2023届高三数学一轮复习大题专练18导数最值问题

一轮大题专练18—导数（最值问题）1．已知函数．（1）求曲线上一点处的切线方程；（2）当时，在区间，的最大值记为，最小值记为，设，求的最小值．解：（1）因为点在曲线上，所以，解得，所以，求导得，切点为，，故切线斜率，所求切线方程为．（2）因为，，，．所以．令，得或．所以，，为减函数；，，为增函数．①当时，在，上单调递减所以依题意，，，所以．②当时，在，上单调递减，在，上单调递增，又因为，，，当时，，所以，，当时，，所以，．设，所以，当时，，所以在单调递减．8 又因为，，所以所以，当且仅当时，取得最小值．2．已知函数，．（1）证明：有且仅有一个零点；（2）当，时，试判断函数是否有最小值？若有，设最小值为（a），求（a）的值域；若没有，请说明理由．（1）证明：因为，所以时，，函数无零点；又因为，所以，时，，单调递增，又（1），，，即（1），故存在唯一，使，综上可知，函数有且仅有一个零点．（2）解：，，，，，单调递增，又（1），，故存在唯一，使，即，，，单调递减；，，，单调递增，因此有最小值，8 （a），令，，，故单调递减，进而，（1），，即（a）的值域为，．3．已知函数，．（1）设，求的极值：（2）若函数有两个极值点，．求的最小值．解：（1），定义域是，，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在递增，故，（1）；（2）函数，，，，是函数的极值点，，是方程的两不等正根，则△，，，故，，即，，，且，，，8 令，则，，，，当，上递减，当上递增，故（1），故的最小值为．4．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，函数的最小值为（其中为的导函数），求的值．解：（1），当时，，在区间上单调递减，在上单调递增，当时，由，得，在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，当时，由，得，在上单调递增，当时，由，得，在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增，综上：当时，在区间上单调递减，在上单调递增，当时，在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，当时，在上单调递增，当时，在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增．8 （2）设，且，，设，，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，又当时，，当时，，在上必存在唯一零点，使得，即在上，，单调递减，在，上，，单调递增，在处取得最小值，又，，则，设，，当时，，单调递增，故，此时，当时，，单调递减，故，又（1），故，故．5．已知函数，．（1）求的单调性；（2）若，且的最小值小于，求的取值范围．解：（1），，①当时，恒成立，在上单调递增，8 ②当时，令，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，（2）由（1）知，则，令，则，令，，在上单调递减，又，（1），存在，使得，即，在上单调递增，在，上单调递减，又，（2），（a）．的取值范围为．6．已知函数，．（Ⅰ）设，若函数在区间，上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数区间上的最小值为1，求实数的值．解：（Ⅰ），，，，在，上单调递减，当，时，恒成立，即，又，，，又，，时，取最小值，8 故的取值范围是，；（Ⅱ），，在递增，在递增，在上存在唯一零点，使得，故，在上单调递增，时，，递减，，时，，递增，，显然是方程的解，令是减函数，则，有且只有唯一的解，，，又，，．7．设函数．（1）若，求的极值；（2）若，且当时，函数的图象在直线的上方，求整数的最大值．解：（1），则，若，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故的极小值是，无极大值；8 （2）时，，，故，时函数的图象在直线的上方，问题转化为在恒成立，令，，，①即时，，在单调递增，故，符合题意；②即时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，由，令，则，则，令，，则，故在递减，而（1），（2），故整数的最大值是1，故的最大值是1，即整数的最大值是2．8