2023版高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第八讲函数与方程课件

第八讲　函数与方程 课标要求考情分析1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性1.利用函数零点存在定理或函数的图象，判断零点个数或求相关参数的范围，是高考的热点.2.题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度 1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. (3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2102.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 【名师点睛】(1)若函数f(x)(图象是连续不断的)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.图2-8-1 (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图2-8-1所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 题组一走出误区1.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A.若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B.若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C.若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D.若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0答案：B 题组二走进教材2.(教材改编题)函数f(x)的图象如图2-8-2所示，它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法)图2-8-2求出函数f(x)零点的区间是(A.[－2.1，－1]B.[1.9,2.3]C.[4.1,5]D.[5,6.1]答案：B x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.8923.(教材改编题)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上不间断，由下表知函数y＝f(x)－g(x)在下列区间内一定有零点的是()A.(－1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案：B 题组三真题展现4.(2019年全国Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案：B 考点一函数零点所在区间的判定[例1](1)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的)区间为(A.(0,1)C.(2,3)B.(1,2)D.(3,4) 解析：因为y＝lnx与y＝x－2在(0，＋∞)上都单调递增，所以f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，根据函数零点存在定理，可知函数f(x)＝lnx＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内.答案：B 图2-8-3答案：(1,2) 【题后反思】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过作出函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【变式训练】1.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c))＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内答案：A A.(0,1)C.(2,3)B.(1,2)D.(3,4) 答案：B 考点二确定函数零点的个数1.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.答案：B 2.函数f(x)＝3x|lnx|－1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4 图D12答案：B 图D13答案：3 【题后反思】函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)作出两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 考点三根据函数零点个数求参数通性通法：根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. [例2](1)(2021年宜宾期末)已知函数f(x)＝lnx＋ax在上有两个零点，则a的取值范围是________. 解析：令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，令x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3，作出函数f(x)的图象，如图2-8-4所示.函数y＝f(x)＋k有3个零点，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝－k有3个交点，根据函数图象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1. 答案：D图2-8-4 【变式训练】答案：1 g(x)＝f(x)－x－a有且只有两个不同的零点，则实数a的取值可以是()A.－1B.0C.1D.2 解析：根据题意，作出f(x)的图象如图D14所示：图D14令g(x)＝0，得f(x)＝x＋a，所以要使函数g(x)＝f(x)－x－a有且只有两个不同的零点， 所以只需函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同的交点，根据图象可得实数a的取值范围为(－1，＋∞).故选BCD.答案：BCD ⊙数形结合法求解函数零点问题 解析：∵f(x)为偶函数，故f(2－x)＝f(x－2)，∴f(x＋2)＝f(x－2)，故f(x)的周期为4，象如图2-8-5所示，图2-8-5 ∵f(x)－loga(x＋2)＝0有3个不同的解，∴f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象有3个不同的交点，答案：B 【反思感悟】直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过作图分析图象的特征、图象间的关系解决. 【高分训练】1.(2021年衡水中学调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的)解的个数是(A.1C.3B.2D.4 解析：(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图D15，图D15∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点.即方程有2个解.故选B.答案：B )m，n，则(A.mn＝1C.0<mn<1B.mn>1D.以上都不对2.若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是 图D16 答案：C