2023版高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第六讲对数与对数函数课件

第六讲　对数与对数函数 课标要求考情分析1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.1.本讲复习利用对数函数的图象掌握对数函数的性质，侧重把握对数函数与其他知识交汇问题的解决方法. 课标要求考情分析2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)2.重点解决：(1)对数式化简与求值；(2)对数函数的图象与性质及其应用.复习时也应注意分类讨论、数形结合、函数与方程思想的应用.要特别关注比较大小的方法与技巧.3.本讲高考一般以选择题的形式呈现(续表) 1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的运算法则和性质(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (2)对数的性质①负数和零没有对数.②loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1).④logaaN＝N(a>0，且a≠1).(3)对数的换底公式 【名师点睛】对数运算的一些结论 y＝logaxa>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R3.对数函数的图象与性质 y＝logaxa>10<a<1性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减(续表) 4.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 【名师点睛】(1)对数函数的图象与底数大小的比较如图2-6-1所示，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.图2-6-1 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.(2)对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于0，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分a>1和0<a<1两种情况讨论. 题组一走出误区1.(多选题)下列结论错误的是()答案：ABC 题组二走进教材2.(教材改编题)若lg2＝a，lg3＝b，则lg12的值为()B.bD.2abA.aC.2a＋b答案：C 图2-6-2答案：B 题组三真题展现)B.c＜a＜bD.a＜c＜b则a，b，c的大小关系为(A.a＜b＜cC.b＜c＜a答案：D )B.b＜a＜cD.a＜b＜c则a，b，c的大小关系为(A.c＜b＜aC.a＜c＜b答案：C 考点一对数的运算1.(多选题)若2x＝3,3y＝4，则下列选项正确的是()答案：BCD 答案：1 答案：2 【题后反思】对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 考点二对数函数的图象及应用a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是()ABCD[例1](1)(多选题)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中 解析：易知g(x)＝loga|x|为偶函数.当0＜a＜1时，f(x)答案：AD＝ax－2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意；当a＞1时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意.故选AD. 答案：B 【题后反思】利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【变式训练】1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为()ABCD 解析：先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象(图略)，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如C中图象所示.故选C.答案：C f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合图D6可知a>1.图D6答案：(1，＋∞) 类型方法logax＞logab借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论logax＞b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解考点三对数函数的性质及应用考向1解对数方程、不等式通性通法：求解对数不等式的两种类型及方法 [例2](1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为______. 答案：{－1,1} 若底数相同若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一参数，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向2比较指数式、对数式的大小通性通法：比较对数值大小的方法 A.a＜b＜cC.a＜c＜bB.b＜a＜cD.b＜c＜a 因此b＜a＜c.答案：B (2)(2020年全国Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝)log85，c＝log138，则(A.a<b<cC.b<c<aB.b<a<cD.c<a<b 答案：A 考向3对数型函数单调性问题通性通法：对数型复合函数的单调性问题的求解策略(1)对于y＝logaf(x)型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf(x)的单调性与函数u＝f(x)[f(x)>0]的单调性在a>1时相同，在0<a<1时相反.(2)研究y＝f(logax)型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f(t)的单调性即可. [例4](1)(2020年新高考Ⅱ)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A.(－∞，－1]C.[2，＋∞)B.(－∞，2]D.[5，＋∞) 解析：由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5，即函数答案：Df(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5，则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lgt在(0，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5. 答案：[2,4] 【考法全练】1.(考向2)(多选题)(2021年胶州期末)已知a＝30.1，b＝log0.93，c＝sin(cos1)，则下述正确的是()A.a＞bC.b＞cB.a＞cD.b＞0解析：a＝30.1＞1，b＝log0.93＜0，c＝sin(cos1)∈(0,1)，则a＞c＞b.故选AB.答案：AB 2.(考向3)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，)－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(A.(－∞，4)B.(－4,4]C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D.[－4,4) 答案：D 解析：由x2－3x＋2＞0得x＞2或x＜1，即函数的定义域为{x|x＞2或x＜1}，当x在定义域内变化时，x2－3x＋2取遍(0，＋∞)内的每一个值，∴值域为R. 答案：(－∞，1)R 4.(考向3)若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.答案：2 ⊙数形结合探讨对数函数的性质 解析：正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，如图2-6-3，有0<m<1，n>1.图2-6-3f(m)＝|log2m|＝f(n)＝|log2n|，－log2m＝log2n， 答案：C 【高分训练】 解析：作出f(x)的大致图象如图D7，图D7由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a<b<c，则∴abc＝c.由图知10<c<12，∴abc∈(10,12).故选C.答案：C 解析：作出函数f(x)的图象，方程f(x)＝m有四个不同的实根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有四个不同的交点，如图D8所示：图D8 所以x3＋x4＝12，x3x4＝29－2m，因为方程f(x)＝m有四个不同的实根，所以由图D8可知m∈(0,1)，所以x3x4＝(29－2m)∈(27,29)，C，D均正确.故选BCD.答案：BCD