专题九 圆的有关计算、证明与探究一、选择题1.(2022呼和浩特中考)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则⊙O的周长为( B )A.26πB.13πC.D.(第1题图) (第3题图)2.(2022株洲中考)下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( A )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形3.(2022西宁中考)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°.则CD的长为( C )A.B.2C.2D.84.(2022咸宁中考)如图,⊙O的半径为3,四边形ABCD内接于⊙O,连接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,则的长为( C )A.πB.πC.2πD.3π(第4题图) (第5题图)7\n5.(2022眉山中考)如图,在△ABC中,∠A=66°,点I是内心,则∠BIC的大小为( C )A.114°B.122°C.123°D.132°6.(2022遵义中考)已知圆锥的底面积为9πcm2,母线长为6cm,则圆锥的侧面积是( A )A.18πcm2B.27πcm2C.18cm2D.27cm27.(2022南充中考)如图,在Rt△ABC中,AC=5cm,BC=12cm,∠ACB=90°,把Rt△ABC所在的直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的侧面积为( B )A.60πcm2B.65πcm2C.120πcm2D.130πcm28.(2022百色中考)以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b与⊙O相交,则b的取值范围是( D )A.0≤b≤2B.-2≤b≤2C.-2<b<2D.-2<b<2二、填空题9.(2022大连中考)如图,在⊙O中,弦AB=8cm,OC⊥AB,垂足为C,OC=3cm,则⊙O的半径为__5__cm.(第9题图) (第10题图)10.(2022青岛中考)如图,直线AB与CD分别与⊙O相切于B,D两点,且AB⊥CD,垂足为P,连接BD.若BD=4,则阴影部分的面积为__2π-4__.11.(2022株洲中考)如图,已知AM为⊙O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交⊙O于点D,E,∠BMD=40°,则∠EOM=__80°__.(第11题图)7\n (第12题图)12.(2022舟山中考)如图,小明自制一块乒乓球拍,正面是半径为8cm的⊙O,=90°,弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮,则胶皮面积为__(32+48π)cm2__.13.(2022原创)如图,B,C在⊙O上,O在等腰直角三角形ABC内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6.则⊙O的半径为____.(第13题图) (第14题图)14.如图,⊙O上有三个点A,B,C,且∠CBD=∠ABC,P为BC上一点,PE∥AB交BD于E.若∠AOC=60°,BE=3时,则点P到AB的距离为____.15.如图,在⊙O内有折线OABC,OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为__20__.(第15题图) (第16题图)16.(2022海南中考)如图,AB是⊙O的弦,AB=5,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M,N分别是AB,AC的中点,则MN长的最大值是____.三、解答题7\n17.(2022遵义中考)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,∠APB=60°,连接PO并延长与⊙O交于C点,连接AC,BC.(1)求证:四边形ACBP是菱形;(2)若⊙O半径为1,求菱形ACBP的面积.解:(1)连接AO,BO.∵PA,PB是⊙O的切线,∴∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,∠APO=∠BPO=∠APB=30°,∴∠AOP=60°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵∠AOP=∠CAO+∠ACO,∴∠ACO=30°,∴∠ACO=∠APO,∴AC=AP,同理BC=PB,∴AC=BC=BP=AP,∴四边形ACBP是菱形;(2)连接AB交PC于D.∵四边形ACBP是菱形,∴AD⊥PC,∵OA=1,∠AOP=60°,∴AD=OA=,∴PD=,∴PC=3,AB=,∴菱形ACBP的面积=AB·PC=.18.(2022郴州中考)如图,AB是⊙O的弦,BC切⊙O于点B,AD⊥BC,垂足为D,OA是⊙O的半径,且OA=3.(1)求证:AB平分∠OAD;(2)若点E是优弧上一点,且∠AEB=60°,求扇形OAB的面积.(计算结果保留π)解:(1)连接OB.∵BC切⊙O于点B,7\n∴OB⊥BC.∵AD⊥BC,∴AD∥OB,∴∠DAB=∠OBA.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴∠DAB=∠OAB,∴AB平分∠OAD;(2)∵点E是优弧上一点,且∠AEB=60°,∴∠AOB=2∠AEB=120°,∴S扇形OAB==3π.19.(2022河南中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.(1)求证:BD=BF;(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵CF∥AB,∴∠ABC=∠FCB,∴∠ACB=∠FCB,即CB平分∠DCF.∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC.∵BF为⊙O的切线,∴BF⊥AB.∵CF∥AB,∴BF⊥CF,∴BD=BF;(2)∵AB=AC=10,CD=4,∴AD=AC-CD=10-4=6.在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=102-62=64,在Rt△BDC中,BC===4即BC的长为4.7\n20.(2022滨州中考)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.求证:(1)直线DM是⊙O的切线;(2)DE2=DF·DA.证明:(1)连接DO,并延长交⊙O于点G,连接BG.∵点E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.∵∠G=∠BAD,∴∠MDB=∠G.∵DG为⊙O的直径,∴∠GBD=90°,∴∠G+∠BDG=90°.∴∠MDB+∠BDG=90°.∴直线DM是⊙O的切线;(2)连接BE.∵点E是△ABC的内心,∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.∵∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD.∵∠CBD=∠CAD,∴∠EBD=∠BED,∴DB=DE.∵∠CBD=∠BAD,∠ADB=∠ADB,∴△DBF∽△DAB,∴=,即BD2=DF·DA.∴DE2=DF·DA.21.(2022湖州中考)如图,O为Rt△ABC的直角边AC上一点,以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D,交OA于点E.已知BC=,AC=3.求:(1)AD的长;(2)图中阴影部分的面积.7\n解:(1)在Rt△ABC中,AB===2.∵BC⊥OC,∴BC是⊙O的切线.∵AB是⊙O的切线,∴BD=BC=,∴AD=AB-BD=;(2)在Rt△ABC中,sinA===,∴∠A=30°.∵AB切⊙O于点D,∴OD⊥AB.∴∠AOD=90°-∠A=60°.∵=tanA=tan30°,∴=,∴OD=1,∴S阴影==.7