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2023版高考数学一轮复习课后限时集训56圆锥曲线中的定点定值问题含解析202303181122

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课后限时集训(五十六)圆锥曲线中的定点、定值问题建议用时:40分钟1.(2020·兰州模拟)已知动圆E经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,证明:直线AB的斜率为定值.[解] (1)由已知,动点E到定点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.(2)证明:由题意直线l1,l2的斜率存在,倾斜角互补,得斜率互为相反数,且不等于零.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l1的方程为y=k(x-1)+2,k≠0.直线l2的方程为y=-k(x-1)+2,由得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,Δ=16(k-1)2>0,已知此方程一个根为1,∴x1×1==,即x1=,同理x2==,∴x1+x2=,x1-x2=-=-,∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x1+x2)-2k=k·-2k=,∴kAB===-1,∴直线AB的斜率为定值-1.2.(2020·江西九江三校6月考前模拟)已知抛物线C1:x2=2py(p>0)和圆C2:(x+1)2+y2=2,倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点,且l1与圆C2相切.\n(1)求p的值;(2)动点M在C1的准线上,动点A在C1上(不与坐标原点O重合),若C1在A点处的切线l2交y轴于点B,设=+,证明点N在定直线上,并求该定直线的方程.[解] (1)由题意得,直线l1的斜率k1=tan45°=1,抛物线C1的焦点为,则直线l1的方程为y=x+.因为l1与C2相切,所以圆心C2(-1,0)到直线l1:y=x+的距离d==,解得p=6.(2)法一:依题意设M(m,-3),由(1)知抛物线C1的方程为x2=12y,即y=,求导得y′=.设A(x1,y1)(x1≠0),则以A为切点的切线l2的斜率k2=,所以切线l2的方程为y=x1(x-x1)+y1.令x=0,则y=-x+y1=-×12y1+y1=-y1,即点B的坐标为(0,-y1).则=(x1-m,y1+3),=(-m,-y1+3),所以=+=(x1-2m,6),连接ON,OM(图略),则=+=(x1-m,3).设点N的坐标为(x,y),则y=3,所以点N在定直线y=3上.法二:设M(m,-3),由(1)知抛物线C1的方程为x2=12y.①设直线l2的斜率为k2,A(x1≠0),则以A为切点的切线l2的方程为y=k2(x-x1)+x.②联立①②得消去y并整理得x2-12k2x+12k2x1-x=0.由Δ=(12k2)2-4(12k2x1-x)=0,求得k2=.所以切线l2的方程为y=x1(x-x1)+x.令x=0,得点B的坐标为,则=,=\n,所以=+=(x1-2m,6),连接ON,OM(图略),则=+=(x1-m,3).设点N的坐标为(x,y),则y=3,所以点N在定直线y=3上.3.(2020·全国卷Ⅰ)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.[解] (1)由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则=(a,1),=(a,-1).由·=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程为+y2=1.(2)证明:设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3<n<3.由于直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3).直线PB的方程为y=(x-3),所以y2=(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).由于+y=1,故y=-,可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0. ①将x=my+n代入+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以y1+y2=-,y1y2=.代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.\n解得n=-3(舍去)或n=.故直线CD的方程为x=my+,即直线CD过定点.若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点.综上,直线CD过定点.

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发布时间:2022-08-25 17:22:15 页数:4
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文章作者:U-336598

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