圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题 - 学生版

圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题221(2023·江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：(x+2)+y=4和定点F(2，0)，P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点T(t，0)(-1<t<1)的直线l与曲线C交于点M，N(异于点A)，直线MA，NA与直线x=t分别交于点G，H.若F，A，G，H四点共圆，求实数t的值．2(2023·河南开封模拟)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F(1，0)且与直线x=-1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率为k(k≠±2)的直线l与C交于A，B两点，点P是C上的一点，且OP∥l，直线OP与直|AF|·|BF|线x=1交于点Q，点M是线段PQ的中点，求的值．224|OM|-|PQ|1 2y2x3(2023·四省联考)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过点A(42，3)，且焦距为10.22ab(1)求C的方程；|GD|(2)已知点B(42，-3)，D(22，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：=|GE||HD|.|HE|22272234已知圆M：(x+2)+y=的圆心为M，圆N：(x-2)+y=的圆心为N，一动圆与圆N内切，44与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；3(2)已知定点P，0，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN=∠BPN.22 5在△ABC中，A，B的坐标分别是(-2，0)，(2，0)，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|.(1)求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；(2)直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．6(2023·广东广州二模)已知点F(1，0)，P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.(1)求C的方程；(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求直线l的方程．3 综合测试21(2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y=2px(p>0)交于A，B两点，且|AB|=415.(1)求p；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，MF·NF=0，求△MNF面积的最小值．12(2023·新课标Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0，的距离，记动点2P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33.4 2y2x313已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，且过点3，.a2b222(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线x=3交于M，N两点，设r1△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，求的最小值．r2强化训练1(2023·山东菏泽二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-3，0)，点P为动点，点Q为线段PA的5中点，直线PA与直线OQ的斜率之积为-.9(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设过点F(-2，0)且不与坐标轴垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于1点B，若点B的横坐标xB>-，求|MN|的取值范围．35 22(2023·唐山二模)已知抛物线C：y=2px(p>0)的焦点为F，A为C上一点，B为准线l上一点，BF=2FA，|AB|=9.(1)求抛物线C的方程；4(2)M，N，E(x0，-2)是C上的三点，若kEM+kEN=-，求点E到直线MN距离的最大值．322223(2023·辽宁实验中学模拟)已知一动圆与圆E：(x+3)+y=18外切，与圆F：(x-3)+y=2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)直线l与C交于A，B两点，点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，从下面①②③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①P(8，1)；②|AP|·|BQ|=|BP|·|AQ|；③Q是直线l与直线x-y-1=0的交点．注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．6 2y2x24(2023·江苏南通二模)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，过E的左焦a2b22点F的直线l与E交于A，B两点，与直线x=-2交于点M.(1)若M(-2，-1)，求证：|MA|·|BF|=|MB|·|AF|；11(2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x=-2相交于点N.求++|MA||MB|11+的最大值．|NC||ND|25设A(2，n)是抛物线E：x=4y上一点，不过点A的直线l交E于M，N两点，F为E的焦点．11(1)若直线l过点F，求+的值；|FM||FN|(2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为k1，k2和k，若k1+k2=2，求k的值．7 2226已知抛物线C：x=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x+(y+4)=1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．8