2023版高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第四讲幂函数与二次函数课件

第四讲　幂函数与二次函数 课标要求考情分析1.通过具体实例，结合y＝x，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1.本讲以幂函数的图象与性质的简单应用为主，二次函数的图象与性质常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想.2.题型一般为选择、填空题，中等难度 1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1性质单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)(续表) 【名师点睛】巧记幂函数y＝xα的图象五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图象是横卧抛物线型)，α＜0时的图象是双曲线型. 解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域2.二次函数的图象和性质 (续表) 【名师点睛】(1)注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.(2)一元二次不等式恒成立的条件①“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＞0且Δ＜0”.②“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＜0且Δ＜0”. 题组一走出误区1.(多选题)下列结论中错误的是()答案：ABDA.y＝x0的图象是一条直线B.若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数D.当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数 题组二走进教材点答案：C 3.(教材改编题)函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为________，最小值为________.答案：62 考点一幂函数的图象和性质A.－1C.3B.2D.2或－1 答案：A 图2-4-1A.Ⅵ，ⅦB.Ⅳ，ⅧC.Ⅲ，ⅧD.Ⅲ，Ⅶ 3.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为()A.－3B.1C.2D.1或2解析：由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意.故选B.答案：B 【题后反思】(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 考点二二次函数的图象与性质考向1二次函数的图象通性通法：抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区间三者相互制约，要注意分类讨论. [例1]如图2-4-2所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：图2-4-2①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()A.②④B.①④C.②③D.①③ 解析：结合题中图象可知该函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；又对称轴为x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确.答案：B 考向2二次函数的单调性通性通法：处理数学中的问题要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解). [例2](多选题)若函数f(x)＝(x－1)|x＋a|在区间(1,2)上单调递增，则满足条件的实数a的值可能是()A.0B.2C.－2D.－3解析：根据题意可知f(x)＝ 图2-4-3 答案：ABD图2-4-4 考向3二次函数中的恒成立问题通性通法：由不等式恒成立求参数取值范围的关键解题思路，一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域. [例3]已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.解：由题意可知，f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＞0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)在[－1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得m＜－1.因此，满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1). 【考法全练】1.(考向2)已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上单调递增，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是()A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.[0,4] 解析：∵f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，∴对称轴是x＝2，又f(x)在[0,2]上单调递增，则抛物线的开口向下，且f(x)在[2,4]上单调递减，∵f(a)≥f(0)，则f(a)≥f(4)，所以根据二次函数的单调性并结合图象可得0≤a≤4.故选D.答案：D 2.(2021年历下月考)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的图象顶点的纵坐标为0，若关于a的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m)，则实数c的值为________.答案：－3 3.(考向3)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________. ⊙分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用[例4]已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值.解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； 【反思感悟】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 【高分训练】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图D4(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1； (1)(2)(3)图D4当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图D4(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1； 当t≥1时，函数图象如图D4(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f(x)min＝1，当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2.