2024中考数学第一轮专题复习： 圆的有关位置关系（解析版）

圆的有关位置关系(45题)一、单选题1.(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD=25°，则∠A的度数为()A.25°B.35°C.40°D.45°【答案】C【分析】如图，连接OB，证明∠ABO=90°，∠CDB=25°，可得∠BOC=2∠BDC=50°，从而可得∠A=40°．【详解】解：如图，连接OB，∵AB切⊙O于点B，∴∠ABO=90°，∵BD∥OA，∠OCD=25°，∴∠CDB=25°，∴∠BOC=2∠BDC=50°，∴∠A=40°；故选：C.【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键．2.(2023·重庆·统考中考真题)如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是()A.3B.23C.13D.6【答案】C【分析】根据切线的性质及正切的定义得到OB=2，再根据勾股定理得到OC=13．【详解】解：连接OB，∵AC是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AC，∵∠A=30°，AB=23，·1· 3∴在Rt△OAB中，OB=AB⋅tan∠A=23×=2，3∵BC=3，22∴在Rt△OBC中，OC=OB+BC=13，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．3.(2023·重庆·统考中考真题)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD=50°，则∠BAC的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】B【分析】连接OC，先根据圆的切线的性质可得∠OCD=90°，从而可得∠OCA=40°，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接OC，∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠ACD=50°，∴∠OCA=40°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA=40°，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．4.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D为圆心，AB1AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E．若=，则sinC的值是()CD3·2· 2537A.B.C.D.3344【答案】B【分析】作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在Rt△DEC和Rt△BFC，最终得到DE，即可根据正弦函数的定义求解．【详解】解：如图所示，作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，∵AD⊥AB，AB∥CD，∴∠FAD=∠ADC=∠F=90°，∴四边形ADCF为矩形，AF=DC，AD=FC，∴AB为⊙D的切线，由题意，BE为⊙D的切线，∴DE⊥BC，AB=BE，AB1∵=，CD3∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，则BF=AF-AB=CD-AB=2a，BC=BE+CE=a+x，22222在Rt△DEC中，DE=CD-CE=9a-x，22222在Rt△BFC中，FC=BC-BF=a+x-2a，∵DE=DA=FC，2222∴9a-x=a+x-2a，解得：x=2a或x=-3a(不合题意，舍去)，∴CE=2a，2222∴DE=CD-CE=9a-4a=5a，DE5a5∴sinC===，DC3a3故选：B．【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．5.(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC=8，BC=6，则DE的长是()410810808A.B.C.D.99273【答案】B22【分析】连接OE，AE，首先根据勾股定理求出AB=AC+BC=10，然后证明出△BCA∽△BEO，·3· 4010利用相似三角形的性质得到OE=，BE=，证明出△DBE∽△EBA，利用相似三角形的性质求出93810DE=．9【详解】如图所示，连接OE，AE，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，22∴AB=AC+BC=10，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵∠C=90°，∴∠C=∠OEB=90°，∴AC∥OE，∴∠A=∠EOB，∴△BCA∽△BEO，OEOBBEOE10-OEBE∴==，即==，ACAB681064010∴OE=，BE=，93108∴CE=CB-BE=6-=，33228∴AE=AC+CE=10，3∵∠OEB=90°，∴∠OED+∠DEB=90°，∵∠ODE+∠EAD=90°，∠ODE=∠OED，∴∠EAD=∠DEB，又∵∠B=∠B，∴△DBE∽△EBA，10DEBEDE3∴=，即=，AEAB810103810∴解得DE=．9故选：B．【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．二、填空题6.(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在BDC上，已知∠A=50°，则∠D的度数是．·4· 【答案】65°【分析】连接CO,BO，根据切线的性质得出∠ACO=∠ABO=90°，根据四边形内角和得出∠COB=130°，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图CO,BO，∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，∴∠ACO=∠ABO=90°，∵∠A=50°，∴∠COB=360°-90°-90°-50°=130°，∵BC=BC，1∴∠D=∠BOC=65°，2故答案为：65°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得∠COB=130°是解题的关键．7.(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B=28°，则∠P=°．【答案】34【分析】首先根据等边对等角得到∠B=∠OCB=28°，然后利用外角的性质得到∠AOC=∠B+∠OCB=56°，利用切线的性质得到∠OAP=90°，最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵∠B=28°，OB=OC，∴∠B=∠OCB=28°，∴∠AOC=∠B+∠OCB=56°，∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP=90°，∴∠P=180°-∠OAP-∠AOP=34°．故答案为：34．【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．·5· 8.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC=65°，则∠BOD的大小为．【答案】50°【分析】证明∠OBC=90°，可得∠OBD=90°-65°=25°，结合OB=OA，证明∠A=∠OBA=25°，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：∵BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC=90°，∵∠ABC=65°，∴∠OBD=90°-65°=25°，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA=25°，∴∠BOD=2×25°=50°，故答案为：50°【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键．9.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，且∠APB=56°．若点C是⊙O上异于点A,B的一点，则∠ACB的大小为．【答案】62°或118°【分析】根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，根据四边形内角和为360°，得出∠AOB，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC,BC，当点C在优弧AB上时，∵PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB=56°．∴∠AOB=360°-90°-90°-56°=124°∵AB=AB，1∴∠ACB=∠AOB=62°，2当点C在AB上时，∵四边形ACBC是圆内接四边形，·6· ∴∠C=180°-∠C=118°，故答案为：62°或118°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键．10.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连接AD，BE=3,BD=35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．【答案】230或6【分析】连接OD，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出CD的长，勾股定理求出AC和AD的长，分AP=AD和AP=PD两种情况进行求解即可．【详解】解：连接OD，∵以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，OA=OE=OD，∴∠ODB=90°设OA=OE=OD=r，则OB=OE+BE=3+r，222222在Rt△ODB中：OD+BD=OB，即：r+35=3+r，解得：r=6，∴OA=OE=OD=6，∴OB=9，AB=15，AE=12，∵∠C=∠ODB=90°，∴OD∥AC，OBDB93∴===，OADC62∵DB=35，∴CD=25，∴BC=DB+CD=55，22∴AC=AB-BC=10，22∴AD=AC+CD=230；∵△ADP为等腰三角形，当AD=AP时，AP=230，当PA=PD时，∵OA=OD，∴点P与点O重合，∴AP=OA=6，·7· 不存在PD=AD的情况；综上：AP的长为230或6．故答案为：230或6．【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点P的位置，是解题的关键．11.(2023·河南·统考中考真题)如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB=CA．若OA=5，PA=12，则CA的长为．10【答案】3【分析】连接OC，证明△OAC≌△OBC，设CB=CA=x，则PC=PA-CA=12-x，再证明△PAO∽△PBC，列出比例式计算即可．【详解】如图，连接OC，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAC=90°；OA=OB∵CA=CB,OC=OC∴△OAC≌△OBC，∴∠OAC=∠OBC=90°，∴∠PAO=∠PBC=90°，∵∠P=∠P，∴△PAO∽△PBC，POAO∴=，PCBC∵OA=5，PA=12，22∴PO=5+12=13，设CB=CA=x，则PC=PA-CA=12-x，135∴=，12-xx10解得x=，310故CA的长为，310故答案为：．3【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．·8· 12.(2023·湖北·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD=．【答案】35°【分析】如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出∠AOB=125°，再由切线长定理得到BD=BE，进而推出OB是DE的垂直平分线，即∠OHF=90°，则∠AFD=∠AOH-∠OHF=35°．【详解】解：如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，11∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，22∵∠ACB=70°，∴∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=110°，11∴∠OAB+∠OBA=∠CBA+∠CAB=55°，22∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=125°，∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，∴BD=BE，又∵OD=OE，∴OB是DE的垂直平分线，∴OB⊥DE，即∠OHF=90°，∴∠AFD=∠AOH-∠OHF=35°，故答案为：35°．【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．13.(2023·湖南·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．·9· 24【答案】522【分析】根据勾股定理，得AB=8+6=10，根据切线的性质，得到圆的半径等于AB边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可．【详解】∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6，22∴AB=8+6=10，根据切线的性质，得到圆的半径等于AB边上的高，11∴AB×r=AC×BC,22AC×BC8×624∴r===，AB10524故答案为：．5【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键．14.(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B,CB为⊙A的直k径，点C在函数y=(k>0,x>0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为x．【答案】24kk1k【分析】设Ca,a，则OB=a,AC=a，则AC=2BC=2a，根据三角形的面积公式得出S△ACD=1AC⋅OB=6，列出方程求解即可．2k【详解】解：设Ca,，a∵⊙A与x轴相切于点B，∴BC⊥x轴，k∴OB=a,AC=，则点D到BC的距离为a，a∵CB为⊙A的直径，1k∴AC=BC=，22a1kk∴S△ACD=⋅a⋅==6，22a4解得：k=24，故答案为：24．【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半·10· 径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．15.(2023·四川·统考中考真题)如图，∠ACB=45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t=PE+2PF，则t的取值范围是．【答案】22≤t≤22+4【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得CD=DH=22+2，再求得t=PE+PQ=EQ，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：设⊙O与∠ACB两边的切点分别为D、G，连接OG、OD，延长DO交CB于点H，由∠OGC=∠ODC=∠OGH=90°，∵∠ACB=45°，∴∠OHC=45°，∴OH=2OG=22，∴CD=DH=22+2，如图，延长EP交CB于点Q，同理PQ=2PF，∵t=PE+2PF，∴t=PE+PQ=EQ，当EQ与⊙O相切时，EQ有最大或最小值，连接OP，∵D、E都是切点，∴∠ODE=∠DEP=∠OPE=90°，∴四边形ODEP是矩形，∵OD=OP，∴四边形ODEP是正方形，∴t的最大值为EQ=CE=CD+DE=22+4；·11· 如图，同理，t的最小值为EQ=CE=CD-DE=22；综上，t的取值范围是22≤t≤22+4．故答案为：22≤t≤22+4．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得t=EQ是解题的关键．16.(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．(1)若∠A=30°,AB=6，则BD的长是(结果保留π)；CF1CE(2)若=，则=．AF3AE1【答案】2π；2【分析】(1)连接OC,OD，根据点C为BD的中点，根据已知条件得出∠BOD=120°，然后根据弧长公式即可求解；(2)连接OC，根据垂径定理的推论得出OC⊥BD，EC是⊙O的切线，则OC⊥EC,得出EC∥EB1BD，根据平行线分线段成比例得出=，设EB=2a，则AB=6a，勾股定理求得EC,J进而即可求AB3解．【详解】解：(1)如图，连接OC,OD，∵点C为BD的中点，∴BC=CD，又∵∠A=30°，∴∠BOC=∠COD=2∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵AB=6，1∴OB=AB=3，2120∴l=×π×3=2π，BD180故答案为：2π．(2)解：如图，连接OC，∵点C为BD的中点，∴BC=CD，∴OC⊥BD，∵EC是⊙O的切线，·12· ∴OC⊥EC,∴EC∥BDCFEB∴=，AFABCF1∵=，AF3EB1∴=，AB3设EB=2a，则AB=6a，BO=3a,EO=EB+BO=5a，2222∴EC=EO-CO=5-3a=4a，AE=2a+6a=8a，CE4a1∴==．AE8a21故答案为：．2【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．17.(2023·上海·统考中考真题)在△ABC中AB=7,BC=3,∠C=90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是．【答案】10<r≤2102【分析】先画出图形，连接BE，利用勾股定理可得BE=9+4r，AC=210，从而可得10<r≤210，再根据⊙B与⊙E有公共点可得一个关于r的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：由题意画出图形如下：连接BE，∵⊙B过点A，且AB=7，∴⊙B的半径为7，∵⊙E过点D，它的半径为r，且CD=DE，∴CE=CD+DE=2r，∵BC=3,∠C=90°，22222∴BE=BC+CE=9+4r，AC=AB-BC=210，∵D在边AC上，点E在CA延长线上，CD≤ACr≤210∴，即，CE>AC2r>210∴10<r≤210，∵⊙B与⊙E有公共点，29+4r≤7+r①∴AB-DE≤BE≤AB+DE，即，27-r≤9+4r②2不等式①可化为3r-14r-40≤0，220解方程3r-14r-40=0得：r=-2或r=，32画出函数y=3r-14r-40的大致图象如下：20由函数图象可知，当y≤0时，-2≤r≤，3·13· 20即不等式①的解集为-2≤r≤，320同理可得：不等式②的解集为r≥2或r≤-，320则不等式组的解集为2≤r≤，3又∵10<r≤210，半径r的取值范围是10<r≤210，故答案为：10<r≤210．【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．三、解答题18.(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．(1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度数．(2)若OB=2,BD=1，求CE的长．【答案】(1)115°2(2)CE=53【分析】(1)根据三角形的外角的性质，∠ACD=∠AEC+∠EAC即可求解．(2)根据CD是⊙O的切线，可得∠OCD=90°，在Rt△OCD中，勾股定理求得CD=5，根据OC∥CDODAE，可得=，进而即可求解．CEOA【详解】(1)解：∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC=90°，∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°．(2)∵CD是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，∴∠OCD=90°．在Rt△OCD中，∵OC=OB=2,OD=OB+BD=3，22∴CD=OD-OC=5．∵∠OCD=∠AEC=90°，∴OC∥AE·14· CDOD53∴=，即=，CEOACE22∴CE=5．3【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．19.(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．(1)求证：CF是⊙O的切线；3(2)若直径AD=10,cosB=，求FD的长．5【答案】(1)详见解析90(2)7【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；(2)根据已知条件可知△FCD∽△FAC，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段FD的长度．【详解】(1)证明：连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°，又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD，又∵∠DCF=∠CAD，∴∠DCF+∠OCD=90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；3(2)解：∵∠B=∠ADC,cosB=，53∴cos∠ADC=，53CD∵在Rt△ACD中，cos∠ADC==,AD=10,5AD3∴CD=AD⋅cos∠ADC=10×=6,522∴AC=AD-CD=8，CD3∴=，AC4·15· ∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，∴△FCD∽△FAC，CDFCFD3∴===，ACFAFC4设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10，2又∵FC=FD⋅FA，2即(4x)=3x(3x+10)，30解得x=(取正值)，790∴FD=3x=，7【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．20.(2023·江西·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=4，∠C=64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为ABD上一点，且∠ADE=40°．(1)求BE的长；(2)若∠EAD=76°，求证：CB为⊙O的切线．10【答案】(1)π9(2)见解析【分析】(1)如图所示，连接OE，先求出OE=OB=OA=2，再由圆周角定理得到∠AOE=2∠ADE=80°，进而求出∠BOE=100°，再根据弧长公式进行求解即可；(2)如图所示，连接BD，先由三角形内角和定理得到∠AED=64°，则由圆周角定理可得∠ABD=∠AED=64°，再由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，进而求出∠BAC=26°，进一步推出∠ABC=90°，由此即可证明BC是⊙O的切线．【详解】(1)解：如图所示，连接OE，∵AB是⊙O的直径，且AB=4，∴OE=OB=OA=2，∵E为ABD上一点，且∠ADE=40°，∴∠AOE=2∠ADE=80°，∴∠BOE=180°-∠AOE=100°，100×π×210∴BE的长==π；1809(2)证明：如图所示，连接BD，∵∠EAD=76°，∠ADE=40°，·16· ∴∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=64°，∴∠ABD=∠AED=64°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAC=90°-∠ABD=26°，∵∠C=64°，∴∠ABC=180°-∠C-∠BAC=90°，即AB⊥BC，∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．21.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)(2)在(1)的条件下，求证：BD=BF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据尺规作图，过点B作AB的垂线，交CE于点F，即可求解；(2)根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明∠BDC=∠BFC，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出BCD=∠BCF，进而证明△BCD≌△BCFAAS，即可得证．【详解】(1)解：方法不唯一，如图所示．(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵CE∥AB，∴∠ABC=∠BCF，∴∠BCF=∠ACB．∵点D在以AB为直径的圆上，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°．又∵BF为⊙O的切线，∴∠ABF=90°．·17· ∵CE∥AB，∴∠BFC+∠ABF=180°，∴∠BFC=90°，∴∠BDC=∠BFC．∠BCD=∠BCF,∵在△BCD和△BCF中，∠BDC=∠BFC,BC=BC,∴△BCD≌△BCFAAS．∴BD=BF．【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．22.(2023·辽宁·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC．(1)求证：EF与⊙O相切；4(2)若BF=1，sin∠AFE=，求BC的长．5【答案】(1)见解析24(2)BC=5【分析】(1)利用圆周角定理得到∠EOB=2∠EAB，结合已知推出∠CAB=∠EOB，再证明△OFE∽△ABC，推出∠OEF=∠C=90°，即可证明结论成立；(2)设⊙O半径为x，则OF=x+1，在Rt△OEF中，利用正弦函数求得半径的长，再在Rt△ABC中，解直角三角形即可求解．【详解】(1)证明：连接OE，∵BE=BE，∴∠EOB=2∠EAB，∵∠CAB=2∠EAB，∴∠CAB=∠EOB，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠AFE=∠ABC，∴△OFE∽△ABC，∴∠OEF=∠C=90°，∵OE为⊙O半径，∴EF与⊙O相切；(2)解：设⊙O半径为x，则OF=x+1，4∵∠AFE=∠ABC，sin∠AFE=，5·18· 4∴sin∠ABC=，54在Rt△OEF中，∠OEF=90°，sin∠AFE=，5OE4x4∴=，即=，OF5x+15解得x=4，经检验，x=4是所列方程的解，∴⊙O半径为4，则AB=8，4在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠ABC=，AB=8，532∴AC=AB⋅sin∠ABC=，52224∴BC=AB-AC=．5【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．23.(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若∠C=30°，CD=23，求BD的长．【答案】(1)见解析4(2)π3【分析】(1)如图：OD，然后根据等边对等角可得∠B=∠ODB、∠B=∠C即∠ODB=∠C，再根据OD∥AC可得∠ODE=∠DEC，进而得到∠ODE=90°即可证明结论；(2)如图：连接AD，有圆周角定理可得AD⊥BC，再解直角三角形可得AC=4，进而得到OB=11AB=AC=2，然后说明∠BOD=120°，最后根据弧长公式即可解答．22【详解】(1)证明：如图：连接OD∵OB=OD，∴∠B=∠ODB,∵AB=AC，∴∠B=∠C,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∴∠ODE=∠DEC。∵DE⊥AC，·19· ∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(2)解：如图：连接AD∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC,在Rt△ADC中，∠C=30°，CD=23，23∴cos30°=，AC∴AC=4，11∴OB=AB=AC=2，22∵∠C=30°，∴∠B=∠ODB=30°，∴∠BOD=120°，120×π×24∴l==π．BD1803【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．24.(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD=2∠DAF．(1)求证：CF是⊙O切线；2(2)若AF=10，sinF=，求CD的长．3【答案】(1)见解析85(2)3【分析】(1)根据垂径定理和圆周角定理可推出∠COB=2∠DAF，利用已知条件进行等量转换即可求出∠COB=∠FCD，最后利用CD⊥AB可证明∠FCD+∠OCE=90°，从而证明CF是⊙O切线．2CEOE(2)根据互余的两个角相等，利用sinF=可求出==3CFOC2，设参数表示出OE和OC，再根据勾股定理用参数表示出CE和3EF，最后利用AF=10即可求出参数的值，从而求出CE长度，即可求CD的长．【详解】(1)解：连接OC，OD，如图所示，·20· ∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴BC=BD，∴∠COB=∠BOD，∵∠BOD=2∠DAF，∴∠COB=2∠DAF，∵∠FCD=2∠DAF，∴∠COB=∠FCD，∵CD⊥AB，∴∠COB+∠OCE=90°，∴∠FCD+∠OCE=90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O切线．(2)解：连接OC，如图所示，由(1)得，OC⊥CF，∵CE⊥AB，∴∠OCF=∠CEF=90°，∴∠F=∠OCE．2∵sinF=，3CEOE2∴==．CFOC3设OE=2x则OC=OA=3x，2222∴在Rt△OCE中，CE=OC-OE=9x-4x=5x，35x∴CF=．22235x225∴在Rt△CEF中，EF=CF-CE=-5x=x．22∵AF=10，5∴AF=AO+OE+EF=3x+2x+x=10，24∴x=．345∴CE=5x=．3∵CE⊥AB，1∴CE=ED=CD．285∴CD=．385故答案为：．3【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度．25.(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是·21· BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若BC=6，AC=8，求CE,DE的长．【答案】(1)证明见解析2418(2)EC=，DE=55【分析】(1)根据“连半径，证垂直”即可，(2)先由“直径所对的圆周角是直角”，证△ABC是直角三角形，用勾股定理求出AB长，再通过三角形相似即可求解．【详解】(1)连接OC∵C为BD的中点，��∴CD=BC，∴∠1=∠2，又∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AE∥OC，又∵CE⊥AE，∴CE⊥OC，OC为半径，∴CE为⊙O的切线，(2)∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6,AC=8，∴AB=10，又∵∠1=∠2，∠AEC=∠ACB=90°，∴△AEC∽△ACB，ECACEC8∴=，即=，CBAB61024∴EC=，5∵CD=CB，∴CD=BC=6，在Rt△DEC中，由勾股定理得：·22· 22224218DE=CD-CE=6-5=．5【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．26.(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠A．(1)求证：△ACD∽△DCB；(2)求证：CD是⊙O的切线；3(3)若tanE=,AC=10，求⊙O的半径．5【答案】(1)见解析(2)见解析(3)⊙O的半径为3.2【分析】(1)利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；(2)连接OD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；CDBCBD3(3)由相似三角形的性质得出===，由比例线段求出CD和BC的长，可求出ABACCDDA5的长，则可得出答案．【详解】(1)证明：∵∠ACD=∠DCB，∠BDC=∠A，∴△ACD∽△DCB；(2)证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∵∠BDC=∠A，∴∠BDC+∠ODB=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；3(3)解：∵∠ADB=90°，tanE=，∠A=∠E，5BD3∴=，AD5∵△ACD∽△DCB，·23· CDBCBD3∴===，ACCDDA5∵AC=10，18∴CD=6，BC==3.6，5∴AB=AC-BC=10-3.6=6.4．∴⊙O的半径为3.2．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．27.(2023·广东深圳·统考中考真题)如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC=4(点C在A的上方)；②连接OC，交⊙O于点D；③连接BD，与AC交于点E．(1)求证：BD为⊙O的切线；(2)求AE的长度．【答案】(1)画图见解析，证明见解析3(2)AE=222【分析】(1)根据题意作图，首先根据勾股定理得到OC=OA+AC=5，然后证明出△AOC≌△DOBSAS，得到∠OAC=∠ODB=90°，即可证明出BD为⊙O的切线；(2)首先根据全等三角形的性质得到BD=AC=4，然后证明出△BAE∽△BDO，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】(1)如图所示，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∵OA=3，AC=4，22∴OC=OA+AC=5，∵OA=3，AB=2，∴OB=OA+AB=5，∴OB=OC，又∵OD=OA=3，∠AOC=∠DOB，∴△AOC≌△DOBSAS，·24· ∴∠OAC=∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∵点D在⊙O上，∴BD为⊙O的切线；(2)∵△AOC≌△DOB，∴BD=AC=4，∵∠ABE=∠DBO，∠BAE=∠BDO，∴△BAE∽△BDO，AEABAE2∴=，即=，ODBD343∴解得AE=．2【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．28.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知：点P是⊙O外一点．(1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)在(1)的条件下，若点D在⊙O上(点D不与E，F两点重合)，且∠EPF=30°．求∠EDF的度数．【答案】(1)见解析(2)∠EDF=75°或105°1【分析】(1)①连接PO，分别以点P,O为圆心，大于PO的长为半径画圆，两圆交于点M,N两点，作2直线MN交OP于点A，②以点A为圆心，OA为半径画圆，与⊙O交于E,F两点，作直线PE,PF，(2)根据切线的性质得出∠PEO=∠PFO=90°，根据四边形内角和得出∠EOF=150°，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．【详解】(1)解：如图所示，1①连接PO，分别以点P,O为圆心，大于PO的长为半径画弧，两弧交于点M,N两点，作直线MN2交OP于点A，②以点A为圆心，OA为半径画圆，与⊙O交于E,F两点，作直线PE,PF，·25· 则直线PE,PF即为所求；(2)如图所示，点D在⊙O上(点D不与E，F两点重合)，且∠EPF=30°，∵PE,PF是⊙O的切线，∴∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EOF=360°-90°-90°-30°=150°，1当点D在优弧EF上时，∠EDF=∠EOF=75°，2当点D在劣弧EF上时，∠EDF=180°-75°=105°，∴∠EDF=75°或105°．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．29.(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BD=5，tan∠ADB=3，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．【答案】(1)见解析50π(2)9【分析】(1)连接OD，∠OAD=∠ODA，由角平分线的定义可得∠OAD=∠BAD，从而可得∠ODA=∠BAD，再根据平行线的判定可得OD∥AB，从而可得∠ODC=∠B=90°，再根据切线的判定即可得出结论；(2)连接OF，DE，由∠B=90°，tan∠ADB=3，可得∠ADB=60°，∠BAD=30°，再由直角三角形的性质可得AD=2BD=10，再由圆周角定理可得∠ADE=90°，根据角平分线的定义可得∠DAE=2031103∠BAD=30°，利用锐角三角函数求得AE=，再由直角三角形的性质可得OA=AE=，323证明△AOF是等边三角形，可得∠AOF=60°，从而证明△ODF是等边三角形，可得OF垂直平分AD，1再由BD=AD，可得S△ADF=S△AOF，从而可得S阴影=S扇形OAF，再利用扇形的面积公式计算即可．2【详解】(1)证明：连接OD，∵OA，OD是⊙O的半径，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠BAD，∴∠ODA=∠BAD，∴OD∥AB，·26· ∴∠ODC=∠B=90°，∴OD⊥BC于点D，又∵OD为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．(2)解：连接OF，DE，∵在Rt△ABD中，∠B=90°，tan∠ADB=3，∴∠ADB=60°，∠BAD=30°，∵BD=5，∴AD=2BD=10，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAD=30°，在Rt△ADE中，AD=10，AD203∴AE==，cos30°31103∴OA=AE=，23∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF=60°，∵OD∥AB，∴∠DOF=60°，∴△ODF是等边三角形，∴OF⊥AD，又∵OA=OD，∴OF垂直平分AD，∵∠B=90°，∠BAD=30°，1∴BD=AD，2∴S△ADF=S△AOF，103260π×350π∴S阴影=S扇形OAF==．3609【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．30.(2023·福建·统考中考真题)如图，已知△ABC内接于⊙O,CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．·27· (1)求证：AO∥BE；(2)求证：AO平分∠BAC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)由切线的性质可得∠OAF=90°，由圆周角定理可得∠CBE=90°，即∠OAF=∠CBE=90°，再根据平行线的性质可得∠BAF=∠ABC，则根据角的和差可得∠OAB=∠ABE，最后根据平行线的判定定理即可解答；(2)由圆周角定理可得∠ABE=∠ACE，再由等腰三角形的性质可得∠ACE=∠OAC，进而得到∠ABE=∠OAC，再结合∠OAB=∠ABE得到∠OAB=∠OAC即可证明结论．【详解】(1)证明∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF=90°．∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE=90°．∴∠OAF=∠CBE=90°．∵AF∥BC，∴∠BAF=∠ABC，∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC，即∠OAB=∠ABE，∴AO∥BE．(2)解：∵∠ABE与∠ACE都是AE所对的圆周角，∴∠ABE=∠ACE．∵OA=OC，∴∠ACE=∠OAC，∴∠ABE=∠OAC．由(1)知∠OAB=∠ABE，∴∠OAB=∠OAC，∴AO平分∠BAC．【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．31.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．·28· (1)求证：①CD是⊙O的切线；②△DEF∽△DBA；(2)若AB=5，DB=6，求sin∠DFE．【答案】(1)①见解析，②见解析24(2)25【分析】(1)①根据菱形的性质得出AB∥CD，根据DH⊥AB，可得CD⊥OD，进而即可得证；②连接HF，根据等弧所对的圆周角相等得出∠DEF=∠DHF，根据直径所对的圆周角是直角得出∠DFH=90°，进而可得∠DHF=∠DBA=∠DEF，结合∠EDF=∠BDA，即可得证；(2)连接AC交BD于G．根据菱形的性质以及勾股定理求得AG=4,AC=8，进而根据等面积法求得DH，由△DEF∽△DBA得：∠DFE=∠DAH，在Rt△ADH中，即可求解．【详解】(1)证明：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD∵DH⊥AB，∴∠CDH=∠DHA=90°，则CD⊥OD又∵D为⊙O的半径的外端点，∴CD是⊙O的切线．②连接HF，∵DF=DF∴∠DEF=∠DHF∵DH为⊙O直径，∴∠DFH=90°，而∠DHB=90°∴∠DHF=∠DBA=∠DEF，又∵∠EDF=∠BDA∴△DEF∽△DBA．(2)解：连接AC交BD于G．∵菱形ABCD，BD=6，∴AC⊥BD，AG=GC，DG=GB=3，22∴在Rt△AGB中，AG=AB-BG=4，∴AC=2AG=8，·29· 1∵S菱形ABCD=AC⋅BD=AB⋅DH，21124∴DH=×6×8×=，255DHDH24124在Rt△ADH中，sin∠DAH===×=，ADAB5525由△DEF∽△DBA得：∠DFE=∠DAH，24∴sin∠DFE=sin∠DAH=．25【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键．32.(2023·广西·统考中考真题)如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为4，OC=5，求PA的长．【答案】(1)见解析(2)AP=12【分析】(1)首先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后根据角平分线的性质定理得到OA=OB即可证明；22(2)首先根据勾股定理得到BC=OC-OB=3，然后求得AC=OA+OC=4+5=9，最后利用tan∠BCO=tan∠ACP，代入求解即可．【详解】(1)∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD，∴OA=OB，∴PB是⊙O的切线；(2)∵⊙O的半径为4，∴OA=OB=4，∵OB⊥PD，OC=5，22∴BC=OC-OB=3，AC=OA+OC=4+5=9，∵∠BCO=∠ACP，∴tan∠BCO=tan∠ACP，BOAP4AP∴=，即=，BCAC39∴AP=12．【点睛】此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知·30· 识点．33.(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．(1)求证：AB=AC；(2)若AE=3,DE=6，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)AF=9【分析】(1)连接AD，根据已知可得OD∥AC，则∠C=∠ODB，又∠B=∠ODB，等量代换得出∠C=∠B，即可证明AB=AC；AE1DE(2)连接BF，证明∠ADE=∠C，在Rt△ADE中，tan∠ADE===tan∠C=，求得ECED2EC1=2DE=12，根据DE∥BF得出EF=EC=12，进而可得BF=FC=12，根据AF=EF-AE，即可2求解．【详解】(1)证明：如图所示，连接AD，∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C=∠ODB，又OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠C=∠B，∴AB=AC；(2)解：连接BF，AD，如图，则AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADC=∠ADB=∠AED=90°，∴∠DAE+∠ADE=∠DAC+∠C，∴∠ADE=∠C，在Rt△ADE中，AE=3,DE=6，AE1DE∴tan∠ADE===tan∠C=，ED2EC∴EC=2DE=12，又∵AB是直径，∴BF⊥CF，∴DE∥BF，·31· ECCD∴=，EFDB∴EF=EC=12，BF1∴tanC==，FC21∴BF=FC=12，2∴AF=EF-AE=12-3=9．【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．34.(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD=∠A．(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若∠ACD=120°，CD=23，求图中阴影部分的面积(结果用含π的式子表示)．【答案】(1)见解析2π(2)23-3【分析】(1)连接OC，由AB是直径，得∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，再证∠OCA=∠A=∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，于是即可证明结论成立；(2)由圆周角定理求得∠AOC=2∠A=60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC=2，从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠OCA=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；(2)解：∵∠ACD=120°，∠ACB=90°，∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°，∴∠AOC=2∠A=60°，CD∵在Rt△OCD中，tan∠AOC==tan60°，CD=23，OC23∴=3，解得OC=2，OC160×π×22π∴S阴=S△ACD-S扇形BOC=×23×2-=23-．21803·32· 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，切线的判定以及扇形的面积公式是解题的关键．35.(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC,BC，AB于点D,E,F，且点E是弧DF的中点．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若CE=2，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．【答案】(1)见解析π(2)2-2【分析】(1)连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论；(2)根据S阴影=S△OEB-S扇OEF，分别求出S△OEB和S扇OEF即可得出答案．【详解】(1)连接OE、OD，∵∠C=90°,AC=BC，∴∠OAD=∠B=45°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO=45°，∴∠AOD=90°，∵点E是弧DF的中点，1∴∠DOE=∠EOF=∠DOF=45°，2∴∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°，∴OE⊥BC，∵OE为半径，∴BC是⊙O的切线；(2)∵OE⊥BC，∠B=45°，∴△OEB为等腰直角三角形，设BE=OE=x，则OB=2x，∴AB=x+2x，∵AB=2BC，∴x+2x=22+x，∴x=2，2145°π×2π∴S阴影=S△OEB-S扇OEF=×2×2-=2-．2360°2【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理．·33· 36.(2023·四川内江·统考中考真题)如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC的延长线于点M．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当∠F=30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，ME=1，连接BC交AD于点P，求AP的长．【答案】(1)见解析(2)△ABM是等边三角形，理由见解析4(3)AP=33【分析】(1)证明OD∥AC，可推出OD⊥DE，即可证明直线DE是⊙O的切线；(2)证明∠1=∠2=30°，∠CBD=∠1=30°，得到∠ABC=30°，据此计算即可证明结论成立；(3)利用含30度的直角三角形的性质求得MD=2，得到等边△ABM的边长，在Rt△ACP中，利用余弦函数即可求解．【详解】(1)证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2，∵OA=OD，∴∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；(2)解：△ABM是等边三角形，理由如下：∵DE⊥AC，∠F=30°，∴∠EAF=60°，∴∠1=∠2=30°，∴∠CBD=∠1=30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠EAF=30°，∴∠ABM=∠ABC+∠CBD=60°，·34· ∴△ABM是等边三角形；(3)解：∵△ABM是等边三角形，∴∠M=60°，则∠MDE=30°，∵ME=1，∴MD=2ME=2，∴AB=MB=4，∵AB为⊙O的直径，∠ABC=30°，1∴AC=AB=2，2AC2∵∠1=30°，cos∠1=，即cos30°=，APAP4∴AP=3．3【点睛】此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．37.(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．(1)求证：DC是⊙O的切线；1(2)若AE=2，sin∠AFD=，①求⊙O的半径；②求线段DE的长．3【答案】(1)证明见解析(2)①3；②2【分析】(1)根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到∠CAE=∠ACO，推出AD∥OC，进而得到OC⊥DC，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论；(2)①连接BE，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到BE∥DF，进而得到∠AFD=∠ABE，再利用锐角三角函数，求得AB=6，即可求出⊙O的半径；②利用锐角三角函数，分别求出BF和AD的长，即可得到线段DE的长．【详解】(1)证明：如图，连接OC，∵点C是BE的中点，∴CE=CB，∴∠CAE=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠CAE=∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，·35· ∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；(2)解：①如图，连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AD，∵AD⊥DF，∴BE∥DF，∴∠AFD=∠ABE，1∵sin∠AFD=，3AE1∴sin∠ABE==，AB3∵AE=2，∴AB=6，∴⊙O的半径为3；②由(1)可知，OC⊥DF，OC1∴sin∠AFD==，OF3∵OC=3，OF=OB+BF=3+BF，31∴=，3+BF3∴BF=6，∴AF=AB+BF=6+6=12，∵AD⊥DF，ADAD1∴sin∠AFD===，AF123∴AD=4，∵AE=2，∴DE=AD-AE=4-2=2．【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键．38.(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，AB为⊙O的直径，点C是AD的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．(1)求证：CE是⊙O切线；·36· (2)若BE=3，AB=4，求BC的长；(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积(用含有π的式子表示)．【答案】(1)见解析(2)BC=232(3)π3【分析】(1)连接OC，证明OC∥BE，即可得到结论；ABBC(2)连接AC，证明△ACB∽△CEB，从而可得=，再代入求值即可；BCBE(2)连接OD，CD，证明CD∥AB，从而可得S△COD=S△CBD，，求出扇形COD的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】(1)证明：连接OC，∵点C是AD的中点，，∴AC=DC，∴∠ABC=∠EBC，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∴∠EBC=∠OCB，∴OC∥BE，∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE，∴CE是⊙O切线；(2)连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ABC=∠EBC，∴△ACB∽△CEB，ABBC∴=，BCBE4BC∴=，BC3∴BC=23；(3)连接OD，CD，∵AB=4，∴OC=OB=2，∵在Rt△BCE中，BC=23,BE=3，BE33∴cos∠CBE===，BC232∴∠CBE=30°，∴∠COD=60°，∴∠AOC=60°，·37· ∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠CDO=∠AOC，∴CD∥AB，∴S△COD=S△CBD，260π×22∴S阴=S扇形COD==π，3603【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．39.(2023·山东临沂·统考中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB=AC,AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠ABC=75°,BC=2，求CD的长．【答案】(1)见解析4π(2)3【分析】(1)连接AO并延长交BC于点F，根据⊙O是△ABC的外接圆，得到AO⊥BC，由平行线的性质，得到AO⊥AE，即可得证．(2)连接OC，等边对等角，求出∠BAC的度数，圆周角定理求出∠BOC度数，得到△BOC为等边三角形，求出半径和∠COD的度数，利用弧长公式进行计算即可．【详解】(1)证明：连接AO并延长交BC于点F，∵⊙O是△ABC的外接圆，∴点O是△ABC三边中垂线的交点，∵AB=AC，∴AO⊥BC，∵AE∥BC，∴AO⊥AE，∵AO是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；(2)解：连接OC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=75°，·38· ∴∠BAC=180°-2×75°=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴OC=OB=BC=2，∴∠COD=180°-∠BOC=120°，120×2π4π∴CD的长为=．1803【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，求弧长，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．40.(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC=∠BDA，点E在DA的延长线上，点AM在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)若AC=6,BD=5,AC>CD，求BC的长；(3)若DE⋅AM=AC⋅AD，求证：BM⊥CE．【答案】(1)见解析(2)3(3)见解析【分析】(1)由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，则∠BAC+∠ABC=90°，由∠BAC=∠BDA得到∠BDA+∠ABC=90°，则∠BAD=90°，结论得证；BCACACBC6(2)证明△ACB∽△DCA，则==，可得=，解得BC=2或3，由ACDCBD-BC65-BCAC>CD即可得到BC的长；ACAB(3)先证明△ABC∽△DAC，则=，得到AC⋅AD=CD⋅AB，由DE⋅AM=AC⋅AD得到DCADAMABDE⋅AM=CD⋅AB，则=，由同角的余角相等得到∠BAM=∠CDE，则△AMB∽△DCE，得DCDE∠E=∠ABM，进一步得到∠EGA+∠E=∠ABM+∠BGN=90°，则∠BNG=90°，即可得到结论．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵∠BAC=∠BDA，∴∠BDA+∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，·39· ∴ED是⊙O的切线；(2)∵∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DCA=90°，∴△ACB∽△DCA，BCACAC∴==，ACDCBD-BCBC6∴=，65-BC解得BC=2或3，当BC=2时，CD=BD-BC=3，当BC=3时，CD=BD-BC=2，∵AC>CD，即6>CD，∴BC=3；(3)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCA=90°，∵∠BAC=∠BDA，∴△ABC∽△DAC，ACAB∴=，DCAD∴AC⋅AD=CD⋅AB，∵DE⋅AM=AC⋅AD，∴DE⋅AM=CD⋅AB，AMAB∴=，DCDE∵∠BAM=∠CDE，∴△AMB∽△DCE，∴∠E=∠ABM，∵∠EGA=∠BGN，∴∠EGA+∠E=∠ABM+∠BGN=90°，∴∠BNG=90°，∴BM⊥CE．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．41.(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,⊙O经过A,D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG=GD．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5:8，求tan∠ADB的值．·40· 【答案】(1)见解析(2)tan∠ADB=2【分析】(1)利用垂径定理得OF⊥AD，利用菱形的性质得∠GAF=∠BAF，利用半径相等得∠OAF=∠OFA，即可证明∠OAF+∠BAF=90°，据此即可证明结论成立；(2)设AG=GD=4a，由题意得OA:AG=5:4，求得OA=5a，由勾股定理得到OG=3a，求得FG=2a，利用菱形的性质求得∠ADB=∠AFG，据此求解即可．【详解】(1)证明：连接OA，∵AG=GD，由垂径定理知OF⊥AD，∴∠OGA=∠FGA=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠GAF=∠BAF，∴∠GAF+∠AFG=90°=∠BAF+∠AFG，∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∴∠OAF+∠BAF=∠OAB=90°，又∵OA为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AG=GD，∴设AG=GD=4a，∵⊙O的半径与菱形的边长之比为5:8，∴在Rt△OAG中，OA:AG=5:4，22∴OA=5a，OG=OA-AG=3a，∴FG=OF-OG=2a，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，即∠DEA=90°=∠FGA，∴∠ADB=∠AFG，AG4a∴tan∠ADB=tan∠AFG===2．FG2a【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．42.(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，且∠BCD1=∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．2(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；·41· 3(2)若sinB=,⊙O的半径为3，求AC的长．5【答案】(1)直线AB与⊙O相切，理由见解析(2)6【分析】(1)连接OD，根据圆周角定理，得到∠BOD=2∠BCD=∠A，进而得到∠B+∠A=∠B+∠BOD=90°，即可得出AB与⊙O相切；(2)解直角三角形ODB，求出OB的长，进而求出BC的长，再解直角三角形ACB，求出AC的长即可．【详解】(1)解：直线AB与⊙O相切，理由如下：连接OD，则：∠BOD=2∠BCD，1∵∠BCD=∠A，即：2∠BCD=∠A，2∴∠BOD=∠A，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BOD=∠B+∠A=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥AB，∵OD为⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；3(2)解：∵∠ODB=90°，sinB=,⊙O的半径为3，5OD3∴OD=OC=3,sinB==，OB5∴OB=5，∴BC=OB+OC=8，∵∠ACB=90°，AC3∴sinB==，AB5设：AC=3x,AB=5x，22则：BC=AB-AC=4x=8，∴x=2，∴AC=3x=6．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键．43.(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD=AE，CA=CE．·42· (1)求证：直线AE是⊙O是的切线；2(2)若sinE=，⊙O的半径为3，求AD的长．3【答案】(1)见解析85(2)3【分析】(1)由∠ACB=90°，可知AB是⊙O的直径，由AC=AC，可得∠ABC=∠ADC，由AD=AE，CA=CE，可得∠E=∠ADC，∠CAE=∠E，则∠CAE=∠ADC=∠ABC，由∠ABC+∠CAB=90°，可得∠CAE+∠CAB=90°，即∠OAE=90°，进而结论得证；1(2)作CF⊥AE，垂足为E，如图所示，由题意知，△ACE是等腰三角形，则EF=AE，由题意知，222AB=6，sin∠ABC=sin∠E，可求AC=AB⋅sinB=6×=4，CE=4，CF=CE⋅sinE=4×=3382245，由勾股定理得EF=CE-CF=，根据AD=AE=2EF，计算求解即可．33【详解】(1)证明：∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，∵AC=AC，∴∠ABC=∠ADC，∵AD=AE，CA=CE，∴∠E=∠ADC，∠CAE=∠E，∴∠CAE=∠ADC=∠ABC，∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAE+∠CAB=90°，∴∠OAE=90°，又∵OA是半径，∴直线AE是⊙O是的切线；(2)解：作CF⊥AE，垂足为E，如图所示，∵CA=CE，∴△ACE是等腰三角形，∵CF⊥AE，1∴EF=AE，2由题意知，AB=6，sin∠ABC=sin∠E，2∴AC=AB⋅sinB=6×=4，3∴CE=4，28∴CF=CE⋅sinE=4×=，332245由勾股定理得EF=CE-CF=，385∴AD=AE=2EF=，385∴AD的长为．3·43· 【点睛】本题考查了切线的判定，90°的圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．44.(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC=BD，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD=2∠F，连接BD．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)判断△DGB的形状，并说明理由；(3)当BD=2时，求FG的长．【答案】(1)见解析(2)△DGB是等腰三角形，理由见解析(3)FG=4【分析】(1)连接CO，根据圆周角定理得出∠BOD=∠BOC=2∠BAC，根据已知得出∠F=∠BAC，根据DE⊥AC得出∠AEG=90°，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得∠FBG=∠AEG=90°，即可得证；(2)根据题意得出AD=AC，则∠ABD=∠ABC，证明EF∥BC，得出∠AGE=∠ABC，等量代换得出∠FGB=∠ABD，即可得出结论；(3)根据∠FGB=∠ABD，AB⊥BF，设∠FGB=∠ABD=α，则∠DBF=∠F=90°-α，等边对等角得出DB=DF，则FG=2DG=2DB=4．【详解】(1)证明：如图所示，连接CO，∵BC=BD，∴∠BOD=∠BOC=2∠BAC，∵∠BOD=2∠F，∴∠F=∠BAC，∵DE⊥AC，∴∠AEG=90°，∵∠AGE=∠FGB∴∠FBG=∠AEG=90°，即AB⊥BF，又AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；(2)∵BC=BD，AB是⊙O的直径，∴AD=AC，BC⊥AC，∴∠ABD=∠ABC，∵DE⊥AC，BC⊥AC，·44· ∵EF∥BC，∴∠AGE=∠ABC，又∠AGE=∠FGB，∴∠FGB=∠ABD，∴△DGB是等腰三角形，(3)∵∠FGB=∠ABD，AB⊥BF，设∠FGB=∠ABD=α，则∠DBF=∠F=90°-α，∴DB=DF，∴FG=2DG=2DB=4．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．45.(2023·湖北·统考中考真题)如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE,FC．(1)求证：AE为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，BC=6，求FC的长．【答案】(1)见解析(2)FC=52【分析】(1)证明△ABD≌△CEDAAS，得出AB=CE，则四边形ABCE是平行四边形，AE∥BC，作AH⊥BC于H．得出AH为BC的垂直平分线．则OA⊥AE．又点A在⊙O上，即可得证；1过点D作DM⊥BC于M，连接OB．垂径定理得出BH=HC=BC=3，勾股定理得OH=4，进2而可得AH，勾股定理求得AB，证明DM∥AH，可得△CMD∽△CHA，根据相似三角形的性质得出MH，DM，然后求得BM，勾股定理求得BD，证明△FCD∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明，∵AB∥CE，∴∠ABD=∠CED,∠BAD=∠ECD．又AD=CD，∴△ABD≌△CEDAAS．∴AB=CE．∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE∥BC．作AH⊥BC于H．又∵AB=AC，∴AH为BC的垂直平分线．∴点O在AH上．·45· ∴AH⊥AE．即OA⊥AE．又点A在⊙O上，∴AE为⊙O的切线；(2)解：过点D作DM⊥BC于M，连接OB．∵AH为BC的垂直平分线，1∴BH=HC=BC=3．22222∴OH=OB-BH=5-3=4．∴AH=OA+OH=5+4=9．2222∴AB=AC=AH+CH=9+3=310．13∴CD=AC=10．22∵AH⊥BC,DM⊥BC，∴DM∥AH∴△CMD∽△CHA，又AD=CD，DMCMCD1∴===．AHCHCA21319∴MH=HC=，DM=AH=．222239∴BM=BH+MH=3+=．222292929∴BD=BM+DM=2+2=22．∵∠CFD=∠BAD,∠FDC=∠ADB，∴△FCD∽△ABD．FCCD∴=．ABBD310FC2∴=．310922∴FC=52．【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．·46·