云南省2022中考数学试题研究三解答题重难点突破题型一解直角三角形的实际应用

解直角三角形的实际应用针对演练1.(2022梧州8分)如图，某景区有一处索道游览山谷的旅游点．已知索道两端距离AB为1300米，在山脚C点测得BC的距离为500米，∠ACB＝90°，在C点观测山峰顶点A的仰角∠ACD＝23.5°，求山峰顶点A到C点的水平面高度AD(参考数据：sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92，tan23.5°≈0.43)．第1题图(2022盘锦8分)如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直的树CD、EF.一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC＝30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE＝45°，线段BF恰好经过树顶D.已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE＝3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度(≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数)．第2题图3.(2022湘潭6分)“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨，搜救部门派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距离江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？(结果精确到0.1，≈1.73)第3题图4.如图，甲建筑物的高AB为40m，AB⊥BC，DC⊥BC，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从B点测得D点的仰角为60°，从A点测得D点的仰角为45°.求乙建筑物的高DC.10\n第4题图1.(2022荆门10分)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)．第1题图2.(2022镇江6分)某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．第2题图3.(2022泸州8分)如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)10\n第3题图1.(2022铁岭12分)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1∶(即tan∠DEM＝1∶)，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度(结果精确到1米)．(参考数据：≈1.73，≈1.41)第1题图2.(2022广安8分)数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为iFC＝1∶10(即EF∶CE＝1∶10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35m(即CE＝35m)处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα＝，升旗台高AF＝1m，小明身高CD＝1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．第2题图1.(2022北海8分)如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处．已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC＝110米，DE＝9米，BD＝60米，＝32°，β＝68°，求AC的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)10\n第1题图2.(2022资阳8分)北京时间2022年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7)第2题图【答案】题型一解直角三角形的实际应用仰角、俯角问题1.解：∵AB=1300米，BC=500米，∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，AC==1200米，(3分)又∵∠ACD=23.5°，∴在Rt△ADC中,AD=AC·sin23.5°≈1200×0.4＝480米，(7分)答：AD的高度约为480米.(8分)2.解：设EF=x米,∵∠FBE=45°，∴BE=EF=x米,∵CE=3米,∴BC=DC=BE-CE=(x-3)米,(3分)∵∠DAC=30°，∴AC=米,(4分)∵AC-BC=AB,AB=2米,10\n∴(x-3)-(x-3)＝2，(6分)解得：x=4+≈5.7米.答：树EF的高度约为5.7米.(8分)3.解：如解图，过B作BD⊥AC于D，(1分)根据题意可得BD=100米，∠BAD=30°，第3题解图∴AD=≈173米，∵直升机的飞行速度是v=10米每秒，(3分)∴该直升机到达点D需要的时间为173÷10=17.3秒.(5分)答：该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行17.3秒可到达漂浮物的正上方.(6分)4.解：如解图，过点A作AE⊥CD于点E，第4题解图根据题意得：∠DBC＝60°，∠DAE＝45°，AE=BC,EC=AB=40m，设DE=xm,则DC=DE+EC=(x+40)m,在Rt△AED中，tan∠DAE=tan45°＝1，∴AE=DE＝xm,在Rt△DBC中，tan∠DBC=tan60°＝，∴,解得：x=20+20,∴DC=x+40=(20+60)m,答：乙建筑物的高DC为(20+60)m.10\n方向角问题解：如解图，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.第1题解图由题意知∠ABC＝30°，∠FCD＝45°，CD=CB=1000米.在Rt△BCE中，CE=BC·sin30°＝1000×＝500米.(4分)在Rt△DCF中，DF=CD·sin45°＝1000×＝500米.(6分)∵四边形AFCE是矩形，∴AF=EC，∴AD=AF+FD=CE+FD=(500+500)米.(9分)答：拦截点D处到公路的距离为(500+500)米.(10分)2.解：设B点向南方向为BF方向，A点向北方向为AE方向，∵∠BAE＝30°,BF∥AE，∴∠ABF＝30°，(1分)∵∠FBC＝75°，∴∠ABC＝45°，(2分)∵∠CAE＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°，(3分)∴∠C＝180°-75°-45°＝60°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，如解图，(4分)第2题解图在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，AB=60海里,则BD=AD=AB·sin45°＝30海里，在Rt△ADC中，∠C＝60°，AD=30海里，10\n则CD=海里，∴BC=(30+10)海里.(6分)3.解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设BD=x海里，第3题解图由题意得，BC=30×0.5=15海里，CD=(15-x)海里，∠CAD=90°-60°=30°，∠BAD=45°,(1分)在Rt△ACD中，AD=海里，(2分)在Rt△ABD中，AD=BD=x海里，∴=x，(3分)解得x=,(5分)∴航行时间为(小时)，(7分)答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近.(8分)坡度(坡比)、坡角问题1.解：如解图，过点D作DF⊥MN于点F，作DH⊥AN于点H，10\n第1题解图∵i＝1∶3，∴，设DF＝x米，则FE＝x米，在Rt△DFE中，由勾股定理得DF2+FE2＝DE2，即x2+(x)2=202，解得x＝10，(2分)∴DF＝10米，则FE＝10米，∴FN＝FE+EC+CN＝10+10+20＝(10+30)米，(4分)∴DH＝(10+30)米，又∵∠ADH＝30°，∴tan30°＝，(6分)∴AH＝(10+10)米，又∵DF＝HN＝10米，∴AN＝HN+AH=10+10+10＝(20+10)米，(8分)又∵∠BCN＝45°，∴CN＝BN＝20米，(10分)∴AB＝AN-BN=20+10-20＝10≈17米.(12分)答：条幅的长度约为17米.2.解：如解图，过点D作DG⊥AE于点G，则DG=CE=35m,CD=EG=1.6m,第2题解图在Rt△BDG中，BG=DG·tan=35×=15m，(4分)∴BE=BG+EG=15+1.6=16.6m，(5分)10\n在Rt△CEF中，,∴EF==3.5m,(7分)∴AB=BE-EF-AF=16.6-3.5-1=12.1m.∴旗杆高度为12.1m.(8分)答：旗杆AB的高度为12.1米.其他问题1.解：如解图，作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点G，第1题解图则GC=DF，DG=FC，∵在Rt△BDF中,BD=60米，sinα=,cosα=，∴DF=BD·sinα≈60×0.53＝31.8米，∴BF=BD·cosα≈60×0.85＝51米，(2分)又∵BC=110米，DE=9米，∴FC=BC-BF=110-51=59米，EG=DG-DE=FC-DE=59-9=50米，(4分)在Rt△AEG中，tanβ=，∴AG=EG·tanβ≈50×2.48=124米，(6分)∴AC=AG+GC=AG+DF=124+31.8＝155.8米，(7分)答：AC的高度约为155.8米.(8分)2.解：如解图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D.第2题解图根据题意得∠DAC=25°，∠DBC=60°，在Rt△ACD中，AD=＝2CD，(2分)在Rt△CDB中，BD=，(4分)10\n∵AB=AD-BD＝4，∴2CD-=4,(6分)解得CD≈3米.答：该生命迹象所在位置C的深度约为3米.(8分)10