河北省2022年中考数学总复习第二编专题突破篇专题8三角形四边形中的相关证明及计算精讲试题

专题八　三角形、四边形中的相关证明及计算年份题型考点题号分值难易度2022选择题、填空题、解答题三角形的三边关系、三角形的中位线、三角形全等，三角形的外心、正方形性质、平行四边形性质、矩形的性质9、11、16、17、18、23、253＋2＋2＋3＋3＋9＋11＝33容易题、中等题、较难题2022选择题、填空题、解答题三角形的内心、外心等概念、三角形内外角的关系、三角形全等证明、等边三角形的判定、平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形的判定6、9、13、16、19、213＋3＋2＋2＋4＋9＝23容易题、中等题、较难题2022选择题、填空题三角形的中位线、三角形内外角关系、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形、正方形的性质15、16、19、20、222＋2＋3＋3＋10＝20容易题、中等题、较难题命题规律此专题是初中几何的重要部分，在历年中考中均有命题，且难易度伸缩性大，既可出容易题，如2022年9，11题，又可出较难题如2022年19题，每年都会在解答题中涉及1～2题，预测2022年选择、填空、解答均会出现.1．熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理．2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)　三角形的有关计算和证明【例1】(重庆中考B卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.4\n求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2022湖南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．　四边形的有关计算和证明【例2】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．4\n【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE，BE，进而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形；(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝×90°＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝，BE＝，∴ED＝，∴AD＝2.∴S菱形BFDE＝ED·AB＝×2＝.2．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝2，求BE的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD＝∠AFE，FD＝FE.∵EG∥CD，∴∠EGF＝∠AFD，∴∠EGF＝∠AFE，∴EG＝EF＝FD，∴EG綊FD，∴四边形EFDG是平行四边形．又∵FD＝FE，∴▱EFDG是菱形；(2)连接ED交AF于点H.∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，FH＝GH＝GF，EH＝DH＝DE.∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt△FEH∽Rt△FAE，∴＝.即EF2＝FH·AF，∴EG2＝AF·GF；4\n(3)∵AG＝6，EG＝2，EG2＝AF·GF，∴(2)2＝(6＋GF)GF.∵GF>0，∴GF＝4，∴AF＝10.∵DF＝EG＝2，∴AD＝BC＝＝4，DE＝2EH＝2＝8.∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，∴＝，即＝，∴EC＝，∴BE＝BC－EC＝.【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．4