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2023届高三数学一轮复习大题专练15导数数列不等式的证明1

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一轮大题专练15—导数（数列不等式的证明1）1．已知函数．（1）若，，证明：在区间内存在唯一零点；（2）若，，（Ⅰ）证明：时，；（Ⅱ）证明：（其中，且．证明：（1）若，，则，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，又，在区间内存在唯一零点；（2）若，，则，（Ⅰ），令，易知在上单调递增，，即，在上单调递减，，即得证；（Ⅱ）当，时，，又，故，则，由（Ⅰ）知，时，，令，，，，以上各式相加得，7 ，即，即，即得证．2．已知函数．（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）求证：．解：（1）函数，（1），，（1），曲线在处的切线方程为：，；（2）证明：令，，则，，函数在单调递增，（1），函数在单调递增，（1）．当时：，令，则化为：，，，，，，，，，．3．设函数．7 （1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，证明：．解：（1）的定义域是，当时，，令，解得：，令，解得：，在递减，在递增，（1），无极大值．（2），①当时，若，则，若，则，在递减，在递增；②当即时，若，则或，若，则，在，递减，在，递增；③当，即时，恒成立，在上单调递增；④当即时，若，则或，若，则，在递减，在，，递增，综上：当时，在递增，在递减，在，递增，当时，在递增，当时，在递增，在，递减，在递增，7 当时，在递减，在递增．（3）由（1）知在递减，时，（1），，令，得，，即，，，，，，累加得：，．4．已知函数，．（1）若不等式对恒成立，求实数的范围；（2）若正项数列满足，，数列的前项和为，求证：．解：（1）不等式对恒成立，对恒成立，设，则，令，解得，令，解得，故在递增，在递减，（1），的取值范围是，；（2）证明：取，由（1）可知对恒成立，则，，，，，7 ，，，数列是常数列，，，，，，，原结论成立．5．已知函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明：．解：（Ⅰ）由于，故在上单调递减．（Ⅱ）证明：当时，．由（Ⅰ）知在上单调递减．注意到（1），则当时，恒有．取，有，即，又，因此6．函数．7 （1），求的单调区间；（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）令函数，求证：．解：（1），，，当，时，，当，时，，所以的单调递增区间是，，的单调递减区间是，．（2）不等式恒成立等价于，令，则由，可得到，可以看作是关于的一次函数，单调递增，令，对于，，，恒成立，只需证明即可，，当，，则，在上单调递减，又，所以此时恒成立．当时，恒成立；当时，单调递增，，，所以在上存在唯一的，使得，7 当时，，当，时，，所以在时单调递减，在，时单调递增，，，，恒成立，故恒成立，．（3）证明：由（2）可知，，令，，，2，，8，可得到，从而，即得证．7

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所属： 高考 - 一轮复习
发布时间：2023-03-01 12:40:01 页数：7
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文章作者：随遇而安

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