-0.4x+2.8，令x=0时，y=2.8，∴P0,2.8，2将P0,2.8代入y=ax-1+3.2中，可得：a+3.2=2.8，解得：a=-0.4；·43· (2)∵OA=3m，CA=2m，∴OC=5m，选择扣球，则令y=0，即：-0.4x+2.8=0，解得：x=7，即：落地点距离点O距离为7m，∴落地点到C点的距离为7-5=2m，2选择吊球，则令y=0，即：-0.4x-1+3.2=0，解得：x=±22+1(负值舍去)，即：落地点距离点O距离为22+1m，∴落地点到C点的距离为5-22-1=4-22m，∵4-22<2，∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．52(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)．测得如下数据：水平距离0105090130170230x/cm竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点x,y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是cm；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不·44· 计)．2【答案】(1)见解析；(2)①49；230；②y=-0.0025x-90+49；(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm【分析】(1)根据描点法画出函数图象即可求解；(2)①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y=0时，x=230；②待定系数法求解析式即可求解；2(3)根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y=-0.0025x-90+49+h-28.75，根据题意当x=274时，y=0，代入进行计算即可求解．【详解】(1)解：如图所示，(2)①观察表格数据，可知当x=50和x=130时，函数值相等，则对称轴为直线x=90，顶点坐标为90,49，又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是49cm，当y=0时，x=230，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；故答案为：49；230．2②设抛物线解析式为y=ax-90+49，将230,0代入得，20=a230-90+49，解得：a=-0.0025，2∴抛物线解析式为y=-0.0025x-90+49；2(3)∵当OA=28.75时，抛物线的解析式为y=-0.0025x-90+49，设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为h-28.75cm，2∴平移后的抛物线的解析式为y=-0.0025x-90+49+h-28.75，依题意，当x=274时，y=0，2即-0.0025274-90+49+h-28.75=0，解得：h=64.39．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．53(2023·浙江台州·统考中考真题)【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min·45· 观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm(观察值)302928.12725.8任务1分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3(1)计算任务2得到的函数解析式的w值．(2)请确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4请你简要写出时间刻度的设计方案．【答案】任务1：见解析；任务2：h=-0.1t+30；任务3：(1)0.05，(2)h=-0.102t+30；任务4：见解析【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；任务3：(1)先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；(2)设h=kt+30，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．【详解】解：任务1：变化量分别为，29-30=-1cm；28.1-29=-0.9cm；27-28.1=-1.1cm；25.8-27=-1.2cm；任务2：设h=kt+b，∵t=0时，h=30，t=10时，h=29；·46· b=30，∴10k+b=29．∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=-0.1t+30．任务3：(1)当t=0时，h=-0.1t+30=30，当t=10时，h=-0.1t+30=29，当t=20时，h=-0.1t+30=28，当t=30时，h=-0.1t+30=27，当t=40时，h=-0.1t+30=26，22222∴w=30-30+29-29+28-28.1+27-27+26-25.8=0.05．(2)设h=kt+30，则222222w=30-30+10k+30-29+20k+30-28.1+30k+30-27+40k+30-25.8=10k+1222+20k+1.9+30k+3+40k+4.222222=3000k+612k+1+1.9+3+4.2．612当k=-=-0.102时，w最小．2×3000∴优化后的函数解析式为h=-0.102t+30．任务4：时间刻度方案要点：①时间刻度的0刻度在水位最高处；②刻度从上向下均匀变大；③每0.102cm表示1min(1cm表示时间约为9.8min)．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．254(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，抛物线y=ax+bx+3与x轴交于A-3,0,B1,0两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式．1(2)拋物线上是否存在一点P，使得S△PBC=S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理2由．2【答案】(1)y=-x-2x+3；(2)存在，点P的坐标为-2,3或3,-122【分析】(1)采用待定系数法，将点A和点B坐标直接代入抛物线y=ax+bx+3，即可求得抛物线的解析式．·47· (2)过线段AB的中点D，且与BC平行的直线上的点与点B，点C连线组成的三角形的面积都等于1S△ABC，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．22【详解】(1)解：因为抛物线y=ax+bx+3经过点A-3,0和点B1,0两点，所以9a-3b+3=0，a+b+3=0解得a=-1，b=-22所以抛物线解析式为：y=-x-2x+3．(2)解：如图，设线段AB的中点为D，可知点D的坐标为-1,0，过点D作与BC平行的直线l，假设与抛物线交于点P1，P2(P1在P2的左边)，(P2在图中未能显示)．设直线BC的函数解析式为y=kx+b1k≠0．因为直线BC经过点B1,0和C0,3，所以k+b1=0，b1=3k=-3解得，b1=3所以，直线BC的函数解析式为：y=-3x+3．又P1P2⎳BC，可设直线P1P2的函数解析式为y=-3x+b2，因为直线P1P2经过点D-1,0，所以3+b2=0．解得b2=-3．所以，直线P1P2的函数解析式为y=-3x-3．根据题意可知，1S△DBC=S△ABC．2又P1P2⎳BC，1所以，直线P1P2上任意一点P与点B，点C连线组成的△PBC的面积都满足S△PBC=S△ABC．22所以，直线P1P2与抛物线y=-x-2x+3的交点P1，P2即为所求，可得2-3x-3=-x-2x+3，化简，得2x-x-6=0，解得x1=3，x2=-2，所以，点P1的坐标为-2,3，点P2的坐标为3,-12．故答案为：存在，点P的坐标为-2,3或3,-12．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．55(2023·广东深圳·统考中考真题)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，·48· 若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．1297【答案】(1)y=-x+4；(2)0.5m；(3)m4122【分析】(1)根据顶点坐标，设函数解析式为y=ax+4，求出A点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；(2)求出y=3.75时对应的自变量的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可得解；3(3)求出直线AC的解析式，进而设出过点K的光线解析式为y=-x+m，利用光线与抛物线相切，求4出m的值，进而求出K点坐标，即可得出BK的长．【详解】(1)解：∵抛物线AED的顶点E0,4，2设抛物线的解析式为y=ax+4，∵四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线，∴AD=BC=4m，OB=2m，∵AB=3m，2∴点A-2,3，代入y=ax+4，得：3=4a+4，1∴a=-，4·49· 12∴抛物线的解析式为y=-x+4；4(2)∵四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，FL=NR=0.75m，∴MG=FN=FL=NR=0.75m，延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABFH均为矩形，∴FH=AB=3m,FN=HJ，∴HL=HF+FL=3.75m，1212∵y=-x+4，当y=3.75时，3.75=-x+4，解得：x=±1，44∴H-1,0，J1,0，∴FN=HJ=2m，∴GM=FN-FG-MN=0.5m；(3)∵BC=4m，OE垂直平分BC，∴OB=OC=2m，∴B-2,0,C2,0，设直线AC的解析式为y=kx+b，k=-32k+b=04则：，解得：，-2k+b=3b=3233∴y=-x+，42∵太阳光为平行光，3设过点K平行于AC的光线的解析式为y=-x+m，43由题意，得：y=-x+m与抛物线相切，412y=-x+442联立，整理得：x-3x+4m-16=0，y=-3x+m4273则：Δ=-3-44m-16=0，解得：m=；1637373∴y=-x+，当y=0时，x=，4161273∴K,0，12∵B-2,0，7397∴BK=2+=m．1212【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．·50·