2023版高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第九讲函数模型及其应用课件

第九讲　函数模型及其应用 课标要求考情分析1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义1.本讲考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题.2.题型以选择、填空题为主，中档难度 常见函数模型函数解析式一次函数模型y＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)1.常见的几种函数模型 常见函数模型函数解析式指数函数模型y＝b·ax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型y＝blogax＋c(a，b，c为常数，x＞0，a＞0，且a≠1，b≠0)幂函数模型y＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)对勾函数模型(续表) 函数y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同2.三种函数模型性质比较 【名师点睛】(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.(2)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 题组一走出误区1.(多选题)下列结论错误的是()A.函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大B.“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻C.幂函数增长比直线增长更快答案：ABCD 题组二走进教材2.(教材改编题)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具)B.105元D.108元的进货价是(A.118元C.106元答案：D x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.003.(教材改编题)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，y最适合的拟合函数是()B.y＝x2－1D.y＝log2xA.y＝2xC.y＝2x－2答案：D 题组三真题展现4.(2020年全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)()A.60B.63C.66D.69答案：C 平地降雨量/mm0～1010～2525～5050～100降雨等级小雨中雨大雨暴雨5.(2021年北京)对24小时内降雨量在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：如图2-9-1所示，小明用一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形容器接了24小时的雨水，积水深度为150mm，那么这24小时降雨的等级是(平地降雨量等于圆锥形容器内积水的体积除以容器口面积)() 图2-9-1B.中雨D.暴雨A.小雨C.大雨答案：B 考点一用函数图象刻画变化过程1.(2020年新高考Ⅱ改编)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产，图2-9-2是某地连续11)天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(图2-9-2 ①这11天复工指数和复产指数均逐日增加；②这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量；③第3天至第11天复工、复产指数均超过80%；④第9天至第11天复产指数的增量大于复工指数的增量.A.①③B.②③④C.③④D.①④ 解析：由折线图知这11天的复工、复产指数有增有减，①错误；由第1天和第11天复工和复产指数位置可知，复产指数的增量小于复工指数的增量，②错误；由折线图知，第3天至第11天复工、复产指数均超过80%，③正确；由折线图知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，④正确.故选C.答案：C 2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，图2-9-3描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度)下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(图2-9-3 A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，B错误；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，C错误；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，D正确.答案：D 3.如图2-9-4，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0＜a＜12).不考虑树的粗细，现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是()图2-9-4ABCD 解析：设AD的长为xm，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a).作出函数图象可得其形状与B选项接近.故选B.答案：B 【题后反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 考点二构造函数模型求解实际问题考向1二次函数、分段函数模型[例1]某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图2-9-5；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2-9-6.(利润和投资单位：万元)图2-9-5图2-9-6 (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 此时x＝16,18－x＝2.∴当A，B两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为8.5万元. 考向2构建指数(对数)型函数模型[例2]一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)， [例3]某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的关系如图2-9-7所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________.图2-9-7 解析：根据图象求得y＝－(x－6)2＋11(x>0)，∴要使年平均利润最大，客车营运年数为5.答案：5 【题后反思】(1)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指数、对数运算，灵活进行指数与对数的互化. (2)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值. 【考法全练】1.(考向1)(2021年新乡期中)2021年9月10日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的16号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账).用于小王今后的教育开支.2021年9月16日小王父母往卡上存入500元.以后每月存的钱数比上个月多100元，则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到100000元的时间为()A.2024年11月16日C.2025年1月16日B.2024年12月16日D.2025年2月16日 解析：由题可知，小王父母从2021年9月开始，每月所存钱数依次成首项为500，公差为100的等差数列，∴第41个月的16号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到100000元，故2025年1月16日他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到100000元.故选C.令50n2＋450n≥100000，即n2＋9n≥2000，∵402＋9×40＜2000，412＋9×41＞2000，答案：C 2.(考向2)(2020年新高考Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天 答案：B 3.(考向3)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图2-9-8)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米.图2-9-8 ⊙已知函数模型求解实际问题[例4]为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) 消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造成本与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值. 此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.∴隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元. 【反思感悟】已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题. 【高分训练】1.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元.解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24 时间t/天60100180种植成本Q/(元/100kg)116841162.(一题两空)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100kg.解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得 所以Q＝0.01(t－120)2＋80，当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.答案：①120②80