云南省2022中考数学试题研究三解答题重难点突破题型三与切线有关的证明与计算

与切线有关的证明及计算针对演练1.(2022钦州8分)如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC＝∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC＝，AD＝3，求直径AB的长．第1题图2.(2022黔东南州12分)如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．(1)求证：PN与⊙O相切；(2)如果∠MPC＝30°，PE＝2，求劣弧的长．第2题图3.(2022朝阳8分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE＝∠A.(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若AC＝16，tanA＝，求⊙O的半径．第3题图8\n4.(2022抚顺12分)如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与⊙O相切；(2)若AD＝2，F为AE的中点，求AB的长．第4题图5.(2022南通8分)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°.(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．第5题图6.(2022青海8分)如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D.(1)求证：AM＝AC；(2)若AC＝3，求MC的长．第6题图7.(2022丹东10分)如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积；(2)求证：DE＝DM.8\n第7题图【答案】题型三与切线有关的证明及计算1.(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；(4分)(2)解：∵DE=BE，∴OE⊥BD，∴∠EOB+∠OBE=∠EOB+∠C=90°，∴∠OBE=∠C，∴tan∠ABD＝tan∠OBE=tan∠C=，即，∴BD=2AD=6，在Rt△ABD中，AB=.(8分)2.(1)证明：如解图，连接OE，过O作OF⊥PN于F.8\n第2题解图∵PM与⊙O相切于点E，∴OE⊥PM，∵PC平分∠MPN，∴OE=OF，∴PN是⊙O的切线.(6分)(2)解：∵在Rt△POE中，∠EPO=30°，PE=,∴OE=PEtan∠EPO==2，∵∠EOB是△PEO的外角，∴∠EOB=∠EPO+∠PEO=30°+90°=120°，∴劣弧的长.(12分)3.解：(1)DE与⊙O相切于点D.理由如下：如解图，连接OD，第3题解图∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA,∵∠BDE=∠BAD，∴∠ODA=∠BDE,∴∠BDE+∠ODB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.(4分)(2)∵DE⊥BC，DO⊥DE，∴DO∥BC，8\n∴∠ADO=∠C，∴∠BAC=∠C，∴AB=BC，∵BD⊥AC，AC=16，∴AD=CD=8.在Rt△ABD中，tanA=，设BD=3k，则AD=4k，由勾股定理得AB=5k，∴，解得AB=10，∴⊙O的半径OA=5.(8分)4.(1)证明：连接OF、OC，如解图.第4题解图∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC＝90°，∵E是BC的中点，AO=DO,∴AO=AD,EC=BC,∴四边形OAEC是平行四边形，∴AE∥OC，∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA，∵OA=OF,∴∠OAF=∠OFA，∴∠DOC＝∠FOC，∵OD＝OF，OC=OC，∴△ODC≌△OFC(SAS)，∴∠OFC＝∠ODC＝90°，∴OF⊥CF，∴CF与⊙O相切.(6分)(2)解：连接DE，如解图，∵AO=DO,AF=EF,AD=2,∴DE=2OF=2,∵E是BC的中点，∴CE=1,在Rt△DCE中，由勾股定理得CD＝，∴AB=CD=.(12分)8\n5.解：(1)如解图，连接OA，OB交⊙O于点D.第5题解图∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°.∴∠AOB+∠P＝180°.∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，∴∠P＝60°.(4分)(2)如解图，连接OP.∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴∠APO＝∠APB＝30°.∵在Rt△APO中，tan30°＝，∴AP＝，∵OA＝4cm，∴AP＝4cm.∴S阴影＝2（S△AOP-S扇形AOD）2×＝cm2.(8分)6.(1)证明：如解图，连接OA,AD.第6题解图∵∠B=60°，∴∠ADC=60°.∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°,∴∠ACD=30°.∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，8\n∴∠AOD=60°.∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°,∴∠M=30°，∴∠ACD=∠M，∴AC=AM.(4分)(2)解：由(1)可得，在Rt△ACD中，AD=AC=∵△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA=OC=,∵在Rt△OAM中，∠M=30°，∴OM=2OA=2,∴MC=OM+OC=3.(8分)7.(1)解：连接OD,如解图①,第7题解图①∵CD是⊙O的切线,∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD-S扇形OBD＝×2×2-=4-π.(5分)(2)方法一证明：连接AD.如解图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵，8\n∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，∴△AMD≌△ABD(ASA)，∴DM=BD，∴DE=DM.(10分)②方法二证明：连接BE.如解图②，第7题解图∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠MEB=90°，∴∠DEM+∠BED=90°，∠M+∠MBE=90°，又∵，∴∠DBE=∠BED，∴∠DEM=∠M，∴DE=DM.(10分)8