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2023版高考数学一轮复习课后限时集训57圆锥曲线中的范围最值问题含解析202303181123

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课后限时集训(五十七)圆锥曲线中的范围、最值问题建议用时:40分钟1.已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.[解] (1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1,所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又x+2y=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=2+(y0-2)2=x+y++4=x+++4=++4(0<x≤4).因为+≥4(0<x≤4),且当x=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆C上一点,满足3|PF1|=5|PF2|,且cos∠F1PF2=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,点Q,若|AQ|=|BQ|,求k的取值范围.[解] (1)由题意设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则3r1=5r2.①\n又r1+r2=2a,②联立①②,解得r1=a,r2=a.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===,解得a2=4.因为c=1,所以b2=a2-c2=3,于是椭圆C的标准方程为+=1.(2)由消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,且Δ=(8km)2-4×(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0.③设线段AB的中点为M(x0,y0),连接QM,则x0==,y0=kx0+m=.因为|AQ|=|BQ|,所以AB⊥QM,又Q,M为线段AB的中点,所以k≠0,直线QM的斜率存在,所以k·kQM=k·=-1,解得m=-.④把④代入③,得3+4k2>2,解得k<-或k>.即k的取值范围为∪.3.如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.\n[解] (1)设直线AP的斜率为k,k==x-,因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ=.因为|PA|==(k+1),|PQ|=(xQ-x)=-,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.

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发布时间:2022-08-25 17:22:16 页数:3
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文章作者:U-336598

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