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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训59圆锥曲线中的证明探索性问题理含解析新人教版202302272168

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课后限时集训(五十九) 圆锥曲线中的证明、探索性问题建议用时:40分钟1.(2020·合肥模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右顶点分别是A1,A2,上顶点为B(0,b),△A1A2B的面积等于2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点Q(1,0),P(4,m),直线PA1,PA2分别交椭圆C于点M,N,证明:M,Q,N三点共线.[解] (1)由离心率为得,= ①.由△A1A2B的面积为2得,ab=2 ②.a2=b2+c2 ③,∴联立①②③解得,a=2,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)记点M,N的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2).注意到A1(-2,0),∴直线PA1的方程为y=(x+2),与椭圆+y2=1联立并整理得(m2+9)x2+4m2x+4m2-36=0,由-2+x1=得x1=,代入直线PA1的方程得y1=,即M.同理可得N.∵Q(1,0),∴=,=,由·=·知,M,Q,N三点共线.2.(2020·济南模拟)已知Q为圆x2+y2=1上一动点,Q在x轴、y轴上的射影分别为点A,B,动点P满足=,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点的直线与曲线C交于M,N两点,判断以MN为直径的圆是否过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.[解] (1)设Q(x0,y0),P(x,y),则x+y=1,\n由=,可得,代入x+y=1,得+y2=1,故曲线C的方程为+y2=1.(2)假设存在满足条件的定点,由对称性可知该定点在y轴上,设定点为H(0,m),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-,由得(1+4k2)x2-kx-=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)-=-,y1y2==k2x1x2-k(x1+x2)+=.因为=(x1,y1-m),=(x2,y2-m),所以·=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2==0,对任意的k恒成立,所以解得m=1,即定点为H(0,1),当直线l的斜率不存在时,以MN为直径的圆也过点(0,1),故以MN为直径的圆过定点(0,1).3.设D是圆O:x2+y2=16上的任意一点,m是过点D且与x轴垂直的直线,E是直线m与x轴的交点,点Q在直线m上,且满足2|EQ|=|ED|.当点D在圆O上运动时,记点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知点P(2,3),过F(2,0)的直线l交曲线C于A,B两点,交直线x=8于点M.试判断直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列,并说明理由.[解] (1)设点Q(x,y),D(x0,y0),因为2|EQ|=|ED|,点Q在直线m上,所以x0=x,|y0|=|y|. ①因为点D在圆O:x2+y2=16上运动,所以x+y=16. ②\n将①代入②,可得x2+=16.即曲线C的方程为+=1.(2)直线PA,PM,PB的斜率依次构成等差数列,理由如下.由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),令x=8,得点M的坐标为(8,6k).由消去y,并整理得(4k2+3)x2-16k2x+16(k2-3)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=. ③记直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,从而k1=,k2=,k3==k-.因为直线AB的方程为y=k(x-2),所以y1=k(x1-2),y2=k(x2-2),所以k1+k2=+=+-3=2k-3×. ④把③代入④,得k1+k2=2k-3×=2k-1.又k3=k-,所以k1+k2=2k3,于是直线PA,PM,PB的斜率依次构成等差数列.

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发布时间:2022-08-25 17:31:32 页数:3
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文章作者:U-336598

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