第八章　§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题题型一　范围问题例1　(2023·淄博模拟)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．解　(1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4，即2a＝4，所以a＝2，又因为c＝，可得b＝＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，由kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1，所以k≥－，又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1，综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．思维升华　圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．跟踪训练1　(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.(1)求实数p的值；(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．解　(1)因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，由抛物线的定义知1＋＝2，解得p＝2.(2)由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，设A，B(y1≠0，y2≠0)，设l：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，设l1：y－y1＝k，联立方程组消去x，整理得ky2－4y＋4y1－ky＝0，所以Δ＝16－4k(4y1－ky)＝4(4－4ky1＋k2y)＝0，所以k＝，则l1：y－y1＝，即y＝x＋，令x＝0，得M，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期同理l2：y＝x＋，N，联立得交点Q的横坐标为xQ＝＝－1，∴S△QMN＝|MN|·|xQ|＝×1＝＝≥1，∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞)．题型二　最值问题例2　(2022·苏州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．解　(1)由题设可知解得则C：－y2＝1.(2)设点M的横坐标为xM>0，当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2；当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，整理得4k2＝m2＋1，联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0，则x1＋x2＝－＝－＝－，则xM＝＝－>0，即km<0，则x＝＝4＋>4，即xM>2，此时点M到y轴的距离大于2.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期综上所述，点M到y轴的最小距离为2.思维升华　圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练2　(2023·临沂模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线x＝被C截得的线段长为.(1)求C的方程；(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且＝λ，求四边形ABF1F2面积的最大值．解　(1)∵e＝＝，∴＝，∴c2＝a2，∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2，由⇒y＝±，由题可知2＝，解得a2＝3，∴C：＋y2＝1.(2)由＝λ，得AF2∥BF1，如图，延长BF1，AF2交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的面积的一半．由题知，BF1的斜率不为零，故设BF1的方程为x＝my－，联立得(m2＋3)y2－2my－1＝0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵Δ>0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，故|BC|＝·|y1－y2|＝，O到BF1的距离d＝，＝S四边形ABCD＝×4S△OBC＝2××|BC|·d＝|BC|·d＝·＝2·＝2·＝2·≤2×＝，当且仅当＝，即m＝±1时取等号，∴当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为.课时精练1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解　(1)∵a＝1，＝2，∴c＝2，b2＝3，∴双曲线C的标准方程为x2－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点Q(x0，y0)，联立得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，依题意即①由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1·x2＝－，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，∴kBQ＝＝＝－，∴3－k2＝m，②又k2＝3－m>0，③由①②③得m<－或0<m<.2．(2023·吕梁模拟)已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(，1)．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为k1，直线OB的斜率为k2，且k1k2＝－，求·的取值范围．解　(1)由题意可得又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期面积的取值范围．解　(1)由题意知，c＝2，因为焦点在y轴，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，将点P的坐标代入上式得＋＝1，联立方程解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.(2)如图，当过F2的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋2，直线CD的方程为y＝－x＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立直线AB与椭圆方程得x2＋kx－＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝－，线段AB的长为|AB|＝|x1－x2|＝×＝4×，同理联立直线CD与椭圆方程得到|CD|＝×|x3－x4|＝4×，因为AB⊥CD，所以四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|＝16×＝8×，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期令f(k)＝·，t＝，则有0<t<1，g(t)＝(1＋t)是关于t的二次函数，当0<t<1时，1<g(t)≤，所以≤S<8；当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设k＝0，则直线AB的方程为y＝2，将y＝2代入椭圆方程，得x＝±，则|AB|＝2，|CD|＝2a＝4，四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|＝8；所以四边形ACBD面积的取值范围是.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期