河北省2022年中考数学总复习第二编专题突破篇专题9圆的有关计算证明与探究精讲试题

专题九　圆的有关计算、证明与探究年份题型考点题号分值难易度2022解答题切线的性质、求扇形的弧长、三角形的外接圆239中等题2022选择题、解答题三角形的内切圆、外接圆，半圆与点线相切9、253＋10＝13容易题、较难题2022选择题、解答题三角形的外接圆、圆与矩形综合探究6、263＋14＝17容易题、较难题命题规律河北省对圆的考查独具匠心，纵观历年中考，每年都是原创题，并且出题角度新颖，多以残缺圆出现，并且把平移、旋转、翻折三种变换融入其中，学习复习时要多复习河北历年中考题圆的内容．预测2022年圆还会以大题形式，并且与其他考点综合出现.解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线找到解题思路与方法．一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等．,重难点突破)　圆内定理的应用【例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB.(1)若BE＝8，求⊙O的半径；(2)若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．【解析】(1)根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程即可求出半径；(2)根据∠DOE＝2∠DMB，得出∠DOE＝2∠D，根据AB⊥CD，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．【答案】解：(1)设⊙O的半径为x，则OE＝x－8.∵CD＝24，由垂径定理得DE＝12.在Rt△ODE中，∵OD2＝DE2＋OE2，即x2＝(x－8)2＋122，解得x＝13.∴⊙O的半径为13；(2)∵∠DOE＝2∠DMB，∠DMB＝∠D，∴∠DOE＝2∠D.∵∠DOE＋∠D＝90°，∴∠D＝30°.在Rt△OED中，∵DE＝12，∠OED＝90°，∴OE＝DE·tan30°＝12×＝4.1．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点(不与点A，B重合)，4\n连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.(1)弦长AB＝________；(结果保留根号)(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．解：(1)2；(2)连接OA.∵OA＝OB＝OD，∴∠BAO＝∠B＝30°，∠D＝∠DAO＝20°，∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝50°，∴∠BOD＝2∠DAB＝100°；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC，∠BCO>∠D，∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°，∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝.【方法指导】熟练掌握圆内的4个定理，根据图形的形状和位置选择合适的定理．　圆外定理的应用【例2】(天水中考)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．【解析】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE＝EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【答案】解：(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切．理由：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.∵CE切⊙O于点D，EB切⊙O于点B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°.设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6.2．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．4\n解：(1)连接AE，AO.∵BE为直径，∴∠BAE＝90°.∵＝，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴∠AFC＝∠B＋45°，∴∠CAF＝∠EAC＋45°.∵AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，∴∠B＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B＝∠EAC.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠EAC＝∠OAB，∴∠OAC＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，∴AC⊥OA，∴AC为⊙O的切线；(2)连接OD.∵＝，∴∠BOD＝∠DOE＝90°.在Rt△OFD中，OF＝5－3＝2，OD＝5，∴DF＝＝.【方法指导】掌握圆外3个定理和2个定义，了解一种证明方法，熟练应用6条辅助线解题．　圆中的计算【例3】(2022枣庄中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线；(2)在Rt△BOD中，设OF＝OD＝x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，用Rt△ODB的面积减去扇形DOF的面积即可确定出阴影部分面积．【答案】解：(1)BC与⊙O相切．证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切；(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，在Rt△BOD中，由勾股定理得：OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋12，解得：x＝2，即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.∵Rt△ODB中，OD＝OB，4\n∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴S扇形DOF＝＝，∴S阴影＝S△ODB－S扇形DOF＝×2×2－＝2－.故阴影部分的面积为2－.3．(2022襄阳中考)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若DE＝1，BC＝2，求劣弧的长l.解：(1)连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC.∵EF⊥AD，∴EF⊥OC，∴EF是⊙O的切线；(2)连接OD，DC.∵∠DAC＝∠DOC，∠OAC＝∠BOC，∵∠DAC＝∠OAC.∴∠DOC＝∠BOC，∴DC＝BC.∵ED＝1，DC＝BC＝2，∴sin∠ECD＝＝，∴∠ECD＝30°，∴∠OCD＝60°.∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2，∴l＝＝.【方法指导】熟练应用5个公式，关注与前面知识的综合应用．4