导数大题证明不等式归类（学生版）
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导数大题证明不等式归类目录题型01不等式证明方法题型02单变量构造：利用第一问结论题型03单变量构造：数列型题型04数列不等式：无限和裂项型题型05数列不等式：累积相消型题型06数列不等式：取对数型题型07虚设根型证不等式题型08利用函数“凸凹反转性”证明不等式题型09同构型不等式证明题型10双变量型构造题型11极值点偏移型：和型证明题型12极值点偏移型：积型证明题型13极值点偏移型：平方型证明题型14三角函数型不等式证明题型15韦达定理代换型题型16切线放缩型证明高考练场题型01不等式证明方法【解题攻略】利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：(1)直接构造函数法：证明不等式fx>gx(或fx<gx)转化为证明fx-gx>0(或fx-gx<0)，进而构造辅助函数hx=fx-gx；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数hx；(3)利用导数研究hx的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．1,1(陕西省澄城县20121-2022学年高三试数学(理)试题)设函数f(x)=lnx-x+1．(1)讨论f(x)的单调性；x-1(2)证明：当x∈(1,+∞)时，1<．lnx22已知函数f(x)=x-2lnx.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)求证：当x>2时，f(x)>3x-4.2,【变式训练】x1(湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题)已知函数fx=e+ax+b，曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=a-b．(1)求a，b的值；(2)证明：fx≥0．32(湖北省华中师范大学潜江附属中学2021-2022学年高三4月数学试题)已知函数f(x)=ax-3lnx.(1)若a=1，证明：f(x)≥1；(2)讨论f(x)的单调性.3(2022·云南昆明·统考模拟预测)已知函数f(x)=x-sinx，x∈(0,+∞)．ππ(1)求曲线y=f(x)在点2,f2处的切线方程；xx(2)证明：2e⋅f(x)+cosx⋅e>1．3,题型02单变量构造：利用第一问结论【解题攻略】一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向1.可以利用第一问单调性提炼出不等式2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3.可以利用题干和第一问结论构造新函数(新不等式)121(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数f(x)=x-1-lnx.2(1)求fx的最小值；47(2)证明：ln>.332x2(2021下·北京丰台·高三统考)已知函数f(x)=ae+bx+1在x=0处有极值2．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)证明：f(x)>ex-x．4,【变式训练】2x21(2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数fx=x-2xe+aex-elnx，其中e为自32然对数的底数，曲线y=fx在2,f2处切线的倾斜角的正切值为e+2e．2(1)求a的值；(2)证明：fx>0．2(2022下·山东聊城·高三练习)已知函数f(x)=xlnx.(1)讨论y=f(x)的单调性并求极值；2(2)证明：当x>1时，ln(x+1)>lnx⋅ln(x+2).xe-a3(20122安徽马鞍山·统考模拟)已知函数fx=,a∈R.x(1)若fx在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；(2)求证：当 0<a<1,x>0时，fx>1恒成立.5,题型03单变量构造：数列型【解题攻略】数列型不等式证明∗1.对于n∈N型数列不等式证明，可以转化为定义域为X≥1,在实数范围内证明不等式。2.一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注意对应换元的取值范围3.数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明1x1(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数fx=1+(x>0)．x(1)证明：fx<e；*(2)讨论fx的单调性，并证明：当n∈n时，2n+1lnn+1<nlnn+n+1lnn+2．22（2012·河北衡水·统考一模)设函数f(x)=x+bln(x+a),其中b≠0．(1)当b=1时，f(x)在x=-2时取得极值，求a；(2)当a=1时，若f(x)在(-1,+∞)上单调递增，求b的取值范围；111(3)证明对任意的正整数n,不等式ln+1>-都成立．nn2n36,【变式训练】12023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)设函数fx=1-axlnx+1-bx，其中a和b是实数，曲线y=fx恒与x轴相切于坐标原点．1求常数b的值；2当0≤x≤1时，关于x的不等式fx≥0恒成立，求实数a的取值范围；1000110000.410011000.53求证：10000<e<1000．2(2023上·河南南阳·高三统考期中)(1)已知函数fx=xlnx，判断函数gx=f1+x+f1-x的单调性并证明；1+11-1nn2(2)设n为大于1的整数，证明：n+1n-1>n.1-x3(2017下·黑龙江大庆·高三大庆中学校已知函数f(x)=+lnx；ax(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，求正实数a的取值范围；1(2)当a=1时，求函数f(x)在,2上的最值；2n1(3)当a=1时，对大于1的任意正整数n，试比较ln与的大小关系．n-1n7,题型04数列不等式：无限和裂项型【解题攻略】证明不等式f1+f2+⋯+fn<gn，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即gn=gn-gn-1+gn-1-gn-2+gn-2-gn-3+⋯+g2-g1+g1-g0*这样一来，设bn=gn-gn-1n∈n，则只需证f1+f2+⋯+fn<b1+b2+⋯+bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出fn<bn恒成立，则原不等式也就成立.1(2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模)已知函数fx=ln1+x-mx．(1)求函数fx的极值；111*(2)求证：++⋯+>ln2n∈N．n+1n+2n+n+122(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2alnx-x+a，a∈R．(1)讨论函数fx的单调性；1111*(2)证明:2lnn+1>+++⋯+(n∈N)．234n+18,【变式训练】1(2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习)已知函数fx=axlnx-x,(a∈R)).(1)讨论fx的单调性；(2)若x>1时，fx>-1，求实数a的取值范围；*123n(3)对任意n∈N，证明：+++⋯++lnn+1>n.234n+1lnx2(2023上·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考期中)已知函数fx=kx,gx=.x(1)若不等式fx≥gx在区间0,+∞内恒成立，求实数k的取值范围；ln2ln3lnn1∗(2)求证：++...+<(n≥2,n∈N,e为自然对数的底数)2434n42e-xx3(2023上·陕西·高三校联考阶段练习)已知函数fx=e-ae，a∈R．(1)若函数fx在R上单调递减，求a的取值范围；1(2)已知a=1，m≥，x>1，gx=lnx+mflnx，求证：gx<0；2111*(3)证明：ln5<++⋯+n∈N．nn+15n9,题型05数列不等式：累积相消型【解题攻略】累加列项相消证明法证明不等式f1∙f2∙⋯∙fn<gn为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为累积相消型gngn-1g2gn=∙⋯g1gn-1gn-2g1gn*这样一来，设bn=n∈n，gn-1则只需证f1∙f2∙⋯∙fn<b1+b2+⋯+bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出fn<bn恒成立，则原不等式也就成立.1(2022贵州铜仁·高三贵州省铜仁第一中学阶段练习)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈r)．(1)若a=-1，求函数f(x)的单调区间；3(2)若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)=x+x2f'(x)+m(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(fnln2ln3ln4lnn1*(3)求证：×××⋯×<(n≥2，n∈n)234nn2(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=alnx+1-x．(1)若fx≤0，求a的值；ln2ln3ln4lnn1(2)证明：当n∈n+且n≥2时，×××⋯×<．223242n2n10,【变式训练】1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=(x+1)lnx，gx=ax-2a∈r(1)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；n2(2)求证：ln2⋅ln3⋅ln4...lnn>n≥2,n∈N+.n(n+1)*p2(2023·全国·高三专题练习)设整数p>1，n∈N，x>-1且x≠0，函数fx=1+x-px-1．(1)求证：fx>0；1111(2)求证：1+11+31+5⋅⋅⋅1+2n-1>2n+1．2ax-x3(2022·全国·高三专题练习)已知函数fx=xlnx，gx=.2(1)若fx<gx在1,+∞上恒成立，求实数a的取值范围；12n(2)求证：1+1+⋯1+<e.222n+1n+1n+111,题型06数列不等式：取对数型【解题攻略】取对数型证明不等式f1∙f2∙⋯∙fn<t为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为累加或者累积相消型lnf1∙f2∙⋯∙fn<lnt⇒lnf1+lnf2+lnf3⋯+lnf2<lnt1(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=ln1+x．x(1)求证：当x∈0,+∞时，<fx<x；1+x*12n(2)已知e为自然对数的底数，求证：∀n∈n，e<1+1+⋯1+<e．n2n2n22(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinx-xcosx(x≥0)．π(1)求函数f(x)的图象在,1处的切线方程；23(2)若任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)≤ax恒成立，求实数a的取值范围；3111(3)设g(x)=f(x)，证明：1+g1+g⋅⋅⋅1+g<e．x23323n12,【变式训练】1(2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考)已知函数fx=ax-a-lnx．(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；(2)证明：当a=1时，fx≥0；2n-1*1222(3)设m为整数，若对于∀n∈n,1+1+1+⋯1+<m成立，求m的最小值．332333n2(2023·全国·高三专题练习)已知关于x的函数fx=ax-lnx-1+ln2.(1)讨论fx的单调性；*2(2)证明：当n∈n时，ln1×2×3×⋯×n<n-nln2.x123(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数fx=e-ax-x2(1)若fx单调递增，求a的值；11*2(2)判断1+11+⋅⋅⋅1+(n∈n且n≥2)与e的大小，并说明理由.4n213,题型07虚设根型证不等式【解题攻略】虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决21已知函数f(x)=x-(a-2)x-alnx(a∈r)．(1)求函数y=f(x)的单调区间；x2(2)当a=1时，证明：对任意的x>0，f(x)+e>x+x+2．22(20122·浙江·模拟预测)已知函数f(x)=x-(a-2)x-alnx(a∈R)．(1)求函数y=f(x)的单调区间；x2(2)当a=1时，证明：对任意的x>0，f(x)+e>x+x+2．14,【变式训练】2x1(2023上·福建福州·高三校联考)设函数f(x)=e-alnx．(1)求a=e时，f(x)的单调区间；2(2)求证：当a>0时，f(x)≥2a+aln．a2(2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习)已知函数fx=x-alnx-4,a∈R.(1)讨论函数fx的单调性；x(2)当a=1时，令Fx=x-2e-fx，若x=x0为Fx的极大值点，证明：0<fx0<1.3(2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知函数fx=ax+xlnx,a∈r.(1)判断fx的单调性;x(2)若a=1,0<x≤1,求证:e+1-fx≤e,其中e是自然对数的底数.15,题型08利用函数“凸凹反转性”证明不等式【解题攻略】凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明f(x)>0，若可将不等式左端f(x)拆成g(x)>h(x)，且gmin(x)>hmax(x)的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选取g(x)为上凸型函数，h(x)为下凹型函数来完成证明.m1(2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考)已知函数fx=+lnx,m∈R.x(1)讨论fx的单调性；(2)证明：当m>0时，mfx≥2m-1.x2已知函数f(x)=e-x-m(m∈R)．(1)当x>0时，f(x)>0恒成立，求m的取值范围；x-lnx1(2)当m=-1时，证明：f(x)>1-．exe216,【变式训练】1(2021上·全国·高三校联考阶段练习)已知f(x)=lnx+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a<-1，证明：f(x)<-1．22已知f(x)=xlnx，g(x)=-x+ax-3(1)对x∈(0,+∞)，不等式2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；12(2)证明：对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>-．xexe23已知函数f(x)=ax-xlnx．(I)若f(x)在区间(0，+∞)内单调递增，求a的取值范围；x1(Ⅱ)若a=e(e为自然对数的底数)，证明：当x>0时，f(x)<xe+．e17,题型09同构型不等式证明【解题攻略】常见同构技巧：指对变形同构xlnx1.x=lne=e(“无中生有”公式，原理公式)xlnxxlnx+x2.xe=e⋅e=elnxxelnx-x3.==exxeexx4.x+lnx=lne+lnx=ln(xe)xxe5.x-lnx=lne-lnx=lnx常见指对同构函数式子：x1.xe(同构函数基础)lnx-1-1lnx-1-12.=-xlnx=-e⋅lnxxx113.==lnx-1-1lnx-1-1-xlnx-e⋅lnxlnx4.xlnx=e⋅lnxx-x-x5.=xe=-(-x)exexe16.=x-x-(-x)e2.指对变形式xlnx（1）lne=x=e(核心公式)xlnxxlnx+x（2）xe=e⋅e=elnxxelnx-x（3）==exxeexx（4）x+lnx=lne+lnx=lnxexxe（5）x-lnx=lne-lnx=lnxx3.指对同构式：fx=xe（母函数）x11（1）==lnx-1-1lnx-1-1-xlnx-e⋅lnxlnx-1-1lnx-1-1（2）=-xlnx=-e⋅lnxxlnx（3）xlnx=e⋅lnxx-x（4）==-(-x)exexe1（5）=x-x-(-x)e18,总结：一个概念：同构式；xlnx一个核心：lne=x=e一个方法：指对式分离，构造同构式一个提醒：注意同构后的整体变量范围x+12a+x+lnx1(2023·全国·高三专题练习)已知fx=e-，gx=，a∈r．xx(1)当x∈1,+∞时，求函数gx的极值；(2)当a=0时，求证：fx≥gx．xe2(2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习)已知函数f(x)=-1，e=2.71828⋯为自然对3x数的底数.(1)试判断函数f(x)的零点个数并说明理由；(2)证明：f(x)≥x-3lnx.19,【变式训练】3x21(2023·四川遂宁·统考模拟预测)设f(x)=ae-x，h(x)=3x-xlnx，(1)试讨论f(x)的单调性；(2)当a≥1时，证明f(x)>h(x)恒成立.x+12a+x+lnx2已知fx=e-，gx=，a∈R．xx(1)当x∈1,+∞时，求函数gx的极值；(2)当a=0时，求证：fx≥gx．20,题型10双变量型构造lnx1(2022贵州黔东南·统考一模)已知函数f(x)=(m≠0).mx(1)试讨论函数f(x)的单调性；ba(2)对∀a,b∈e,+∞，且a<b，证明：a>b.x-a2(2023上·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知函数fx=-x+1lnx+1a∈R．(1)求函数fx的单调区间；nm(2)已知m，n是正整数，且1<m<n，证明1+m>1+n．21,【变式训练】1+lnx1(2022·全国·高三专题练习)已知函数gx=1-．x(1)求gx的单调区间；1n1+lnn(2)当<m<n<1时，试证明<．em1+lnm2x-12(2021·全国·高三专题练习)已知函数fx=lnx-．x+1(1)求证：函数fx在0,+∞上单调递增；lnm-lnn2(2)设m>n>0，求证：>．m-nm+nax-13(2022·全国·高三专题练习)已知函数fx=lnx-.x+1(1)若函数fx在0,+∞上为单调增函数，求a的取值范围；m-nm+n(2)设m,n∈R，且m≠n，求证<.lnm-lnn222,题型11极值点偏移型：和型证明【解题攻略】极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：1.零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。2.零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。3.将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理x2211(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知函数fx=e-ax+ex有两个极值点a≤-，x23x1<x2．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1+x2<2ln2a．2(2023·山西·校考模拟预测)已知函数fx=lnx-ax+1,a∈r.(1)若fx≤0，求a的取值范围；2ax2(2)若关于x的方程fx=e-ex有两个不同的正实根x1,x2，证明：x1+x2>2e.23,【变式训练】m1(2023·江西·统考模拟预测)已知函数f(x)=x+．xe(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1≠x2，且fx1=fx2=2，证明：0<m<e，且x1+x2<2．2a2(2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)已知函数fx=lnx+,a∈r．若函数fx有两个不相x等的零点x1,x2．(1)求a的取值范围；(2)证明：x1+x2>4a．24,题型12极值点偏移型：积型证明【解题攻略】处理极值点偏移问题中的类似于x1x2<afx1=fx2的问题的基本步骤如下：①求导确定fx的单调性，得到x1,x2的范围；a②构造函数fx=fx-f，求导可得fx恒正或恒负；xa③得到fx1与f的大小关系后，将fx1置换为fx2；x1aa④根据x2与的范围，结合fx的单调性，可得x2与的大小关系，由此证得结论.x1x1121(2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习)已知函数f(x)=ax-(2a+1)x+2lnx(a∈r).2(1)若f(x)有唯一极值，求a的取值范围；(2)当a≤0时，若f(x1)=f(x2)，x1≠x2，求证：x1x2<4.xe2(2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考)已知函数fx=，gx=lnx-x.x(1)求函数gx的极值；(2)若hx=fx-gx，求函数hx的最小值；(3)若hx=a有两个零点x1，x2，证明：x1x2<1.25,【变式训练】21(2023上·重庆渝中·高三统考)已知函数fx=xlnx-ax+x,a∈r．(1)若函数fx是减函数，求a的取值范围；8(2)若fx有两个零点x1,x2，且x2>2x1，证明：x1x2>2．e122(2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习)已知函数fx=lnx+ax2-a+1xa∈R.(1)当a=1时，求函数y=fx的零点个数.122(2)若关于x的方程fx=ax有两个不同实根x1,x2，求实数a的取值范围并证明x1⋅x2>e.226,题型13极值点偏移型：平方型证明lnx+11(2023下·辽宁·高三统考)已知函数fx=.ax(1)讨论fx的单调性；x2x122(2)若ex1=ex2(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x1+x2>2.22(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知函数fx=lnx-ax.(1)讨论函数fx的单调性：22(2)若x1,x2是方程fx=0的两不等实根，求证：x1+x2>2e；27,【变式训练】lnx1(2023·山西·校联考模拟预测)已知函数fx=-ax.x(1)若fx≤-1，求实数a的取值范围；2212(2)若fx有2个不同的零点x1,x2(x1<x2)，求证：2x1+3x2>.5a1+lnx2(2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知函数fx=，a>0．ax(1)若fx≤1，求a的取值范围；22(2)证明：若存在x1，x2，使得fx1=fx2，则x1+x2>2．28,题型14三角函数型不等式证明【解题攻略】1.利用导数证明三角函数型不等式2.正余弦的有界性3.三角函数与函数的重要放缩公式：x≥sinxx≥0.x1(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=e-x-1.(1)证明：fx≥0；x(2)当m≤1时，证明不等式e-mx+cosx-2≥0，在x∈0,+∞上恒成立.32(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数fx=x-ax+1．(1)当a=1时，过点1,0作曲线y=fx的切线l，求l的方程；(2)当a≤0时，对于任意x>0，证明：fx>cosx．29,【变式训练】1(2022·新疆·统考三模)已知函数f(x)=sinx-axcosx，a∈R(1)若f(x)在x=0处的切线为y=x，求实数a的值；1(2)当a≥，x∈[0,+∞)时，求证：fx≤2ax.3xacosxπ2设函数f(x)=ecosx，g(x)=，x∈0,.e2x3π12(1)求fx的最小值，并证明：e<2；3x(2)若不等式：g(x)≥2-e成立，求实数a的取值范围.30,题型15韦达定理代换型【解题攻略】利用韦达定理证明不等式1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。2.利用韦达定理代换：可以消去参数21已知函数fx=lnx+x-axa∈R.(1)求函数fx的单调区间；13(2)设fx存在两个极值点x1,x2，且x1<x2，若0<x1<，求证：fx1-fx2>-ln2.2422已知函数f(x)=lnx+ax-x.(1)若a=-1，求函数f(x)的极值；(2)设f′(x)为f(x)的导函数，若x1，x2是函数f′(x)的两个不相等的零点，求证：f(x1)+f(x2)<x1+x2-531,【变式训练】11已知函数fx=x--alnx(a∈r)，x1(1)求曲线y=fx在点e,-处的切线与坐标轴围成三角形的面积．e2(2)fx是fx的导函数，若函数gx=x⋅fx-ax+2lnx有两个极值点x1,x2，且0<x1<x2<e，求12证：gx1+2<gx2+e-4．e122已知函数fx=x+lnx+mx，(m∈r)．2(1)若fx存在两个极值点，求实数m的取值范围；2fx1+fx2x1+x2m+2(2)若x1，x2为fx的两个极值点，证明：2-f2>8．32,题型16切线放缩型证明【解题攻略】常用的切线放缩有：xx1x(1)e≥x+1；(2)e≥ex；(3)1-≤lnx≤x-1；(4)lnx≤.xe1(2023·青岛模拟改编)已知x1lnx1=x2lnx2=a，且x1<x2，求证：-2x2-x1<2a+1+e.n1-nnn求证：|a-b|<t+n.lnnx-122已知函数f(x)=4e+ax，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+1.(1)求实数a、b的值；(2)x>0且x≠1时，证明：曲线y=f(x)的图象恒在切线y=bx+1的上方；x-13(3)证明：不等式：4xe-x-3x-2lnx≥0.33,【变式训练】x-121已知函数f(x)=4e+ax，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+1.(1)求实数a，b的值；(2)x>0且x≠1时，证明：曲线y=f(x)的图象恒在切线y=bx+1的上方；x-13(3)证明不等式：4xe-x-3x-2lnx≥0.x2(2013·新课标II卷)已知函数fx=e-lnx+m①(1)设x=0是fx的极值点，求m并讨论fx的单调性；(2)当m≤2时，证明：fx>034,高考练场x12021·福建莆田·统考二模)设函数f(x)=2e+acosx,a∈R．π(1)若f(x)在0,上存在零点，求实数a的取值范围；2π(2)证明：当a∈1,2,x∈0,时，f(x)≥2x+3．222(2023上·湖北·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=sinx+x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程，5(2)证明：f(x)>-.1635,23(2023·全国·高三专题练习)设函数fx=x-ax+alnxa∈R,a≠0,fx是函数fx的导函数.(1)讨论fx的单调性；(2)若a>0，且f1+f1=0，结合(1)的结论，你能得到怎样的不等式？23n+1*(3)利用(2)中的不等式证明：++...+>lnn+1n∈N.22212nax-14(2022·全国·高三专题练习)已知函数fx=lnx-a∈R．x+1(1)若函数fx在定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围；48124n∗(2)求证：+++⋯+<nn+5，n∈n．ln2ln3ln4ln(n+1)36,x5(2023·河北·统考模拟预测)已知函数fx=lnx+1-ae-xa∈r．(1)当a>0时，证明：fx<0恒成立；111*(2)当a=0时，证明：1+1×2⋅1+2×3∙⋯∙1+<en∈n．nn+1x6(2020·四川绵阳·统考模拟预测)已知函数f(x)=e+alnx(a∈r)(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；x0(2)设x0是f(x)的导函数f(x)的零点，若-e<a<0，求证：fx0>e.37,27(天津市红桥区2021-2022学年高三数学试题)已知fx=xlnx，gx=-x+ax-3.(1)求函数fx的单调区间；(2)对一切x∈0,+∞，2fx≥gx恒成立，求实数a的取值范围；12(3)证明：对一切x∈0,+∞，都有lnx>-成立.xexe8(辽宁省五校(辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连24中)2021-2022学年高三考试数学试题)材料：在现行的数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等x函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的.如函数fx=xxlnxxx⋅lnxttx>0，我们可以作变形：fx=x=e=e=et=xlnx，所以fx可看作是由函数ft=e和xgx=xlnx复合而成的，即fx=xx>0为初等函数，根据以上材料：x(1)直接写出初等函数fx=xx>0极值点2xk(2)对于初等函数hx=xx>0，有且仅有两个不相等实数x1,x20<x1<x2满足：hx1=hx2=e.(i)求k的取值范围.-e2e2-2ee(ii)求证：x2≤(注：题中e为自然对数的底数，即e=2.71828⋯)x138,239(2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)已知函数fx=xlnx-a，a为实数．22(1)当a=时，求函数在x=1处的切线方程；3(2)求函数fx的单调区间；(3)若函数fx在x=e处取得极值，fx是函数fx的导函数，且fx1=fx2，x1<x2，证明：2<x1+x2<e．1210(2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习)设fx=ax-a+1x+lnx，a∈r.2(1)当a=2时，求fx的极值；(2)若∀x>0有fx≤0恒成立，求a的取值范围；(3)当a<0时，若fx1=fx2，求证：x1x2<1.39,a11(2023·北京通州·统考三模)已知函数fx=ax--lnx(a>0)x(1)已知f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x-1，求实数a的值；(2)已知f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.a2(3)已知gx=fx+有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围并证明x1x2>e.x1+lnx12(2021·福建·高三统考阶段练习)已知函数fx=ax(1)讨论f(x)的单调性；x2x122(2)若ex1=ex2，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明:x1+x2>2.40,-x13(广西桂林市国龙外国语学校2021-2022学年高三考试数学试题)已知函数fx=ae+cosxa∈R.π(1)若函数fx在-，0上是单调函数，求实数a的取值范围；2π1(2)当a=-1时，x0为fx在0,π上的零点，求证：</x1<x2满足：hx1=hx2=e.(i)求k的取值范围.-e2e2-2ee(ii)求证：x2≤(注：题中e为自然对数的底数，即e=2.71828⋯)x138,239(2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)已知函数fx=xlnx-a，a为实数．22(1)当a=时，求函数在x=1处的切线方程；3(2)求函数fx的单调区间；(3)若函数fx在x=e处取得极值，fx是函数fx的导函数，且fx1=fx2，x1<x2，证明：2<x1+x2<e．1210(2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习)设fx=ax-a+1x+lnx，a∈r.2(1)当a=2时，求fx的极值；(2)若∀x></en∈n．nn+1x6(2020·四川绵阳·统考模拟预测)已知函数f(x)=e+alnx(a∈r)(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；x0(2)设x0是f(x)的导函数f(x)的零点，若-e<a<0，求证：fx0></nn+5，n∈n．ln2ln3ln4ln(n+1)36,x5(2023·河北·统考模拟预测)已知函数fx=lnx+1-ae-xa∈r．(1)当a></x2，求证：-2x2-x1<2a+1+e.n1-nnn求证：|a-b|<t+n.lnnx-122已知函数f(x)=4e+ax，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+1.(1)求实数a、b的值；(2)x></x1+x2-531,【变式训练】11已知函数fx=x--alnx(a∈r)，x1(1)求曲线y=fx在点e,-处的切线与坐标轴围成三角形的面积．e2(2)fx是fx的导函数，若函数gx=x⋅fx-ax+2lnx有两个极值点x1,x2，且0<x1<x2<e，求12证：gx1+2<gx2+e-4．e122已知函数fx=x+lnx+mx，(m∈r)．2(1)若fx存在两个极值点，求实数m的取值范围；2fx1+fx2x1+x2m+2(2)若x1，x2为fx的两个极值点，证明：2-f2></x2，若0<x1<，求证：fx1-fx2></x2)，求证：2x1+3x2></afx1=fx2的问题的基本步骤如下：①求导确定fx的单调性，得到x1,x2的范围；a②构造函数fx=fx-f，求导可得fx恒正或恒负；xa③得到fx1与f的大小关系后，将fx1置换为fx2；x1aa④根据x2与的范围，结合fx的单调性，可得x2与的大小关系，由此证得结论.x1x1121(2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习)已知函数f(x)=ax-(2a+1)x+2lnx(a∈r).2(1)若f(x)有唯一极值，求a的取值范围；(2)当a≤0时，若f(x1)=f(x2)，x1≠x2，求证：x1x2<4.xe2(2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考)已知函数fx=，gx=lnx-x.x(1)求函数gx的极值；(2)若hx=fx-gx，求函数hx的最小值；(3)若hx=a有两个零点x1，x2，证明：x1x2<1.25,【变式训练】21(2023上·重庆渝中·高三统考)已知函数fx=xlnx-ax+x,a∈r．(1)若函数fx是减函数，求a的取值范围；8(2)若fx有两个零点x1,x2，且x2></m<e，且x1+x2<2．2a2(2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)已知函数fx=lnx+,a∈r．若函数fx有两个不相x等的零点x1,x2．(1)求a的取值范围；(2)证明：x1+x2></x2．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1+x2<2ln2a．2(2023·山西·校考模拟预测)已知函数fx=lnx-ax+1,a∈r.(1)若fx≤0，求a的取值范围；2ax2(2)若关于x的方程fx=e-ex有两个不同的正实根x1,x2，证明：x1+x2></m<n<1时，试证明<．em1+lnm2x-12(2021·全国·高三专题练习)已知函数fx=lnx-．x+1(1)求证：函数fx在0,+∞上单调递增；lnm-lnn2(2)设m></m<n，证明1+m></b，证明：a></xe+．e17,题型09同构型不等式证明【解题攻略】常见同构技巧：指对变形同构xlnx1.x=lne=e(“无中生有”公式，原理公式)xlnxxlnx+x2.xe=e⋅e=elnxxelnx-x3.==exxeexx4.x+lnx=lne+lnx=ln(xe)xxe5.x-lnx=lne-lnx=lnx常见指对同构函数式子：x1.xe(同构函数基础)lnx-1-1lnx-1-12.=-xlnx=-e⋅lnxxx113.==lnx-1-1lnx-1-1-xlnx-e⋅lnxlnx4.xlnx=e⋅lnxx-x-x5.=xe=-(-x)exexe16.=x-x-(-x)e2.指对变形式xlnx（1）lne=x=e(核心公式)xlnxxlnx+x（2）xe=e⋅e=elnxxelnx-x（3）==exxeexx（4）x+lnx=lne+lnx=lnxexxe（5）x-lnx=lne-lnx=lnxx3.指对同构式：fx=xe（母函数）x11（1）==lnx-1-1lnx-1-1-xlnx-e⋅lnxlnx-1-1lnx-1-1（2）=-xlnx=-e⋅lnxxlnx（3）xlnx=e⋅lnxx-x（4）==-(-x)exexe1（5）=x-x-(-x)e18,总结：一个概念：同构式；xlnx一个核心：lne=x=e一个方法：指对式分离，构造同构式一个提醒：注意同构后的整体变量范围x+12a+x+lnx1(2023·全国·高三专题练习)已知fx=e-，gx=，a∈r．xx(1)当x∈1,+∞时，求函数gx的极值；(2)当a=0时，求证：fx≥gx．xe2(2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习)已知函数f(x)=-1，e=2.71828⋯为自然对3x数的底数.(1)试判断函数f(x)的零点个数并说明理由；(2)证明：f(x)≥x-3lnx.19,【变式训练】3x21(2023·四川遂宁·统考模拟预测)设f(x)=ae-x，h(x)=3x-xlnx，(1)试讨论f(x)的单调性；(2)当a≥1时，证明f(x)></fx0<1.3(2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知函数fx=ax+xlnx,a∈r.(1)判断fx的单调性;x(2)若a=1,0<x≤1,求证:e+1-fx≤e,其中e是自然对数的底数.15,题型08利用函数“凸凹反转性”证明不等式【解题攻略】凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明f(x)></gx在1,+∞上恒成立，求实数a的取值范围；12n(2)求证：1+1+⋯1+<e.222n+1n+1n+111,题型06数列不等式：取对数型【解题攻略】取对数型证明不等式f1∙f2∙⋯∙fn<t为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为累加或者累积相消型lnf1∙f2∙⋯∙fn<lnt⇒lnf1+lnf2+lnf3⋯+lnf2<lnt1(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=ln1+x．x(1)求证：当x∈0,+∞时，<fx<x；1+x*12n(2)已知e为自然对数的底数，求证：∀n∈n，e<1+1+⋯1+<e．n2n2n22(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinx-xcosx(x≥0)．π(1)求函数f(x)的图象在,1处的切线方程；23(2)若任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)≤ax恒成立，求实数a的取值范围；3111(3)设g(x)=f(x)，证明：1+g1+g⋅⋅⋅1+g<e．x23323n12,【变式训练】1(2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考)已知函数fx=ax-a-lnx．(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；(2)证明：当a=1时，fx≥0；2n-1*1222(3)设m为整数，若对于∀n∈n,1+1+1+⋯1+<m成立，求m的最小值．332333n2(2023·全国·高三专题练习)已知关于x的函数fx=ax-lnx-1+ln2.(1)讨论fx的单调性；*2(2)证明：当n∈n时，ln1×2×3×⋯×n<n-nln2.x123(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数fx=e-ax-x2(1)若fx单调递增，求a的值；11*2(2)判断1+11+⋅⋅⋅1+(n∈n且n≥2)与e的大小，并说明理由.4n213,题型07虚设根型证不等式【解题攻略】虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决21已知函数f(x)=x-(a-2)x-alnx(a∈r)．(1)求函数y=f(x)的单调区间；x2(2)当a=1时，证明：对任意的x></gn为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为累积相消型gngn-1g2gn=∙⋯g1gn-1gn-2g1gn*这样一来，设bn=n∈n，gn-1则只需证f1∙f2∙⋯∙fn<b1+b2+⋯+bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出fn<bn恒成立，则原不等式也就成立.1(2022贵州铜仁·高三贵州省铜仁第一中学阶段练习)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈r)．(1)若a=-1，求函数f(x)的单调区间；3(2)若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)=x+x2f'(x)+m(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(fnln2ln3ln4lnn1*(3)求证：×××⋯×<(n≥2，n∈n)234nn2(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=alnx+1-x．(1)若fx≤0，求a的值；ln2ln3ln4lnn1(2)证明：当n∈n+且n≥2时，×××⋯×<．223242n2n10,【变式训练】1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=(x+1)lnx，gx=ax-2a∈r(1)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；n2(2)求证：ln2⋅ln3⋅ln4...lnn></gn，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即gn=gn-gn-1+gn-1-gn-2+gn-2-gn-3+⋯+g2-g1+g1-g0*这样一来，设bn=gn-gn-1n∈n，则只需证f1+f2+⋯+fn<b1+b2+⋯+bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出fn<bn恒成立，则原不等式也就成立.1(2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模)已知函数fx=ln1+x-mx．(1)求函数fx的极值；111*(2)求证：++⋯+></e<1000．2(2023上·河南南阳·高三统考期中)(1)已知函数fx=xlnx，判断函数gx=f1+x+f1-x的单调性并证明；1+11-1nn2(2)设n为大于1的整数，证明：n+1n-1></e；*(2)讨论fx的单调性，并证明：当n∈n时，2n+1lnn+1<nlnn+n+1lnn+2．22（2012·河北衡水·统考一模)设函数f(x)=x+bln(x+a),其中b≠0．(1)当b=1时，f(x)在x=-2时取得极值，求a；(2)当a=1时，若f(x)在(-1,+∞)上单调递增，求b的取值范围；111(3)证明对任意的正整数n,不等式ln+1></a<1,x></gx)转化为证明fx-gx>
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