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2023版高考数学一轮复习课后限时集训58圆锥曲线中的证明探索性问题含解析202303181124

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课后限时集训(五十八)圆锥曲线中的证明、探索性问题建议用时:40分钟1.(2020·合肥模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右顶点分别是A1,A2,上顶点为B(0,b),△A1A2B的面积等于2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点Q(1,0),P(4,m),直线PA1,PA2分别交椭圆C于点M,N,证明:M,Q,N三点共线.[解] (1)由离心率为得,= ①.由△A1A2B的面积为2得,ab=2 ②.a2=b2+c2 ③,∴联立①②③解得,a=2,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)记点M,N的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2).注意到A1(-2,0),∴直线PA1的方程为y=(x+2),与椭圆+y2=1联立并整理得(m2+9)x2+4m2x+4m2-36=0,由-2+x1=得x1=,代入直线PA1的方程得y1=,即M.同理可得N.∵Q(1,0),∴=,=,由·=·知,M,Q,N三点共线.2.(2021·全国统一考试模拟演练)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上,当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.(1)求C的离心率;(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.[解] (1)设双曲线的离心率为e,焦距为2c,\n在-=1中令x=c,则-=1,则=-1=,故y=±,若|AF|=|BF|,则a+c=,所以a2+ac=b2=c2-a2,所以e2-e-2=0,所以e=2.(2)由(1)得双曲线方程为-=1,设B(x,y)(x>0,y>0),kAB=,kBF=,设∠BAF=θ,则tanθ=,tan2θ========-kBF=tan∠BFA,所以∠BFA=2∠BAF.3.设D是圆O:x2+y2=16上的任意一点,m是过点D且与x轴垂直的直线,E是直线m与x轴的交点,点Q在直线m上,且满足2|EQ|=|ED|.当点D在圆O上运动时,记点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知点P(2,3),过F(2,0)的直线l交曲线C于A,B两点,交直线x=8于点M.试判断直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列,并说明理由.[解] (1)设点Q(x,y),D(x0,y0),因为2|EQ|=|ED|,点Q在直线m上,所以x0=x,|y0|=|y|. ①因为点D在圆O:x2+y2=16上运动,所以x+y=16. ②将①代入②,可得x2+2=16.即曲线C的方程为+=1.(2)直线PA,PM,PB的斜率依次构成等差数列,理由如下.由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),令x=8,得点M的坐标为(8,6k).由消去y,并整理得(4k2+3)x2-16k2x+16(k2-3)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=. ③记直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,\n从而k1=,k2=,k3==k-.因为直线AB的方程为y=k(x-2),所以y1=k(x1-2),y2=k(x2-2),所以k1+k2=+=+-3=2k-3×. ④把③代入④,得k1+k2=2k-3×=2k-1.又k3=k-,所以k1+k2=2k3,于是直线PA,PM,PB的斜率依次构成等差数列.

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发布时间:2022-08-25 17:22:16 页数:3
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文章作者:U-336598

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