2023届高三数学一轮复习大题专练14导数任意存在性问题2

一轮大题专练14—导数（任意、存在性问题2）1．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当，时，求证：．解：（1）的定义域为，，①当时，，即在上单调递减；②当时，，由，解得，由，解得，即在上单调递减，在，上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．（2）证明：，即，令，，则，令，则，令，则，所以即在上单调递增，又，①当时，，则恒成立，即在上单调递增，则有；②当时，，，则，即存在使得，即，-6- 且，即，综上所述，恒成立，即在上单调递增，所以，即．2．设，已知函数，函数．（Ⅰ）若，求函数的最小值；（Ⅱ）若对任意实数和正数，均有，求的取值范围．（注为自然对数的底数）解：（Ⅰ）当时，为增函数，且，所以在递减，在递增，所以．（Ⅱ）因为，由于函数在上单增，且，（1），所以存在唯一的使得．且．再令，，可知在单增，而由可知，，，所以．于是，所以．又为增函数，当时，，当时，；又当时，，当时，（3），所以对任意，存在唯一实数，使得，即，且．-6- 由题意，即使得，也即，即，又由于单增且，所以的值范围为，，代入，求得的取值范围为，．3．已知函数在处取得极值，．（1）求的值与的单调区间；（2）设，已知函数，若对于任意、，，都有，求实数的取值范围．解：（1）由题意得的定义域为，，函数在处取得极值，（2），解得，则由得或，、、的关系如下表：200递增极大值递减极小值递增函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；（2）由（1）得函数，当时，对任意、，，都有，即当，，时，，在，上单调递减，，，，在，上单调递减，则，，-6- 则，即，解得或，结合，得，故实数的取值范围为．4．已知函数，，（1）设函数，求的单调区间和极值；（2）对任意的，存在，使得，求的最小值解：（1）由已知所以（1分）当时，恒成立，所以在定义域单调递增，没有极值．（2分）当时，令，得，列表得负0正单减极小值单增所以，在区间单调递减，在单调递增，时取到极小值（a），没有极大值（5分）综上，当时，在定义域单调递增，没有极值．当时，在区间单调递减，在单调递增，（a），没有极大值（6分）（2）由已知，设即，解得，，所以，令，（8分）则-6- 令，则恒成立，所以在单调递增，且（1）当时，，，所以单调递减当时，，，所以单调递增，即时取到极小值，也是最小值，所以（1）所以的最小值为（12分）5．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，，．不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1），定义域是，，令，△，①即时，恒成立，即恒成立，在单调递增，②即或时，有2个不相等的实数根，此时，，时，，，故时，，即，，时，，即，，时，，即，-6- 故在递增，在，递减，在，递增；时，，，时，递增，综上：时，在单调递增，时，在递增，在，递减，在，递增．（2），，当时，在，上恒成立，在，上单调递增，（1），故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，即恒成立，记（a），，则（a），令（a），则（a），所以（a）在上递减，所以（a）（1），故（a），所以（a）在上单调递减，所以（2），即实数的取值范围为，．-6-