切线的有关计算与证明大题训练（解析版）

切线的有关计算与证明大题训练班级：_____________姓名：_____________得分：_____________1(2022秋·湖南长沙·九年级校联考期中)如图，点A，B在圆O上，∠BAO的平分线交圆O于点D，点C在OA的延长线上，且∠CBA=∠D．(1)求证：CB是圆O的切线；(2)若DB∥OA，BD=3，求CB的长．【答案】(1)见解析(2)CB=33．【分析】(1)要证明CB是圆O的切线，只要连接OB证明∠OBC=90°，要证明∠OBC=90°，延长AO交圆O于点E，连接BE，利用直径所对圆周角为90°及∠CBA=∠D即可；(2)根据AD是∠BAO的平分线，连接DO，可知∠BAD=∠DAO=∠ODA，可得OD∥AB，又DB∥OA，证明△AOB是等边三角形，据此求解即可．【详解】(1)证明：如图，延长AO交圆O于点E，连接OB，BE，∵AE是圆O的直径，∴∠ABE=90°，即∠OBE+∠OBA=90°，又∵OB=OE，∴∠E=∠OBE，∵∠D=∠ABC，∠D=∠E，∴∠ABC=∠OBE，∴∠OBA+∠ABC=∠OBA+∠OBE=90°，即BO⊥BC，又∵OB是半径，∴BC是圆O的切线；(2)解：∵DB∥OA，∴∠OAD=∠D，∵AD是∠BAO的平分线，∴∠OAD=∠BAD，∴∠BAD=∠D，∴BD=AB=3，∵∠AOB=2∠E=2∠D=2∠BAD=∠OAB，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB，∠BOA=60°，∴∠C=30°，∴OC=2OB=6，22∴CB=OC-OB=33．【点睛】本题考查了圆的性质，灵活运用圆周角定理，切线判定方法等是解题关键．2(2020秋·陕西渭南·九年级校考期中)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．1 (1)求证：直线DH是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求AD，AC的长．【答案】(1)见解析(2)AD=52,AC=81【分析】(1)连接OD，证明∠AOD=∠AOB=90°，结合DH∥AB，可得∠ODH=90°，从而可得结论．222(2)证明∠ADB=∠ACB=90°，可得AC=10-6=8，证明△ABD是等腰直角三角形，可得AD=52．【详解】(1)证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是AB的中点，1∴∠AOD=∠AOB=90°．2∵DH∥AB，∴∠ODH=90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线．(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∵AB=10，BC=6，22∴AC=10-6=8．∵点D是AB的中点，∴AD=BD，∴AD=DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=52．【点睛】本题考查的是切线的判定，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．3(2022秋·湖北武汉·九年级校考期中)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．2 (1)求证：AB=AC．(2)若BD=9，DE=1，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)CD=7【分析】(1)根据AD平分∠BDF，得∠ADF=∠ADB，根据圆内接四边形的性质，得∠ABC+∠ADC=180°，进而得∠ABC=∠ADF，根据同弧所对的圆周角相等，得∠ACB=∠ADB，再根据等角对等边，即可证明AB=AC；(2)过点A作AG⊥BD于点G，得∠AGD=90°，根据AD平分∠BDF，得∠ADF=∠ADB，再根据AE⊥CD，AD是公共边，得△AGD≌△AED，得到GD=ED，AG=AE；又根据AB=AC，得Rt△AEC≌Rt△AGB，得BG=CE；最后根据BG=BD-GD，CD=CE-DE，即可求出CD的值．【详解】(1)证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADF=180°，∴∠ABC=∠ADF=∠ADB，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．(2)解：过点A作AG⊥BD于点G，∴∠AGD=90°，∵AD平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB，∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，在△AGD和△AED中，∠AGD=∠AED=90°∠ADF=∠ADB，AD=AD∴△AGD≌△AEDAAS，∴GD=DE=1，AG=AE，在Rt△AEC和Rt△AGB中，AE=AG，AB=AC3 ∴Rt△AEC≌Rt△AGBHL，∴CE=BG，又∵BD=9，DE=1，∴BG=BD-GD=9-1=8，∴CE=8，∵CD=CE-ED=8-1=7，∴CD=7．【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角的性质，全等三角形的判定与性质等．4(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB交CA延长线于点E，连接AD、BD．(1)△ABD的面积是多少；(2)求证：DE是⊙O的切线．【答案】(1)△ABD的面积为25(2)详见解析【分析】(1)求出△ADB是等腰直角三角形，求出AD、BD的长，即可得出答案；(2)求出∠AOD=90°，根据平行线性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定求出即可；【详解】(1)解：∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∴AD=BD，∵直径AB=10，∴∠ADB=90°，则△ABD是等腰直角三角形，22∴AD=BD=AB=×10=52，2211∴△ABD的面积为S△ABD=AD·BD=×52×52=25，22∴△ABD的面积为25．(2)证明：如图，连接OD，∵AB为直径，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠AOD=2∠ACD=90°，∵DE∥AB，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；4 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础知识，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质，平行性的性质，证明切线的方法等知识的综合是解题的关键．5(2022秋·陕西西安·九年级校考期中)如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∥BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD⊥DE，进而得出DE是⊙O的切线；(2)根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可．【详解】(1)证明：如图，连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，又∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∴∠ODB=∠DBC，∴OD∥BE，∵DE⊥BE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如图，连接AC，交OD于F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，∴四边形FDEC是矩形，∴DF=CE=2，FC=DE=4，∠AFO=90°，∵OF⊥AC，∴AF=FC=4，设⊙O的半径为r，在Rt△OAF中，由勾股定理得，222(r-2)+4=r，解得r=5．即⊙O的半径为5．【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．5 6(2021秋·陕西渭南·九年级校考期中)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交AB于点D，E是AC上一点，连接DE并延长交⊙O于点F，连接AF，且∠AFD=∠B．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)当AE=AD时，若∠FAC=25°，求∠B的大小．【答案】(1)见解析(2)∠B=40°【分析】(1)圆周角定理得到∠ADC=90°，∠AFD=∠ACD，推出∠CAD+∠B=90°，得到AC⊥BC，即可得证；(2)圆周角定理，得到∠FDC=25°，进而求出∠ADE的度数，等边对等角得到∠AED的度数，三角形内角和定理，求出∠CAD，根据∠CAD+∠B=90°，即可得解．【详解】(1)证明：如图，连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°．又∵∠AFD=∠ACD，∠AFD=∠B，∴∠B=∠ACD，∴∠CAD+∠B=90°，∴AC⊥BC，∴BC是⊙O的切线．(2)解：∵∠FAC=25°，∴∠FDC=25°，∴∠ADE=∠ADC-∠FDC=90°-25°=65°．∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE=65°，∴∠CAD=180°-2×65°=50°．又∵∠CAD+∠B=90°，∴∠B=40°．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判断，等边对等角．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．7(2020秋·福建龙岩·九年级校考期中)如图：AB为⊙O的直径，AD⊥DC．AC平分∠DAB．6 (1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若∠BAC=30°，AC=3cm，求AB长．【答案】(1)见解析(2)AB=2cm【分析】(1)连接OC，易得∠OAC=∠OCA，∠OAC=∠DAC，则∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，即可求证；11(2)根据AB为⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，设AB=x，则BC=x，根据勾股定理得22222出AC+BC=AB，列出方程求解即可．【详解】(1)证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，即DC是⊙O的切线；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，1∴BC=AB，21设AB=x，则BC=x，2222根据勾股定理可得：AC+BC=AB，2122即3+x=x，2解得：x=2，∴AB=2cm．【点睛】本题主要考查了切线的判定，含30°角直角三角形的特征，圆周角定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角是直角；含30°角直角三角形，30°角所对的边是斜边的一半．8(2020秋·福建龙岩·九年级校考期中)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，延长ED与AB交于点F．7 (1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若△ABC为等边三角形，AE=3，求DF的长．【答案】(1)见解析(2)23【分析】(1)先根据等腰三角形的性质证得∠C=∠ODB，进而证明OD∥AC，再利用平行线的性质证得∠ODF=∠AEF=90°，根据切线的判定定理可得结论；(2)先根据等边三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=60°，则∠F=30°，利用含30度角的直角三角形的性质和三角形的外角性质求得AF=2AE=6，∠F=∠BDF=30°，则DB=BF，再证明△OBD为等边三角形，求得OB=BF=OD=2，然后利用勾股定理求解DF即可．【详解】(1)解：∵AB=AC，OD=OB，∴∠C=∠OBD，∠ODB=∠OBD，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠ODF=∠AEF=90°，又OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=∠ABC=60°，∵DE⊥AC，∴∠F=90°-∠CAB=30°，又AE=3，∴AF=2AE=6，∠BDF=∠ABC-∠F=30°，即∠F=∠BDF，∴DB=BF，∵OD=OB，∠OBD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴OD=OB=DB=BF，又OA=OB，∴OB=BF=OD=2，∵∠ODF=90°，2222∴DF=OF-OD=4-2=23．【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理和外角性质、含30度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识，综合性强，难度一般，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．9(2022秋·福建龙岩·九年级校考期中)已知：⊙O直径为4，点C是⊙O直径AB延长线上的一点，且点B是线段OC的中点，点D在⊙O上，连接DC．8 (1)如图①，若线段DC所在的直线与⊙O相切，求线段DC的长；(2)如图②，若线段DC与⊙O还有一个公共点E，且点E为DC的中点，连接OD，AE交于点F．①判断OD与AE的位置关系，并说明理由；②求线段DC的长度．【答案】(1)23；(2)①OD⊥AE；②26．【分析】(1)依据线段DC所在的直线与⊙O相切，可得OD⊥CD，再根据勾股定理进行计算，即可得到CD的长；(2)①依据AB是直径，可得∠AEB=90°，再根据点E为DC的中点，点B是线段OC的中点，可得BE是△COD的中位线，进而得到OD与AE的位置关系；②依据三角形中位线定理可得OF的长，进而得出DF的长，再根据勾股定理即可得到DE的长，可得CD的长．【详解】(1)如图①，连接OD，∵线段DC所在的直线与⊙O相切，∴OD⊥CD，又∵点B是线段OC的中点，⊙O直径为4，∴CO=AB=4，OD=2，2222∴Rt△COD中，由勾股定理得：CD=OC-OD=4-2=23；(2)①OD⊥AE，理由：如图②，连接BE，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB=90°，∵点E为DC的中点，点B是线段OC的中点，∴BE是△COD的中位线，1∴BE∥OD，BE=OD=1，2∴∠AFO=∠AEB=90°，∴OD⊥AE；②∵OD⊥AE，∴F是AE的中点，又∵O是AB的中点，11∴OF=BE=，2213∴DF=2-=，2222在Rt△ABE中，AE=AB-BE=15，9 15∴EF=，222在Rt△DEF中，DE=EF+DF=6，∴CD=2DE=26．【点睛】此题考查了切线的性质，三角形中位线定理，勾股定理的应用，解题的关键是运用定理进行推理，解题时注意，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．10(2022秋·山东济宁·九年级统考期中)如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为B，OC平行于弦AD．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)直线AB与CD交于点F，且DF=4，AF=2，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)连接OD，根据切线的性质得到OB⊥BC，根据平行线的性质可得∠BOC=∠OAD，∠DOC=∠ODA，根据等边对等角可得∠ODA=∠OAD，推得∠DOC=∠BOC，根据全等三角形的判定和性质可得∠ODC=∠OBC=90°，即可根据切线的判定定理证明结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程求出⊙O的半径．【详解】(1)证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∵OC∥AD，∴∠BOC=∠OAD，∠DOC=∠ODA，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠DOC=∠BOC，在△DOC和△BOC中，OD=OB∠DOC=∠BOC，OC=OC∴△DOC≌△BOCSAS，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，222222在Rt△ODF中，OD+DF=OF，即r+4=r+2，解得：r=3，10 ∴⊙O的半径为3．【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等边对等角，勾股定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．11(2023春·山东烟台·九年级统考期中)如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，且∠DAF=∠B．(1)根据题干信息，请用尺规作图作出点F(保留作图痕迹，不写作法)；(2)求证：AF是⊙O的切线；(3)若⊙O的半径为5，AD=ED，且CD=8，求AE的长【答案】(1)作图见解析部分(2)证明见解析部分36(3)5【分析】(1)作AF⊥AC交BD的延长线于点F．(2)证明AC⊥AF即可；(3)利用勾股定理求出AD，再利用面积法求出DH，利用勾股定理求出AH即可．【详解】(1)解：如图，点F即为所求；(2)证明：∵AC都是直径，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACD=∠ABD=∠DAF，∴∠DAF+∠DAC=90°，∴∠FAC=90°，∴AC⊥AF，∵AO是半径，∴AF是⊙O的切线；(3)解：过点D作DH⊥AC于点H．∵AC=10，CD=8，2222∴AD=DE=AC-CD=10-8=6，∵DH⊥AE，∴EH=AH，11∵•AD•CD=•AC•DH，228×624∴CD==，1052218∴AH=HE=AD-DH=，511 36∴AE=2AH=．5【点睛】本题主要考查作图-复杂作图、切线的判定、勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．12(2023春·江苏无锡·九年级统考期中)如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO=6．(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长．【答案】(1)相切，理由见解析(2)6【分析】(1)连接OM，由AC平分∠OAM可得∠OAC=∠CAM，又MC=AM，所以∠CAM=∠ACM，进而可得∠OAC=∠ACM，所以OA∥MC，可得MC⊥x轴，进而可得结论；(2)过点M作MN⊥y轴于点N，则AN=BN，且四边形MNOC是矩形，设AO=m,可分别表达MN和ON，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；【详解】(1)解：⊙M与x轴相切，理由如下：如图，连接OM，∵AC平分∠OAM，∴∠OAC=∠CAM，又∵MC=AM，∴∠CAM=∠ACM，∴∠OAC=∠ACM，∴OA∥MC，∵OA⊥x轴，∴MC⊥x轴，∵CM是半径，∴⊙M与x轴相切(2)如图，过点M作MN⊥y轴于点N，1∴AN=BN=AB，2∵∠MCO=∠AOC=∠MNA=90°，∴四边形MNOC是矩形，∴NM=OC，MC=ON=5，设AO=m,则OC=6-m，∴AN=5-m，12 222在Rt△ANM中，AM=AN+MN，222∴5=5-m+6-m，解得m=2或m=9(舍去)，∴AN=3，∴AB=6．【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．13(2023春·河北衡水·九年级校考期中)我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”，如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．[概念理解](1)若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．(2)如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证：AB、CD互为“十字弦”；[问题解决](3)如图3，在⊙O中，半径为13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，CH=5DH，则CD的长度为．【答案】(1)10，6；(2)见解析；(3)6【分析】(1)当CD为直径时最大，当CD经过点B或经过点B时最小，根据勾股定理即可求出最小值；ACAC(2)连接AD，求出CD=DH+CH=16，则=，进而得出△HCA∽△ACD，得出∠CHA=∠CADCDCD=90°，即可求证AB、CD互为“十字弦”；(3)连接OD，过点O作OE⊥CD于点E，过点O作OF⊥AB于点F，易得四边形OEHF为矩形，设DH1=x，则CH=5x,CD=AB=6x，根据垂径定理得出DE=CD=3x，则EH=DE-DH=2x，同理FH2=2x，得出四边形OEHF为正方形，得出OE=2x，在Rt△DOE中，根据勾股定理列出方程求出x的值，即可求解．【详解】(1)解：∵⊙O的半径为5，∴⊙O的直径为10，当CD为直径时取最大值，此时CD=10，当CD经过点A或点B时，取最小值，如图，此时点A和点D重合，连接BC，∵AB⊥CD，∴∠BAC=90°，∵点B、A、C都在圆上，∴BC为直径，∴BC=10，13 22根据勾股定理可得：CD=AC=BC-AB=6，故答案为：10，6；(2)证明：如图，连接AD，∵CD为⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∵AC=12，DH=7，CH=9，∴CD=DH+CH=16，AC123CH93∴==，==，CD164AC124ACAC∴=，CDCD∵∠C=∠C，∴△HCA∽△ACD，∴∠CHA=∠CAD=90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”；(3)连接OD，过点O作OE⊥CD于点E，过点O作OF⊥AB于点F，∵AB、CD互为“十字弦”∴AB⊥CD，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∴四边形OEHF为矩形，设DH=x，∵AB=CD，CH=5DH，∴CH=5x,CD=AB=6x，∵OE⊥CD，1∴DE=CD=3x，2∴EH=DE-DH=2x，同理可得：FH=2x，即FH=EH，∴四边形OEHF为正方形，∴OE=2x，222在Rt△DOE中，根据勾股定理可得：OE+DE=OD，222即2x+3x=13，解得：x=1或-1(舍去)，∴CD=6x=6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键在正确理解题目所给“十字弦”的定义．14(2022春·江西九江·九年级校考期中)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为BC延长线上的一点，使得∠PAC=∠B．14 (1)求证：AP是⊙O的切线．(2)F为⊙O上一点，且OC经过AF的中点E．①求证：∠B=∠CAE；②若AE=2CE，AC=25，求⊙O的半径长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②⊙O的半径为5．【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，进而得出∠CAB+∠PAC=90°，即∠PAB=90°，即可得出结论；(2)①先根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=∠BCO+∠ACE=90°，进而得出∠B+∠ACE=90°，根据题意可得出AE⊥OC，推出∠CAE+∠ACE=90°，即可得出结论；②设CE=x,则AE=2x，由①知AE⊥OC，得出△ACE和△AOE都是直角三角形，在Rt△ACE中，根据22222勾股定理得出2x+x=25，求出CE=2，AE=4，在Rt△AOE中，根据勾股定理得出4+OA-22=OA，即可得出答案【详解】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠PAC=∠B，∴∠CAB+∠PAC=90°，即∠PAB=90°，∴AP⊥AB，∴AP是⊙O的切线；(2)①证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠BCO+∠ACE=90°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO，∴∠B+∠ACE=90°，∵OC经过AF的中点E，∴AE⊥OC，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠B=∠CAE；②解：设CE=x,则AE=2x，由①知AE⊥OC，∴△ACE和△AOE都是直角三角形，222在Rt△ACE中，AE+CE=AC，222∴2x+x=25，解得：x=2(负值舍去)，即CE=2，AE=4，222在Rt△AOE中，AE+OE=AO，15 222∴4+OA-2=OA，解得：OA=5，即⊙O的半径为5．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．15(2023春·江西九江·九年级统考期中)如图，在▱ABCD中，A、B，C三点在⊙O上，点O在AD边上，点E在⊙O外，OE⊥BC，垂足为F．(1)若∠A=65°，∠ECB=40°，求证：EC是⊙O的切线；(2)若OF=4，OD=1，求AB的长．【答案】(1)详见解析(2)25【分析】(1)连接OB和OC，四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，则∠A=∠OBA=65°，∠ABC=115°，则∠OCB=50°，即可得到∠OCE=∠ECB+∠OCB=90°，即可得到OC⊥CE，又由OC是⊙O的半径即可得到结论；(2)过点F作FG∥AB交OA于点G，四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，AD=BC，则AG∥BF，得四边形BAGF为平行四边形，则BF=AG，AB=FG，设⊙O的半径为x，则BC=AD=x+1，由垂径1x+1222x+1222定理可得BF=BC=，在Rt△OBF中，由勾股定理可得BF+OF=OB,则+4=x，解222得x=5,即可得到OA=5,BC=AD=6，AG=BF=3,则OG=OA-AG=2，再证OE⊥AD，在22Rt△OGF中，FG=OF+OG=25,即可得到AB的长．【详解】(1)证明：连接OB和OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵OA=OB=OC，∠A=65°，∴∠A=∠OBA=65°，∠ABC=180°-∠A=180°-65°=115°，∴∠OCB=∠OBC=∠ABC-∠OBA=115°-65°=50°，∴∠OCE=∠ECB+∠OCB=40°+50°=90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线(2)解：过点F作FG∥AB交OA于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴AG∥BF，∴四边形BAGF为平行四边形，∴BF=AG，AB=FG，设⊙O的半径为x，则BC=AD=x+1∵OE⊥BC,16 1x+1∴BF=BC=，22222∵在Rt△OBF中，BF+OF=OB,x+1222∴+4=x，2解得x=5,∴OA=5,BC=AD=6，∴AG=BF=3,∴OG=OA-AG=2，∵AD∥BC,OE⊥BC,∴OE⊥AD，22∴在Rt△OGF中，FG=OF+OG=25,∴AB=FG=25．【点睛】此题考查了切线的判定定理、垂径定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理和添加合适的辅助线是解题的关键．16(2022秋·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AF=8，CF=1，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为5．【分析】(1)连接OD，可得OA=OD，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得∠ODA=∠CAD，根据“内错角相等，两直线平行”可得OD∥AC，根据平行线的性质，可得∠ODB=∠C=90°，再根据切线的判定方法，即可判定；11(2)过点O作OG⊥AF，交AF于点G，根据垂径定理可得AG=FG=AF=×8=4，故CG=5，根22据矩形的判定和性质，即可求解．【详解】(1)证明：如图，连接OD，则OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∵OD为⊙O的半径，点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；17 (2)解：过点O作OG⊥AF，交AF于点G，如图，∵OG⊥AF，11∴AG=FG=AF=×8=4，22∵CF=1，∴CG=CF+FG=1+4=5，∵OG⊥AF，∴∠OGC=90°，∵∠ODB=∠C=90°，∴∠ODC=∠C=∠OGC=90°，∴四边形ODCG是矩形，∴DO=CG=5，∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．17(2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中)如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上CE=CA，AB，CE的延长线交于点F．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若⊙O的半径为3，EF=4，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)连接OE、AE，则OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，由CE=CA，得∠CEA=∠CAE，所以∠CEO=∠CEA+∠OEA=∠CAE+∠OAE=90°，即可证明CE与⊙O相切；22(2)由切线的性质得∠FEO=90°，OE=OA=3，EF=4，得OF=OE+EF=5，则AF=OF+OA=2228，即可根据勾股定理列方程CE+8=(4+CE)，求解即可．【详解】(1)证明：如图，连接OE、AE，则OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∵CE=CA，∠CAO=90°，∴∠CEA=∠CAE，∴∠CEO=∠CEA+∠OEA=∠CAE+∠OAE=∠CAO=90°，∵CE经过⊙O的半径OE的外端，且CE⊥OE，∴CE与⊙O相切．(2)解：由(1)知CE与⊙O相切，∴∠FEO=90°∵OE=OA=3，EF=4，18 2222∴OF=OE+EF=3+4=5，∴AF=OF+OA=8，∵∠CAF=90°222∴CA+AF=CF，∵CA=CE，CF=4+CE，222∴CE+8=(4+CE)，∴CE=6，∴CE的长为6．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18(2022秋·河南驻马店·九年级统考期中)综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E(不与A，C重合)，连接AE，CE，则∠AEC+∠D=180°(依据1)∵∠B=∠D∴∠AEC+∠B=180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆)∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上(依据2)∴点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：(1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：；依据2：。(2)如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=42°，则∠4的度数为．拓展探究：19 (3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上(不与BC的中点重合)，连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．求证：A，D，B，E四点共圆；【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；(2)42°；(3)见解析【分析】(1)根据圆内接四边形的性质、过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆解答即可；(2)根据探究可知A，B，C，D四点在同一个圆上，再由圆周角定理可得答案；(3)根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据轴对称的性质得到AE=AC，DE=DC，求出∠AED=∠ACB，可得∠AED=∠ABC，进而得出结论．【详解】解：(1)依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；(2)∵∠1=∠2，∴A，B，C，D四点在同一个圆上，∴∠3=∠4，∵∠3=42°，∴∠4=42°，故答案为：42°；(3)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵点E与点C关于AD对称，∴AE=AC，DE=DC，∴∠AEC=∠ACE，∠DEC=∠DCE，∴∠AED=∠ACB，∴∠AED=∠ABC，∴A，D，B，E四点共圆．【点睛】本题考查的是四点共圆，三点共圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，正确理解四点共圆的条件是解题的关键．19(2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AC的中点，BD交AC于点E，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F．20 (1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AF=2，FD=4，求△DFB的面积．【答案】(1)见解析48(2)5【分析】(1)连接OD，由垂径定理得OD⊥AC，根据平行线的性质证明OD⊥DF，进而可得结论；222(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程可得：r+4=r+2，解得：r=3，利用面积法求出DH=12，然后利用三角形面积公式即可求解．5【详解】(1)连接OD，∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，∵DF∥AC，∴OD⊥DF，∵OD为⊙O的半径，∴直线DF是⊙O的切线；(2)连接AD，作DH⊥AB于点H，设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OF=2+r，∵∠ODF=90°，222∴r+4=r+2，解得r=3，∴AB=6，BF=8，∴OF=8-3=5．11∵FD⋅OD=OF⋅DH，22∴4×3=5DH，12∴DH=，5111248∴△DFB的面积=FB⋅DH=×8×=．2255【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答此题的关键是正确作出辅助线．．20(2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．21 (1)求证：PB是⊙O的切线：(2)求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；(2)在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB=6，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8-r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．【详解】(1)证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO=90°，∵∠EDB=∠EPB，∠BOE=∠EDB+∠DEO，∠BOE=∠EPB+∠OBP，∴∠OBP=∠DEO=90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；(2)解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，22根据勾股定理得：PD=6+8=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD-PC=10-6=4；在Rt△CDO中，设OC=r，则有OD=8-r，222根据勾股定理得：(8-r)=r+4，解得：r=3，则圆的半径为3．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理,切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．21(2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中)已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．22 (1)如图1，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；(2)如图2，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH(切点为H)，求证：GF=GH．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)由垂径定理推出OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；22(2)设法证明△HBG∽△CHG，推出GH=GC×GB，再证明△GFC∽△GBF，推出GF=GC×GB，据此即可证明GF=GH．【详解】(1)证明：连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，∴∠HCI=∠IHG=90°，∴∠IHC+∠I=90°=∠IHC+∠GHC，∴∠I=∠GHC，∵∠HBG=∠I，∴∠HBG=∠GHC，∴△HBG∽△CHG，HGGB∴=，CGHG2∴GH=GC×GB，∵AD∥FG，∴∠DAF=∠GFC，∵∠DAF=∠DBC，∴∠GFC=∠DBC，∴△GFC∽△GBF，GFGC∴=，GBGF23 2∴GF=GC×GB，22∴GF=GH，∴GF=GH．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．22(2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中)如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆．(1)点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上?请说明理由．(2)若AB=8，CF=6，求△ABC外接圆的半径长．【答案】(1)点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，见解析(2)5【分析】(1)连接EM，DM，根据垂直定义可得∠BDC=∠BEC=90°，然后利用直角三角形斜边上的中线11性质可得EM=BM=BC，DM=CM=BC，从而可得EM=BM=DM=CM，即可解答；22(2)连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，根据三角形的高是交于一点的可得AG⊥BC，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAH=∠BCH=90°，从而可得AG∥CH，AH∥CE，然后利用平行四边形的判定可得四边形AFCH是平行四边形，从而可得CF=AH=6，最后在Rt△BAH中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】(1)点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由：连接EM，DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵M是BC的中点，11∴EM=BM=BC，DM=CM=BC，22∴EM=BM=DM=CM，∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上；(2)连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，∴AG⊥BC，∵BH是⊙O的直径，∴∠BAH=∠BCH=90°，∴BA⊥AH，BC⊥CH，∴AG∥CH，∵CE⊥AB，24 ∴AH∥CE，∴四边形AFCH是平行四边形，∴CF=AH=6，在Rt△BAH中，AB=8，2222∴BH=BA+AH=8+6=10，∴△ABC外接圆的半径长为5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边上的中线，点与圆的位置关系，确定圆的条件，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23(2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD延长，交BE点E．(1)求证：AB=BE；(2)如果PD=23，∠ABC=60°，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=3【分析】(1)连接OD，由PD切O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结论；(2)由平行线的性质可得∠DOP=60°，利用直角三角形30°所对的边是斜边的一半，再可利用勾股定理求出OD,OP,PC的长，根据OD=OB，求出PB，利用直角三角形30°所对的边是斜边的一半即可求出BC．【详解】(1)证明：如图，连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD．∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE．(2)解：∵OD∥BE，∠ABC=60°，∴∠DOP=∠ABC=60°，∴PD⊥OD，∴∠PDO=90°，∴△PDO是直角三角形，∵∠DPO=90°-∠DOP=90°-60°=30°，25 1∴OD=PO，2设OD的长为x，则PO的长为2x，PD=23，222∵PO=OD+PD，22∴4x=x+12，解得：x=2或x=-2(舍去)，∴OD=2，PO=4，∵OD=OB=2，∴PB=PO+OB=4+2=6，∵BE⊥PD，交PD的延长线于点C，∠ABC=60°，∴∠BPC=30°，11∴BC=PB=×6=3．22【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质及直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，正确的画出辅助线是解题的关键．24(2022秋·山西朔州·九年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，若BC=8，EH=4，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)5；【分析】(1)连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠ABE再证得OE∥BC，根据平行线的性质和切线的判定即可解答；(2)先证明Rt△CBE≅Rt△HBE，再根据勾股定理列方程求解即可；【详解】(1)证明：连接OE∵BE平分∠ABC∴∠CBE=∠ABE又OB=OE∴∠ABE=∠BEO∴∠CBE=∠BEO∴OE∥BC，又∠C=90°，即AC⊥BC∴OE⊥AC∴AC是⊙O的切线26 (2)∵BE平分∠ABC,AC⊥BC,EH⊥AB∴CE=EH,∵BE=BE,∴Rt△CBE≅Rt△HBE(HL),∴CB=HB=8,设OE=OB=r,∴HO=BH-OB=8-r,222∵OE=OH+HE,222∴r=(8-r)+4.解得：r=5故⊙O的半径为5【点睛】本题主要考查了切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质勾股定理，掌握切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题关键．25(2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，已知等腰△OAB，∠AOB=120°，以点O为圆心作⊙O交边OA，OB于C，D两点，点C恰好为OA的中点，延长AO交⊙O于点E，连DE．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)连接AD，若OC=4，求AD的长．【答案】(1)见解析(2)AD=47【分析】(1)过点O作OF⊥AB交AB于点F，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到1∠OAB=∠OBA=30°，然后利用含30°角直角三角形的性质得到OF=OA，然后根据题意得到OF=2OC，即可证明；1(2)过点A作AG⊥BO交BO的延长线于点G，首先根据含30°角直角三角形的性质得到OG=AO=24，然后利用勾股定理求解即可．【详解】(1)如图所示，过点O作OF⊥AB交AB于点F，∵等腰△OAB，∠AOB=120°∴∠OAB=∠OBA=30°∵OF⊥AB1∴OF=OA2∵点C恰好为OA的中点1∴OC=OA2∴OF=OC∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线；27 (2)如图所示，过点A作AG⊥BO交BO的延长线于点G，∵∠AOB=120°∴∠AOG=180°-120°=60°∴∠GAO=30°∵OC=4∴AO=2OC=81∴OG=AO=4222∴AG=AO-OG=43∵GD=GO+DO=4+4=822∴AD=AG+DG=47．【点睛】本题主要考查了切线的判定、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．26(2023秋·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习)如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．(1)求证：△ACD是等边三角形；(2)若点F是AC的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)利用垂径定理的推论证明AB垂直平分CD，得到AC=AD，再证明∠ADC即可推出是等边三角形；(2)利用等边三角形的性质和勾股定理求出AC=23，再由圆和等边三角形的性质再求出∠CAG=30°，最后由直角三角形的性质即可求解.【详解】(1)证明：如图，连接OC、BC,∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，⏜⏜∴AC=AD,∴AC=AD,∵点E是OB的中点，CD⊥AB，∴CD是OB的中垂线，∴OC=BC，∵OC=OB,∴OC=OB=BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，∴△ACD是等边三角形；28 (2)解：如图，连接DF，∵⊙O的半径为2，点E是OB的中点，∴AE=3，∵△ACD是等边三角形，CD⊥AB，11∴CE=CD=AC，22在Rt△ACE中，AE=3，222由勾股定理得：AC-CE=AE，212即AC-AC=9，2则AC=23，⏜∵点F是AC的中点，⏜⏜∴AF=CF，1∴∠ADF=∠CDF=∠ADC=30°，2∴∠CAG=∠CDF=30°，∵CG⊥AG，∴∠G=90°，1∴CG=AC=3.2【点睛】本题考查了垂径定理等圆的有关性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是能够掌握圆的相关性质并能灵活运用所学知识求解．27(2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆外，AC，BC与半圆交于D点和E点，连接DE．(1)若CE=DE，求证：点E为BC中点；(2)在(1)的条件下，连接BD，若AB=10，BC=210，求BD的长．【答案】(1)见详解(2)6【分析】(1)连接AE、BE、DE，可证∠BAE+∠ABE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，∠BAE=∠BDE，从而可证∠ABE=∠CDE，再证AB=AC，即可求证；2211(2)可求AE=AB-BE=310由AC⋅BD=BC⋅AE，即可求解．22【详解】(1)证明：连接AE、BD、DE，∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BDC=90°，∠BAE+∠ABE=90°，29 ∴∠CDE+∠BDE=90°，∵BE=BE，∴∠BAE=∠BDE，∴∠ABE=∠CDE，∵CE=DE，∴∠C=∠CDE，∴∠C=∠ABE，∴AB=AC，∴点E为BC中点．(2)解：1由(1)得，BE=BC=10，2AC=AB=10，∵∠AEB=90°22∴AE=AB-BE22=10-10=310，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥AC，11∴AC⋅BD=BC⋅AE，2211∴×10⋅BD=×210×310，22∴BD=6．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，掌握性质是解题的关键．28(2022秋·天津河西·九年级统考期末)已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=82°，C为⊙O上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB=AD，求∠EAC的大小．【答案】(1)∠ACB=49°(2)∠EAC=20.5°1【分析】(1)连接OA、OB，根据切线的性质可求出∠AOB，再根据∠ACB=∠AOB即可求解；2(2)连接CE，可求出∠BCE，进而可求∠BAE；根据AB=AD即可求解．【详解】(1)解：连接OA、OB，30 ∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=98°，1∴∠ACB=∠AOB=49°；2(2)解：连接CE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∵∠ACB=49°，∴∠BCE=90°-49°=41°，∴∠BAE=∠BCE=41°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=69.5°，∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=20.5°【点睛】本题考查了圆中相关结论：切线的性质、圆周角定理，解题的关键是熟记相关知识点．29(2023·江西吉安·校考模拟预测)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，D是直径AB下方一点，且AD=BD，连接CD交AB于点E．(1)如图1，若∠A=30°，则∠CEB=；(2)如图2，P是AB延长线上一点，连接PC，且PC=PE．①求证：PC与⊙O相切；②若⊙O的半径为1，CE=CB，求PB的长．【答案】(1)75°；(2)①证明见解析；②PB=2-1．【分析】(1)根据直径所对的圆周角等于直角，得到∠ACB=90°，再利用等弧所对的圆周角相等，得到∠ACD=∠BCD=45°，然后利用三角形外角的性质，即可求出∠CEB的度数；(2)①连接OC，根据等边对等角的性质，得出∠PCB=∠OCA，再利用∠OCA+∠OCB=90°，得到∠OCP=90°，即可证明结论；②根据等边对等角的性质，得出∠CEB=∠CBE=∠OCB，再利用三角形内角和定理，得到∠COB=∠BCD=45°，进而证明△OCP是等腰直角三角形，得到OC=PC=1，OP=2，即可求出PB的长．【详解】(1)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AD=BD，31 ∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠A=30°∴∠CEB=∠A+∠ACD=30°+45°=75°，故答案为：75°；(2)解：①如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PCE=∠BCD+∠PCB，∠PEC=∠ACD+∠A，由(1)知∠ACD=∠BCD，∴∠PCB=∠A，∴∠PCB=∠OCA，∵∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∴∠OCP=90°，∵点C在⊙O上，∴PC是⊙O的切线；②∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CEB=∠CBE=∠OCB，∵∠COB+∠CBE+∠OCB=180°，∠BCD+∠CEB+∠OBC=180°，∴∠COB=∠BCD=45°，由①知，∠OCP=90°，∴∠OPC=180°-∠OCP-∠COB=45°，∴△OCP是等腰直角三角形，22∴OC=PC=1，OP=OC+PC=2，∴PB=OP-OB=2-1．【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理等知识，灵活掌握相关知识点解决问题是解题关键．30(2022秋·湖南长沙·九年级校联考期中)如图：已知等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，B、D在⊙O上，延长BC交⊙O于点F，过B点作BE⊥BC，交⊙O于点E，连接DE，连接EF，I是△FBE的内心．32 (1)如图1，求证：∠DEF=∠DFE；(2)如图2，连接BI，延长交⊙O于点A，求证：AI=AF；(3)如图3，过I点作EF的垂线，垂足为M，当时CD=2时，求FM-EM的长度．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】(1)证明EF是直径，再证明∠DEF=∠DBC=45°，可得结论；(2)连接FI，证明∠AIF=∠AFI，可得结论；(3)如图3中，过点D作DJ⊥EB交EB的延长线于点J，作△BEF的内切圆⊙I，切点分别为P，Q，M．证明四边形BJDC是正方形，再证明Rt△DCF≌Rt△DJE(HL)，推出FC=EJ，因为⊙I与△BEF内切于点P，Q，M，推出EM=EP，BP=BQ，FQ=FM，可得FM-EM=BC+CF-(EJ-BJ)=2BC=2CD=4．【详解】(1)证明：如图1中，∵BE⊥BF，∴∠EBF=90°，∴EF是直径，∴∠EDF=90°，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴∠DEF=∠DBC=45°，∴∠DEF=∠DFE=45°；(2)证明：如图2中，连接IF．∵I是△BEF的内心，∴∠IBF=∠IBE，∠IFB=∠IFE，33 ∵∠AIF=∠IBF+∠IFB，∠AFI=∠AFE+∠IFE，∠AFE=∠IBE，∴∠AIF=∠AFI，∴AI=AF；(3)解：如图3中，过点D作DJ⊥EB交EB的延长线于点J，作△BEF的内切圆⊙I，切点分别为P，Q，M．∵∠CBJ=∠J=∠DCB=90°，∴四边形BJDC是矩形，∵CB=CD，∴四边形BJDC是正方形，∴CD=DJ=BJ=BC，∵∠DEF=∠DFE=45°，∴DE=DF，∴Rt△DCF≌Rt△DJE(HL)，∴FC=EJ，∵⊙I与△BEF内切于点P，Q，M，∴EM=EP，BP=BQ，FQ=FM，∴FM-EM=FQ-PE=BF-BE=BC+CF-(EJ-BJ)=2BC=2CD=4．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内切圆，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．34